专题06 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（重难点突破）解析版-高二上（新教材人教A版）

专题06  直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点一  直线与圆的位置关

(1)三种位置关系：相交、相切、相离．

(2)圆的切线方程的常用结论

①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；

②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；

③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

知识点二  圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).

【知识必备】

1．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．圆系方程

(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；

(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；

(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。

三、重难点题型突破

重难点突破01 直线与圆的位置关系

例1．（1）（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（ ）

A．相切                                 B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心                           D．相离

【答案】B

【解析】由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1，则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B

（2）（2020山东泰安实验中学高二期中）直线与圆相切，则实数等于（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【解析】圆的方程即为（ ，圆心 到直线的距离等于半径 或者 ，故选C．

【变式训练1】．（2020·江西赣州三中高二期中）已知圆，直线．

（1）判断直线与圆C的位置关系；

（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．

【解析】 (1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，

因此直线l过定点D(1，1)，又＝1<，

所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．

(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－．

此时，圆心C(0，1)到直线l： x＋y－－1＝0的距离d＝＝，

又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．

重难点突破02 圆的弦长问题（垂径定理）

例2.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是 (　　)

A.6 B.3 C.2 D.8

【答案】A

【解析】∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.

【变式训练1】．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（  ）

A．-2 B．-4 C．-6 D．-8

【答案】B

【解析】圆心，，设圆心到直线的距离为，

∴，，∴，

∴．

重难点突破03 圆的切线问题

例3．（2020全国高二课时练习）直线l与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点为，则直线l的方程为____________.

【答案】

【解析】由圆的方程可得，圆心为，所以，故直线的斜率为，所以直线方程为

【变式训练1】．（多选题）（2020山东泰安一中高二期中）若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是(　　)

A.-1 B.- C. D.

【答案】BC

【解析】由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0).半径r=1.直线与圆有公共点,需≤1,所以|2k|≤,得k2≤,所以-≤k≤,对照选项知B,C适合.

【变式训练2】．（2020福建三明二中高二期中）过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为______.

【解析】直线方程为，圆方程为，圆心到直线的距离，弦长．

重难点突破04 圆与圆的位置关系

例4.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　 　)

A．内切   B．相交

C．外切   D．相离

【答案】B

【解析】法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．

∵圆M截直线所得线段长度为2，∴＝2.又a＞0，∴a＝2.

∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，

圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，

∴|MN|＝＝.∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，

∴两圆相交．

法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．

【变式训练1】．（广西河池高级中学2019届模拟）已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

【解析】 两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.

(1)当两圆外切时，＝＋，解得m＝25＋10.

(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距5，故只有－＝5，解得m＝25－10.

(3)当m＝45时，4－＜|MN|＝5＜＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.

所以公共弦长为2＝2.

四、课堂定时训练

1．（2020上海高二课时练习）若直线与圆有两个不同的公共点，那么点与圆的位置关系是（    ）．

A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定

【答案】A

【解析】因为直线与圆有两个公共点，所以有，

即，因为点与的圆心的距离为，圆的半径为2，

所以点在圆外.故选:A．

2．（2020辽宁盘锦二中高二期中）在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能为(　　)

【答案】C

【解析】由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.

3．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（  ）

A．-2 B．-4 C．-6 D．-8

【答案】B

【解析】圆心，，设圆心到直线的距离为，

∴，，∴，

∴．

4.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)

A.[2,6] B.[4,8]               C.[,3] D.[2,3]

【答案】A

【解析】设圆心到直线AB的距离d==2.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.

又AB=2,∴S△ABP=·|AB|·d'=d',∴2≤S△ABP≤6.

5．（2020·上海高二课时练习）若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为__________.

【答案】或

【解析】

取的中点为，连接，则.因为，故，所以，

又直线的方程为：，所以，故.

6．（2020·浙江下城杭州高级中学高二期中）圆的半径为______．若直线与圆交于两点,则的取值范围是______．

【答案】2；    

【解析】,所以圆心坐标为：,圆的半径为2.因为

直线与圆交于两点,

所以有.

7．（2020·上海高二课时练习）若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为__________.

【答案】或

【解析】

取的中点为，连接，则.因为，故，所以，

又直线的方程为：，所以，故.

8．（2020全国高二课时练习）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.

（1）求圆M的方程；

（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.

【解析】（1）设圆的方程为：，

根据题意得，

故所求圆M的方程为：

（2）如图

四边形的面积为

即

又，所以，

而，即.

因此要求的最小值，只需求的最小值即可，

的最小值即为点到直线的距离

所以，

四边形面积的最小值为.

9．（四川省遂宁一中2019届模拟）已知圆C经过点A，B，直线x＝0平分圆C，直线l与圆C相切，与圆C1：x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且满足OP⊥OQ.

(1)求圆C的方程；

(2)求直线l的方程．

【解析】：(1)依题意知圆心C在y轴上，可设圆心C的坐标为(0，b)，圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．

因为圆C经过A，B两点，所以2＋2＝2＋2，

即＋－b＋b2＝＋－b＋b2，解得b＝4.

则r2＝2＋2＝，所以圆C的方程为x2＋(y－4)2＝.

(2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x＝±，此时直线l与C1交于P，Q两点，不妨设P点在Q点的上方，则P，Q或P，Q，则·＝0，所以OP⊥OQ，满足题意．

当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，

设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

将直线l的方程与圆C1的方程联立，得消去y，整理得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，

则Δ＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－1)＝4(k2－m2＋1)＞0，

即1＋k2＞m2，则x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，

又OP⊥OQ，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝＋＝0，

故2m2＝1＋k2，满足Δ＞0，符合题意．

因为直线l：y＝kx＋m与圆C：x2＋(y－4)2＝相切，所以圆心C(0,4)到直线l的距离d＝＝，

即m2－8m＋16＝，故m2－8m＋16＝m2，得m＝2，

故1＋k2＝8，得k＝±.

故直线l的方程为y＝±x＋2.综上，直线l的方程为x＝±或y＝±x＋2.

10．（2020·上海市金山中学高二期末）如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过、、三点.

（1）求圆的方程；

（2）若圆区域内有未知暗礁，现有一船D在岛的南偏西30°方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

【解析】（1）如图所示，、，

设过、、三点的圆的方程为，

得：，

解得，，，

故所以圆的方程为，

圆心为，半径，

（2）该船初始位置为点，则，

且该船航线所在直线的斜率为1，

故该船航行方向为直线：，

由于圆心到直线的距离，

故该船有触礁的危险.