专题04 两条直线的位置关系、距离公式（重难点突破）解析版-秋季高二上（新教材人教A版）

专题04  两条直线的位置关系、距离公式

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

一、两条直线的交点坐标

1．基础知识

2．两条直线的交点

已知两条不重合的直线不同时为0),不同时为0)，如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的

____________.

3．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系

二、两点间的距离

平面上任意两点间的距离公式为                      .

特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离.

三、点到直线的距离

1．点到直线的距离

点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的        .

2．点到直线的距离公式

平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为            .

四、两条平行直线间的距离

1．两条平行直线间的距离

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间          的长.

2．两条平行直线间的距离公式

一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离            .

五、对称问题

对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称.

1．点关于点对称

点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.

设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点

.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为.

2．点关于直线对称

对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系:

①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上；

③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即.

常见的点关于直线的对称点：

①点关于x轴的对称点          ；

②点关于y轴的对称点          ；

③点关于直线y=x的对称点          ；

④点关于直线y=−x的对称点          ；

⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点；

⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点.

3．直线关于直线对称

（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：

①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；

②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；

③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法.

（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0,

①l关于x轴对称的直线是            ;

②l关于y轴对称的直线是            ;

③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0;

④l关于直线y=−x对称的直线是A(−y)+B(−x)+C=0.

三、重难点题型突破

(一) 直线的交点问题

例1．若关于的方程组无解，则________．

【答案】；

【解析】两个方程相减得,由于方程组无解,所以 .

【变式训练】直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围为_________. 

【答案】(-,2)

【解析】联立,解得,即两直线的交点坐标为(,).

又交点在第四象限,则,解得-<a<2

(二) 直线的距离公式的应用

例2．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的

最大值为（  ）

A．1   B．2         C．3   D．4

【答案】．C

【解析】由题意可得

（其中，），∵,

∴，，

∴当时，取得最大值3，故选C．

【变式训练】（1）已知的三个顶点分别是A(−1,0),B(1,0), ,则为(    )

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【解析】因为|AB|=|1− (−1)|=2,，,

所以,故是直角三角形.选A.

（2）.若直线：与直线：平行，则与的距离为(    )

A．     B．

C．     D．

【答案】B

【解析】由两直线平行的等价条件可得，在直线： 上取点，由于点到直线：的距离即为两平行线之间的距离，所以应选B.

(三) 直线的对称问题

例3．已知点P,Q在直线上.

(1)若点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,求点P的坐标;

(2)若点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,求点Q的坐标.

【解析】(1)如图所示,

设点B关于l的对称点B'的坐标为,

∵kl·kBB'=-1,即3×=-1,∴a+3b-12=0.　①

又线段BB'的中点坐标为(,),且中点在直线l上,∴3×--1=0,即3a-b-6=0.　②

由①②得a=3,b=3,∴B'(3,3).

于是直线AB'的方程为,即2x+y-9=0.

由,解得,

∴l与直线AB'的交点坐标为(2,5),

∴当点P到点A,B的距离之差最大时,点P的坐标为(2,5).

(2)如图所示,

【变式训练1】某地A,B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2),B(4,0),一条河所在直线l的方程为x+2y-10=0.在河边上建一座供水站P分别向A,B两镇供水,若要使所用管道最省,则供水站P应建在什么地方?

【解析】如图,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交l于P,

若P'(异于P)在直线l上,则|AP'|+|BP'|=|A'P'|+|BP'|>|A'B|,因此供水站建在P处,才能使得所用管道最省.设A'(a,b),则AA'的中点在l上,且AA'⊥l,即,解得,即A'(3,6).

所以直线A'B的方程为6x+y-24=0.

解方程组,得.所以点P的坐标为(,).

故供水站P应建在(,)处.

【变式训练2】已知直线l:3x-y+3=0,求:

(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;

(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.

【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').

∵kPP'·kl=-1,∴·3=-1,　①又PP'的中点在直线3x-y+3=0上,∴3·-+3=0.　②

联立①②,解得.

(1)把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,∴P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).

(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为,

即7x+y+22=0.

(四) 综合问题

例4．（2014四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于

点，则的取值范围是（   ）

A．    B．   C．   D．

【答案】．B

【解析】易知直线过定点，直线过定点，且两条直线相互垂

直，故点在以为直径的圆上运动，

故．故选B．

【变式训练1】．（2012浙江）设，则“”是“直线：与直线：

平行”的（   ）

A．充分不必要条件               B．必要不充分条件

C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件

【答案】．A

【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，

或，所以是充分不必要条件。

四、课堂定时训练

1．下列各对直线不互相垂直的是　(　　)

A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)

B．l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q

C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)

D．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)

【答案】C

【解析】A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)，kPQ=，故两直线垂直；

B．l2过点P(1，1)，Q，kPQ=。故两条直线垂直。C， kPQ=，所以l1不与l2垂直.

D，l1过点M(1，0)，N(4，-5)， ，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)，kPQ=，故两条直线垂直。故答案为C。

2.（2020上海高二课时练）点到直线：的距离最大时，与的值依次为(　　)

A．3，－3 B．5，2

C．5，1 D．7，1

【答案】C

【解析】直线，即，

直线是过直线和交点的直线系方程，

由，得，可得直线经过定点，

当直线与垂直时，

点到直线的距离最大，

的最大值为，

此时轴，可得直线斜率不存在，即.故选：C.

3．直线与直线的垂直,则=（   ）[来源:学,科,网Z,X,X,K]

A. 1    B. -1    C. 4    D. -4

【答案】A

【解析】 ，故选A.

4．已知直线与垂直，则的值是（   ）

A. 或    B.     C.     D. 或[来源:学科网ZXXK]

【答案】C

【解析】由题意得 ，选C.

5．（2020瓦房店市高级中学高二月考）若点在直线上，且到直线的距离为，则点的坐标为_________

【答案】（1，2）或（2，—1）

【解析】点在直线上，设，到直线的距离为，

，解得：a=1或a=2，点的坐标为（1，2）或（2，—1）.

6．（2020合肥一六八中学高二期中）若动点，分别在直线和上移动，则的中点到原点的距离的最小值为__________．

【答案】

【解析】设的中点坐标为，因为，，所以，

又，分别在直线和上移动，

所以，两式相加得，

所以，即即为中点所在直线方程，

因此原点到直线的距离，即为的中点到原点的距离的最小值；

由点到直线距离公式，可得：距离最小值为：.

7．（2020山东泰安一中高二月考）已知四边形ABCD的顶点A(m，n)、B(5，－1)、C(4,2)、D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.

【解析】　(1)如图，当∠A＝∠D＝90°时，

∵四边形ABCD为直角梯形，∴AB∥DC且AD⊥AB.

∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1.

(2)如图，当∠A＝∠B＝90°时，

∵四边形ABCD为直角梯形，

∴AD∥BC，且AB⊥BC，∴kAD＝kBC，kABkBC＝－1.

∴，解得m＝、n＝－.

综上所述，m＝2、n＝－1或m＝、n＝－.

8．已知直线，，.

（1）若点在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；

（2）若//，求与之间的距离.

9．（1）求与点P(3，5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标．

（2）已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．

【解析】（1）设P′(x0，y0)，则kPP′＝，PP′中点为.

∴，解得，∴点P′的坐标为(5，－1)．

（2）当直线l1的斜率不存在时，方程为x＝1，此时l1与l的交点B的坐标为(1，4)．|AB|＝，符合题意．

当直线l1的斜率存在时，设为k，则，∴直线l1的方程为y＋1＝k(x－1)，

则l1与l的交点B为，∴|AB|＝，

解得k＝－，∴直线l1的方程为3x＋4y＋1＝0.

综上可得，l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.

10．（2020上海高二课时练）直线，相交于点，其中.

（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；

（2）求的面积；

（3）问为何值时，最大？

【解析】（1）在直线的方程中令可得，则直线过定点，

在直线的方程中令可得，则直线过定点；

（2）联立直线、的方程，解得，即点.

，

，

，所以，；

（3）且，因此，当时，取得最大值，即.