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【名校】人教版2012重庆市渝中区巴蜀中学校2019-2020学年八年级上学期期末数学试题
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重庆市渝中区巴蜀中学校2019-2020学年八年级上学期期末
数学试题
一、选择题：（每题4分，共48分）.
1.如图，图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.若一个等腰三角形底角是40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
3.下列不等式的变形不正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若则
D. 若则
4.在八年级跳绳比赛中，甲乙两班同学人数相同，且跳绳个数的平均数相同；甲班跳绳个数的方差是4.87，乙班跳绳个数的方差是9.12，则参赛同学跳绳水平更整齐的班级是（ ）
A. 甲班 B. 乙班 C. 一样整齐 D. 无法判断
5.以下各组数为三角形的三边长（单位均为米），其中能够构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 8，13，15 C. 5，12，13 D. 10，15，20
6.下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
B 一个三角形中至少有两个锐角；
C. 两直线平行，同位角相等；
D. 相等的角是对顶角
7.估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A. 2和3 B. 3和4 C. 5和6 D. 7和8
8.一次函数与的图象如图所示，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，等腰直角中，，，将沿方向平移得，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图所示，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，…记面积为，面积为，面积为，…，则等于（ ）
A. B. C. D.
11.整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数（均为正整数），且使得关于的不等式组无解，则所有满足条件的的和为（ ）
A. 9 B. 16 C. 17 D. 30
12.如图所示，在中，是边中点，连接，将沿线段翻折后得，其中，则到边的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分， 共24分，将答案填在答题纸上）
13.已知2、3、5、5、7的众数是__________．
14.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
15.平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则__________．
16.已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是________．
17.如图所示，在中，，，将绕点旋转到的位置，点刚好落在边上，则的度数为_______________.
18.如图所示，在中，，为边的垂直平分线，交的延长线于点，，则__________.
19.甲、乙两人在直线跑道上从向同向匀速跑步，间相距800米，已知甲先出发，乙先到终点后原地休息了3秒，由于乙体力消耗较大，于是以原来速度的倍匀速返回，直到甲乙两人第二次相遇时两人同时停止运动。在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则甲、乙两次相遇点之间的距离为____________米.
20.某超市促销活动，将车厘子、波罗蜜、山竹三种水果采用三种不同方式搭配成礼盒，分别是蒸蒸日上礼盒、独占鳌头礼盒、吉祥如意礼盒，将礼盒进行销售，每盒的总成本为盒中车厘子、波罗蜜、山竹三种水果成本之和，盒子成本忽略不计，蒸蒸日上每盒分别装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果8千克，4千克，3千克；独占鳌头每盒装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果3千克，8千克，6千克；蒸蒸日上每盒的总成本是每千克车厘子水果成本的14倍，每盒蒸蒸日上的销售利润是60%，每盒独占鳌头的售价是成本的倍，每盒吉祥如意在成本上提高60%标价后打八折出售，获利为每千克车厘子水果成本的2.8倍，当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数量之比为5：2：5，则销售的总利润率为___________________.
三、解答题：共78分.
21.计算或解不等式组：
（1）；
（2）
22.如图，在线段上有两点，在线段的异侧有两点，满足，，连接；
（1）求证：；
（2）若，，当平分时，求.
23.为了绿化环境，巴蜀中学七年级一班同学都积极参加了植树活动.去年4月份该班同学的植树情况的部分统计如下图所示：
（1）根据以上统计图中的信息，
①该班有_____人；②植树株数的中位数是__________株；
③该班植树为5株的人数占该班总人数的百分比________________.
（2）请将该条形统计图补充完整；
（3）据统计，全年级每班植树情况大致相同，请根据该班的植树情况，估计全年级2000人中植树大于4棵的一共有多少人？
24.已知直线与直线交于点，点纵坐标1，且直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点.
（1）求直线的解析式；
（2）连结，求出.
25.有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥-1时，y＝ ，当x＜-1时y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图象；
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围： ．
26.今年受猪瘟影响，从年初开始，猪肉价格不断走高.消费者王阿姨发现，9月20日当天猪肉的价格是年初的1.5倍；9月20日当天，王阿姨购买4千克猪肉比年初多花了48元.
（1）那么9月20日当天猪肉的价格为每千克多少元？
（2）9月20日，按照（1）中的猪肉价格，某售卖点共卖出1000千克猪肉.9月21日，政府决定投入储备猪肉并规定其销售价在9月20日的基础上下调出售.该焦卖点按规定价出售一批储备猪肉和非储备猪肉，该售卖点的非储备猪肉仍按9月20日的价格出售，9月21日当天的两种猪肉总销量比9月20日增加了20%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比9月20日至少提高了，求的最大值.
27.如图，在中，，以为边作等边，连接.
（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图2，若，点为中点，连接，且，延长至点，连接，使得，求证：；
28.如图1，已知直线和直线交于轴上一点，且分别交轴于点、点，且.
（1）求的值；
（2）如图1，点是直线上一点，且在轴上方，当时，在线段上取一点，使得，点分别为轴、轴上的动点，连接，将沿翻折至，求的最小值；
（3）如图2，分别为射线上的动点，连接是否存在这样的点，使得为等腰三角形，为直角三角形同时成立.请直接写出满足条件的点坐标.
重庆市渝中区巴蜀中学校2019-2020学年八年级上学期期末
数学试题答案与解析
一、选择题：（每题4分，共48分）.
1.如图，图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.若一个等腰三角形的底角是40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形底角相等的性质，利用三角形内角和即可得出其顶角.
【详解】由题意，得
等腰三角形的顶角为180°-40°-40°=100°
故答案为D.
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质,熟练掌握,即可解题.
3.下列不等式的变形不正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 若则
D. 若则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形不正确的选项即可.
【详解】A.若，不等式两边同时加上3得：，即A项正确；
B.若，不等式两边同时乘以-1得：，则B项正确；
C. 若 ，不等式两边同时乘以- 2得：，则C项正确；
D. 若 ，不等式两边同时除以-2得： ，则D项错误，
故选D.
【点睛】本题考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解本题的关键.
4.在八年级跳绳比赛中，甲乙两班同学人数相同，且跳绳个数的平均数相同；甲班跳绳个数的方差是4.87，乙班跳绳个数的方差是9.12，则参赛同学跳绳水平更整齐的班级是（ ）
A. 甲班 B. 乙班 C. 一样整齐 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方差数据可知，方差越大波动越大，反之越小，即可判定.
【详解】由题意，得甲班的方差数据较小，故参赛同学跳绳水平更整齐，
故答案为A.
【点睛】此题主要考查方差的意义，方差反映的是离散程度.
5.以下各组数为三角形的三边长（单位均为米），其中能够构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 8，13，15 C. 5，12，13 D. 10，15，20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理逆定理，逐一判定即可.
【详解】A选项，，不能构成直角三角形；
B选项，，不能构成直角三角形；
C选项，，能构成直角三角形；
D选项，，不能构成直角三角形；
故答案为C.
【点睛】此题主要考查勾股定理的逆定理的运用，熟练掌握，即可解题.
6.下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
B. 一个三角形中至少有两个锐角；
C. 两直线平行，同位角相等；
D. 相等的角是对顶角
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线、三角形、角的性质，逐一判定即可.
【详解】A选项，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题；
B选项，一个三角形中至少有两个锐角，正确，是真命题；
C选项，两直线平行，同位角相等，正确，是真命题；
D选项，相等的角不一定是对顶角，是假命题；
故答案为D.
【点睛】此题主要考查根据根据平行线、三角形、角的性质，判断真假命题.
7.估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A. 2和3 B. 3和4 C. 5和6 D. 7和8
【答案】B
【解析】
【分析】
首先将所求代数式化到最简，然后利用近似值判定即可.
【详解】
∵
∴其结果在连续自然数3和4之间
故答案为B.
【点睛】此题主要考查近似值的估算，熟练掌握，即可解题.
8.一次函数与的图象如图所示，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据函数图象可知其交点，然后即可判定不等式的解集.
【详解】由已知，得两函数的交点为
∴的解集为
故答案为C.
【点睛】此题主要考查利用一次函数图象的性质解不等式，解题关键是根据交点判定.
9.如图，等腰直角中，，，将沿方向平移得，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据等腰直角三角形的性质得出∠A=∠BCA=45°，再根据勾股定理得出AC，然后由平移的性质得出∠A=∠EDF，AD=，DG=CG，进而得出CD，∠DGC=90°，再由勾股定理得出DG，即可得出△DGC的面积.
【详解】∵等腰直角中，，，
∴∠A=∠BCA=45°，
又∵将沿方向平移得，
∴∠A=∠EDF，AD=，DG=CG
∴CD=AC-AD=
∴∠DGC=90°
∵
∴
∴
故答案为A.
【点睛】此题主要考查等腰直角三角形、平移的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
10.如图所示，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，…记面积为，面积为，面积为，…，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件得到△△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3是等腰直角三角形，根据最新的解析式得到A1（0，1），求得B1（1，0），得到OB1=OA1=1，根据三角形的面积公式得到S1=×1×1=×12，同理S2=×2×2=×22，S3=×4×4=×42；…得到Sn=×22n-2=22n-3，于是得到结论．
【详解】∵OB1=OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，B1B2=B1A2；A3B2⊥x轴，B2B3=B2A3；…
∴△△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3是等腰直角三角形，
∵y=x+1交y轴于点A1，
∴A1（0，1），
∴B1（1，0），
∴OB1=OA1=1，
∴S1=×1×1=×12，
同理S2=×2×2=×22，S3=×4×4=×42；…
∴Sn=×22n-2=22n-3，
∴S8=22×8-3=213，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
11.整数使得关于二元一次方程组的解为正整数（均为正整数），且使得关于的不等式组无解，则所有满足条件的的和为（ ）
A. 9 B. 16 C. 17 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】
首先用消元法解二元一次方程组，然后解不等式组，根据无解得出的取值范围，列出所有满足条件的，即可求出和.
【详解】
①-②，得
由已知可得，
∴
代入②，得
二元一次方程组的解为正整数，
则即
解得
若使不等式组无解，则
∴
又∵为整数，二元一次方程组的解为正整数
∴满足条件的的值为4、5、8
∴其和17.
故答案为C.
【点睛】此题主要考查二元一次方程组和不等式组的综合问题求参数，解题关键是理解题意，找出满足条件的参数.
12.如图所示，在中，是边中点，连接，将沿线段翻折后得，其中，则到边的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先连接AA′，延长BD与AA′交于点E，作DF⊥AB，由翻折的性质得出△ABA′为等腰三角形，△A′CD是等边三角形，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出BE⊥AA′，AE=A′E，进而利用勾股定理得出DE、BD，再次利用勾股定理构建方程，即可得出AF，进而得出DF.
【详解】连接AA′，延长BD与AA′交于点E，作DF⊥AB于F，如图所示：
由已知，得AB=A′B=，AD=A′D=4
∴△ABA′为等腰三角形，
∴BE⊥AA′，AE=A′E
∵A′C=4
∴△A′CD是等边三角形
∴∠ADA′=120°，∠EDA′=60°，∠AA′C=90°
∴DE=2，AE=A′E=
∴
∴BD=BE-DE=5-2=3
设AF=，在△ABD中，
∴
即
解得
∴
故答案为D.
【点睛】此题主要考查等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解题关键是利用勾股定理构建方程.
二、填空题（每题3分， 共24分，将答案填在答题纸上）
13.已知2、3、5、5、7的众数是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据众数的定义：众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据,即可得解.
【详解】由已知，得其众数为5，
故答案为5.
【点睛】此题主要考查对众数的理解，熟知概念是解题关键.
14.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
【答案】10．
【解析】
试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为10．
考点：等腰三角形性质；三角形三边关系．
15.在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
首先根据对称性，得出点A的坐标，即可得出和的值，然后代入即可得解.
【详解】由已知，得
点A的坐标为
∴
∴
故答案为-3.
【点睛】此题主要考查在平面直角坐标系中利用对称性求点坐标以及关于坐标的计算，熟练掌握，即可解题.
16.已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是________．
【答案】k＜3
【解析】
【分析】
根据时，函数图象经过第一、二、四象限，即可求解；
【详解】解：的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；熟练掌握一次函数与对函数图象的影响是解题的关键．
17.如图所示，在中，，，将绕点旋转到的位置，点刚好落在边上，则的度数为_______________.
【答案】40°
【解析】
【分析】
首先根据直角三角形的性质得出∠ABC，然后由旋转的性质得出BC=DC，∠ACB=∠DCE=90°，进而得出∠ABC=∠BDC，即可得出∠ACE.
【详解】∵，，
∴∠ABC=∠ACB-∠A=90°-20°=70°
又∵将绕点旋转到的位置，
∴BC=DC，∠ACB=∠DCE=90°
∴∠ABC=∠BDC=70°，∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°
∴∠ACE=180°-∠ABC-∠BDC=180°-70°-70°=40°
故答案为40°.
【点睛】此题主要考查利用直角三角形、旋转的性质求解角的度数，找出等量关系是解题关键.
18.如图所示，在中，，为边的垂直平分线，交的延长线于点，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先连接AE，根据勾股定理得出AC，然后由三线合一的性质得出AE=BE=BC+CE=3+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理列出等式，即可得出CE.
【详解】连接AE，如图所示：
∵，，
∴
又∵为边的垂直平分线，
∴AE=BE=BC+CE=3+CE
∴在Rt△ACE中，
即
∴
故答案为.
【点睛】此题主要考查利用勾股定理以及三线合一的性质，构建等式，即可解题.
19.甲、乙两人在直线跑道上从向同向匀速跑步，间相距800米，已知甲先出发，乙先到终点后原地休息了3秒，由于乙体力消耗较大，于是以原来速度的倍匀速返回，直到甲乙两人第二次相遇时两人同时停止运动。在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则甲、乙两次相遇点之间的距离为____________米.
【答案】696
【解析】
【分析】
首先根据图象分别求出甲乙的速度，然后求出第二次相遇时甲乙所行驶的距离，即可得解.
【详解】由图象得甲的速度为米/秒
乙的速度为米/秒
乙从第一次相遇后到终点所用时间为秒
乙先到终点后原地休息了3秒，此时甲行驶的距离为米
此时甲乙相距800-672=128米
乙反向行驶的速度为米/秒
甲乙第二次相遇所经过时间为秒
此时乙反向行驶的距离为8×8=64米
甲乙两次相遇点之间的距离为800-64-40=696米
故答案为696米.
【点睛】此题主要考查路程相遇问题，根据图象求出速度是解题关键.
20.某超市促销活动，将车厘子、波罗蜜、山竹三种水果采用三种不同方式搭配成礼盒，分别是蒸蒸日上礼盒、独占鳌头礼盒、吉祥如意礼盒，将礼盒进行销售，每盒的总成本为盒中车厘子、波罗蜜、山竹三种水果成本之和，盒子成本忽略不计，蒸蒸日上每盒分别装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果8千克，4千克，3千克；独占鳌头每盒装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果3千克，8千克，6千克；蒸蒸日上每盒的总成本是每千克车厘子水果成本的14倍，每盒蒸蒸日上的销售利润是60%，每盒独占鳌头的售价是成本的倍，每盒吉祥如意在成本上提高60%标价后打八折出售，获利为每千克车厘子水果成本的2.8倍，当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数量之比为5：2：5，则销售的总利润率为___________________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先分别设每千克车厘子、波罗蜜、山竹三种水果的成本价分别为，然后根据题意将每种礼盒的成本和利润都用表示出来即可得解.
【详解】设每千克车厘子、波罗蜜、山竹三种水果的成本价分别为
，即
①蒸蒸日上的总成本是：
每盒蒸蒸日上的销售利润是
②独占鳌头的总成本是：
每盒独占鳌头的售价是
每盒独占鳌头的销售利润为
③每盒吉祥如意的销售利润是
每盒吉祥如意的成本是
当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数量之比为5：2：5，
总成本是
总利润是
总利润率为
故答案为.
【点睛】此题主要考查三元一次方程的实际应用，分析题意，找到合适的等量关系是解题关键.
三、解答题：共78分.
21.计算或解不等式组：
（1）；
（2）
【答案】（1）9；（2）
【解析】
【分析】
（1）按照有理数乘方的运算法则，计算即可；
（2）首先解每个不等式，然后求出解集即可.
【详解】（1）原式==9；
（2）
解不等式①，得
解不等式②，得
故不等组解集为
【点睛】此题主要考查含乘方的有理数运算以及不等式组的求解，熟练掌握其方法，即可解题.
22.如图，在线段上有两点，在线段的异侧有两点，满足，，连接；
（1）求证：；
（2）若，，当平分时，求.
【答案】（1）见解析；（2）55°
【解析】
【分析】
（1）首先由得出CF=BE，然后即可判定△ABE≌△DCF，即可得出；
（2）由三角形全等的性质得出∠B=∠C=40°，∠AEB=∠DFC=30°，∠CDF=∠BAE，然后由角平分线的性质得出∠BAF.
【详解】（1）∵，
∴CE+EF=BF+EF
∴CF=BE
又∵
∴△ABE≌△DCF（SSS）
∴
即可得证；
（2）由（1）中△ABE≌△DCF，，，得
∠B=∠C=40°，∠AEB=∠DFC=30°，
∴∠CDF=∠BAE=180°-∠C-∠DFC=180°-40°-30°=110°
∵平分
∴∠EAF=∠BAF=∠BAE=55°
故答案为55°.
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.
23.为了绿化环境，巴蜀中学七年级一班同学都积极参加了植树活动.去年4月份该班同学的植树情况的部分统计如下图所示：
（1）根据以上统计图中的信息，
①该班有_____人；②植树株数的中位数是__________株；
③该班植树为5株的人数占该班总人数的百分比________________.
（2）请将该条形统计图补充完整；
（3）据统计，全年级每班植树情况大致相同，请根据该班的植树情况，估计全年级2000人中植树大于4棵的一共有多少人？
【答案】（1）①50；②3；③14%；（2）见解析；（3）全年级2000人中植树大于4棵的一共有440人.
【解析】
【分析】
（1）首先联合两个统计图，根据植树2株的人数和所占百分比，即可得出总数；按照植树株数从小到大排列，可得位于中间的植树株数是2和4，即可得出其中位数；根据植树5株的人数和总数即可得出其百分比；
（2）首先由总数和其他人数即可得出植树4株的人数然后补全条形图即可；
（3）首先求出植树大于4棵的人数所占百分比，然后即可估算全年级的植树大于4棵的人数.
【详解】（1）根据两个统计图信息，得
①该班的总人数为16÷32%=50人；
②按照植树株数从小到大排列，可得位于中间的植树株数是2和4，故其中位数为
③该班植树为5株的人数占该班总人数的百分比为：
故答案为50；3；14%；
（2）由题意，知植树4株的人数是50-9-16-7-4=14人
补全条形统计图，如图所示：
（3）由题意，得植树大于4棵的人数所占百分比为
∴全年级2000人中植树大于4棵的一共有人；
故全年级2000人中植树大于4棵的一共有440人.
【点睛】此题主要考查与统计相关的计算，熟练掌握中位数、频数、频率等相关知识，即可解题.
24.已知直线与直线交于点，点纵坐标为1，且直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点.
（1）求直线的解析式；
（2）连结，求出.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先由两直线交点A的纵坐标得出其横坐标，然后代入直线，即可得出其解析式；
（2）首先分别求出B、C、D的坐标，进而得出OB、OC、OD、CD，然后根据三角形面积的转换，即可得解.
【详解】（1）由已知，得A点横坐标为，即
即A（-1,1）
代入直线，得，
直线的解析式为：
（2）由已知，得B（-2,0），C（0，），D（0,2）
∴OB=2，OC=，OD=2，CD=
∴
即
【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中直线解析式和所围成三角形面积的求解，熟练掌握性质，即可解题.
25.有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥-1时，y＝ ，当x＜-1时y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图象；
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围： ．
【答案】（1）x，-1（2）见解析（3）当时，y随x的增大而增大（4）
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的意义化简即可；
（2）根据（1）中化简的结果画出图像即可；
（3）结合图像回答即可；
（4）根据的性质，结合图像解答即可.
【详解】（1） 当x≥-1时，
；
当x＜-1时
；
(2)如图，
（3）函数有最小值-1，函数无最大值，当时，y随x的增大而增大（此题答案不唯一）
（3）∵经过点（0,1）
∴当时，方程只有一个实数根.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，画函数图像，利用图像解不等式等知识，正确画出函数图像是解答本题的关键.
26.今年受猪瘟影响，从年初开始，猪肉价格不断走高.消费者王阿姨发现，9月20日当天猪肉的价格是年初的1.5倍；9月20日当天，王阿姨购买4千克猪肉比年初多花了48元.
（1）那么9月20日当天猪肉的价格为每千克多少元？
（2）9月20日，按照（1）中的猪肉价格，某售卖点共卖出1000千克猪肉.9月21日，政府决定投入储备猪肉并规定其销售价在9月20日的基础上下调出售.该焦卖点按规定价出售一批储备猪肉和非储备猪肉，该售卖点的非储备猪肉仍按9月20日的价格出售，9月21日当天的两种猪肉总销量比9月20日增加了20%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比9月20日至少提高了，求的最大值.
【答案】（1）9月20日当天猪肉的价格为每千克36元；（2）的最大值为25.
【解析】
【分析】
（1）设年初猪肉的价格为每千克元，则9月20日当天猪肉的价格为每千克元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）根据题意，分别得出9月20日销售金额、储备猪肉每千克的销售价、9月21日当天的两种猪肉总销量、储备猪肉的销量和销售金额、非储备猪肉的销量和销售金额，列出总金额的不等式，解得即可.
【详解】（1）设年初猪肉的价格为每千克元，则9月20日当天猪肉的价格为每千克元，
根据题意，得
解得
经检验是方程的解，
∴
答：9月20日当天猪肉的价格为每千克36元；
（2）由题意，得9月20日销售金额为：36×1000=36000元
储备猪肉每千克的销售价：36（1-）
9月21日当天的两种猪肉总销量为：1000（1+20%）
储备猪肉的销量为：1000（1+20%）×
储备猪肉销售金额为：36（1-）×1000（1+20%）×
非储备猪肉的销量为：1000（1+20%）×
非储备猪肉销售金额为：36×1000（1+20%）×
9月21日两种猪肉销售的总金额为：36（1-）×1000（1+20%）×+36×1000（1+20%）×≥36000（1+）
解得
故的最大值为25.
【点睛】此题主要考查一元一次方程和不等式的实际应用，解题关键是理解题意，列出关系式.
27.如图，在中，，以为边作等边，连接.
（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图2，若，点为中点，连接，且，延长至点，连接，使得，求证：；
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）延长BC，作DE⊥BC，根据直角三角形的性质得出AC=2，BC=，然后根据等边三角形的性质即可得出△BCD的高，即可得出其面积；
（2）延长AB到G使AG=AB，易△ADG≅△ACF，∠G=∠F=30°，AE是中位线，可得AE∥GD，得∠CFA=90°，AE=DG=CF，再证CH＝CF，得CE=AH，可得四边形AECH是矩形，CE=AH，HF=AE即可.
【详解】（1）延长BC，作DE⊥BC于点E，如图所示：
∵，
∴AC=2，BC=
又∵等边，DE⊥BC
∴AC=CD=AD=2，∠DCE=30°
∴DE=1
∴
故答案为；
（2）延长BA到G，使得AB=AG，连接DG，作CH⊥AF于H，如图所示：
∵，，AB=AG
∴AB=AF=AG，∠BAF=120°
∴∠GAF=60°
∵等边
∴∠CAD=60°，AC=AD，
∴∠CAF=∠DAG
∴△ACF≌△ADG（SAS）
∴DG=CF，∠AGD=∠AFC=30°
又∵点为中点，AB=AG，
∴，∠BAE=∠AGD=30°
∴∠EAF=90°
又∵CH⊥AF，
∴，
∴，
∵
∴四边形AECH为矩形
∴AH=CE
∴
即可得证.
【点睛】此题主要考查直角三角形、等边三角形的性质，以及全等三角形和矩形的判定和性质的运用，解题关键是作出合适的辅助线，找到突破口.
28.如图1，已知直线和直线交于轴上一点，且分别交轴于点、点，且.
（1）求的值；
（2）如图1，点是直线上一点，且在轴上方，当时，在线段上取一点，使得，点分别为轴、轴上的动点，连接，将沿翻折至，求的最小值；
（3）如图2，分别为射线上的动点，连接是否存在这样的点，使得为等腰三角形，为直角三角形同时成立.请直接写出满足条件的点坐标.
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【解析】
【分析】
（1）首先由已知得出点B和C的坐标，即可得出直线AC的解析式，然后得出点A的坐标，代入直线AB，即可得出的值；
（2）首先根据△ACD的面积求出点D坐标，然后由得出点F的坐标和CF，若使有最小值,则M、C′、D在一条直线上，作F和C′关于轴的对称点F′和C′′，根据D和F′的坐标得出DF′，然后即可得解；
（3）若使得为等腰三角形，为直角三角形同时成立，则分情况求解，H在AC上和AC的延长线上，根据平行线成比例和相似三角形的性质，列出方程，即可得出P坐标.
【详解】（1）由已知，得
∵，C在轴正半轴，B在轴负半轴
∴
即
∴直线，直线
∴，将其代入直线AB，
∴
（2）∵点是直线上一点，设点D坐标为
∴
即
∴，即D
∵
∴,即C′在以CF为半径的圆上，
若使有最小值,则M、C′、D在一条直线上，作F和C′关于轴的对称点F′和C′′，如图所示，则，
∴
∴
（3）根据题意，分情况求解：
①
若PH⊥OA，则HP=HC，HP∥CN
∴
设H（x，y）可得
,
∴
②
若PH⊥AC，则HP=HC，
∴△APH∽△ACO
∴
设，可得
∴
∴
∴
③
若PH⊥OA，∠H=∠ACO=60°
∴HP=HC=PC
∴
设H（x，y）可得
∴
故满足条件的点P坐标为或或.
【点睛】此题主要考查一次函数解析式的求解以及动点综合问题，解题关键是求出坐标，找到突破口.
数学试题
一、选择题：（每题4分，共48分）.
1.如图，图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.若一个等腰三角形底角是40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
3.下列不等式的变形不正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若则
D. 若则
4.在八年级跳绳比赛中，甲乙两班同学人数相同，且跳绳个数的平均数相同；甲班跳绳个数的方差是4.87，乙班跳绳个数的方差是9.12，则参赛同学跳绳水平更整齐的班级是（ ）
A. 甲班 B. 乙班 C. 一样整齐 D. 无法判断
5.以下各组数为三角形的三边长（单位均为米），其中能够构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 8，13，15 C. 5，12，13 D. 10，15，20
6.下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
B 一个三角形中至少有两个锐角；
C. 两直线平行，同位角相等；
D. 相等的角是对顶角
7.估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A. 2和3 B. 3和4 C. 5和6 D. 7和8
8.一次函数与的图象如图所示，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，等腰直角中，，，将沿方向平移得，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图所示，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，…记面积为，面积为，面积为，…，则等于（ ）
A. B. C. D.
11.整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数（均为正整数），且使得关于的不等式组无解，则所有满足条件的的和为（ ）
A. 9 B. 16 C. 17 D. 30
12.如图所示，在中，是边中点，连接，将沿线段翻折后得，其中，则到边的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分， 共24分，将答案填在答题纸上）
13.已知2、3、5、5、7的众数是__________．
14.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
15.平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则__________．
16.已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是________．
17.如图所示，在中，，，将绕点旋转到的位置，点刚好落在边上，则的度数为_______________.
18.如图所示，在中，，为边的垂直平分线，交的延长线于点，，则__________.
19.甲、乙两人在直线跑道上从向同向匀速跑步，间相距800米，已知甲先出发，乙先到终点后原地休息了3秒，由于乙体力消耗较大，于是以原来速度的倍匀速返回，直到甲乙两人第二次相遇时两人同时停止运动。在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则甲、乙两次相遇点之间的距离为____________米.
20.某超市促销活动，将车厘子、波罗蜜、山竹三种水果采用三种不同方式搭配成礼盒，分别是蒸蒸日上礼盒、独占鳌头礼盒、吉祥如意礼盒，将礼盒进行销售，每盒的总成本为盒中车厘子、波罗蜜、山竹三种水果成本之和，盒子成本忽略不计，蒸蒸日上每盒分别装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果8千克，4千克，3千克；独占鳌头每盒装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果3千克，8千克，6千克；蒸蒸日上每盒的总成本是每千克车厘子水果成本的14倍，每盒蒸蒸日上的销售利润是60%，每盒独占鳌头的售价是成本的倍，每盒吉祥如意在成本上提高60%标价后打八折出售，获利为每千克车厘子水果成本的2.8倍，当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数量之比为5：2：5，则销售的总利润率为___________________.
三、解答题：共78分.
21.计算或解不等式组：
（1）；
（2）
22.如图，在线段上有两点，在线段的异侧有两点，满足，，连接；
（1）求证：；
（2）若，，当平分时，求.
23.为了绿化环境，巴蜀中学七年级一班同学都积极参加了植树活动.去年4月份该班同学的植树情况的部分统计如下图所示：
（1）根据以上统计图中的信息，
①该班有_____人；②植树株数的中位数是__________株；
③该班植树为5株的人数占该班总人数的百分比________________.
（2）请将该条形统计图补充完整；
（3）据统计，全年级每班植树情况大致相同，请根据该班的植树情况，估计全年级2000人中植树大于4棵的一共有多少人？
24.已知直线与直线交于点，点纵坐标1，且直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点.
（1）求直线的解析式；
（2）连结，求出.
25.有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥-1时，y＝ ，当x＜-1时y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图象；
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围： ．
26.今年受猪瘟影响，从年初开始，猪肉价格不断走高.消费者王阿姨发现，9月20日当天猪肉的价格是年初的1.5倍；9月20日当天，王阿姨购买4千克猪肉比年初多花了48元.
（1）那么9月20日当天猪肉的价格为每千克多少元？
（2）9月20日，按照（1）中的猪肉价格，某售卖点共卖出1000千克猪肉.9月21日，政府决定投入储备猪肉并规定其销售价在9月20日的基础上下调出售.该焦卖点按规定价出售一批储备猪肉和非储备猪肉，该售卖点的非储备猪肉仍按9月20日的价格出售，9月21日当天的两种猪肉总销量比9月20日增加了20%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比9月20日至少提高了，求的最大值.
27.如图，在中，，以为边作等边，连接.
（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图2，若，点为中点，连接，且，延长至点，连接，使得，求证：；
28.如图1，已知直线和直线交于轴上一点，且分别交轴于点、点，且.
（1）求的值；
（2）如图1，点是直线上一点，且在轴上方，当时，在线段上取一点，使得，点分别为轴、轴上的动点，连接，将沿翻折至，求的最小值；
（3）如图2，分别为射线上的动点，连接是否存在这样的点，使得为等腰三角形，为直角三角形同时成立.请直接写出满足条件的点坐标.
重庆市渝中区巴蜀中学校2019-2020学年八年级上学期期末
数学试题答案与解析
一、选择题：（每题4分，共48分）.
1.如图，图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.若一个等腰三角形的底角是40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形底角相等的性质，利用三角形内角和即可得出其顶角.
【详解】由题意，得
等腰三角形的顶角为180°-40°-40°=100°
故答案为D.
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质,熟练掌握,即可解题.
3.下列不等式的变形不正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 若则
D. 若则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形不正确的选项即可.
【详解】A.若，不等式两边同时加上3得：，即A项正确；
B.若，不等式两边同时乘以-1得：，则B项正确；
C. 若 ，不等式两边同时乘以- 2得：，则C项正确；
D. 若 ，不等式两边同时除以-2得： ，则D项错误，
故选D.
【点睛】本题考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解本题的关键.
4.在八年级跳绳比赛中，甲乙两班同学人数相同，且跳绳个数的平均数相同；甲班跳绳个数的方差是4.87，乙班跳绳个数的方差是9.12，则参赛同学跳绳水平更整齐的班级是（ ）
A. 甲班 B. 乙班 C. 一样整齐 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方差数据可知，方差越大波动越大，反之越小，即可判定.
【详解】由题意，得甲班的方差数据较小，故参赛同学跳绳水平更整齐，
故答案为A.
【点睛】此题主要考查方差的意义，方差反映的是离散程度.
5.以下各组数为三角形的三边长（单位均为米），其中能够构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 8，13，15 C. 5，12，13 D. 10，15，20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理逆定理，逐一判定即可.
【详解】A选项，，不能构成直角三角形；
B选项，，不能构成直角三角形；
C选项，，能构成直角三角形；
D选项，，不能构成直角三角形；
故答案为C.
【点睛】此题主要考查勾股定理的逆定理的运用，熟练掌握，即可解题.
6.下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
B. 一个三角形中至少有两个锐角；
C. 两直线平行，同位角相等；
D. 相等的角是对顶角
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线、三角形、角的性质，逐一判定即可.
【详解】A选项，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题；
B选项，一个三角形中至少有两个锐角，正确，是真命题；
C选项，两直线平行，同位角相等，正确，是真命题；
D选项，相等的角不一定是对顶角，是假命题；
故答案为D.
【点睛】此题主要考查根据根据平行线、三角形、角的性质，判断真假命题.
7.估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A. 2和3 B. 3和4 C. 5和6 D. 7和8
【答案】B
【解析】
【分析】
首先将所求代数式化到最简，然后利用近似值判定即可.
【详解】
∵
∴其结果在连续自然数3和4之间
故答案为B.
【点睛】此题主要考查近似值的估算，熟练掌握，即可解题.
8.一次函数与的图象如图所示，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据函数图象可知其交点，然后即可判定不等式的解集.
【详解】由已知，得两函数的交点为
∴的解集为
故答案为C.
【点睛】此题主要考查利用一次函数图象的性质解不等式，解题关键是根据交点判定.
9.如图，等腰直角中，，，将沿方向平移得，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据等腰直角三角形的性质得出∠A=∠BCA=45°，再根据勾股定理得出AC，然后由平移的性质得出∠A=∠EDF，AD=，DG=CG，进而得出CD，∠DGC=90°，再由勾股定理得出DG，即可得出△DGC的面积.
【详解】∵等腰直角中，，，
∴∠A=∠BCA=45°，
又∵将沿方向平移得，
∴∠A=∠EDF，AD=，DG=CG
∴CD=AC-AD=
∴∠DGC=90°
∵
∴
∴
故答案为A.
【点睛】此题主要考查等腰直角三角形、平移的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
10.如图所示，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，…记面积为，面积为，面积为，…，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件得到△△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3是等腰直角三角形，根据最新的解析式得到A1（0，1），求得B1（1，0），得到OB1=OA1=1，根据三角形的面积公式得到S1=×1×1=×12，同理S2=×2×2=×22，S3=×4×4=×42；…得到Sn=×22n-2=22n-3，于是得到结论．
【详解】∵OB1=OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，B1B2=B1A2；A3B2⊥x轴，B2B3=B2A3；…
∴△△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3是等腰直角三角形，
∵y=x+1交y轴于点A1，
∴A1（0，1），
∴B1（1，0），
∴OB1=OA1=1，
∴S1=×1×1=×12，
同理S2=×2×2=×22，S3=×4×4=×42；…
∴Sn=×22n-2=22n-3，
∴S8=22×8-3=213，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
11.整数使得关于二元一次方程组的解为正整数（均为正整数），且使得关于的不等式组无解，则所有满足条件的的和为（ ）
A. 9 B. 16 C. 17 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】
首先用消元法解二元一次方程组，然后解不等式组，根据无解得出的取值范围，列出所有满足条件的，即可求出和.
【详解】
①-②，得
由已知可得，
∴
代入②，得
二元一次方程组的解为正整数，
则即
解得
若使不等式组无解，则
∴
又∵为整数，二元一次方程组的解为正整数
∴满足条件的的值为4、5、8
∴其和17.
故答案为C.
【点睛】此题主要考查二元一次方程组和不等式组的综合问题求参数，解题关键是理解题意，找出满足条件的参数.
12.如图所示，在中，是边中点，连接，将沿线段翻折后得，其中，则到边的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先连接AA′，延长BD与AA′交于点E，作DF⊥AB，由翻折的性质得出△ABA′为等腰三角形，△A′CD是等边三角形，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出BE⊥AA′，AE=A′E，进而利用勾股定理得出DE、BD，再次利用勾股定理构建方程，即可得出AF，进而得出DF.
【详解】连接AA′，延长BD与AA′交于点E，作DF⊥AB于F，如图所示：
由已知，得AB=A′B=，AD=A′D=4
∴△ABA′为等腰三角形，
∴BE⊥AA′，AE=A′E
∵A′C=4
∴△A′CD是等边三角形
∴∠ADA′=120°，∠EDA′=60°，∠AA′C=90°
∴DE=2，AE=A′E=
∴
∴BD=BE-DE=5-2=3
设AF=，在△ABD中，
∴
即
解得
∴
故答案为D.
【点睛】此题主要考查等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解题关键是利用勾股定理构建方程.
二、填空题（每题3分， 共24分，将答案填在答题纸上）
13.已知2、3、5、5、7的众数是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据众数的定义：众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据,即可得解.
【详解】由已知，得其众数为5，
故答案为5.
【点睛】此题主要考查对众数的理解，熟知概念是解题关键.
14.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
【答案】10．
【解析】
试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为10．
考点：等腰三角形性质；三角形三边关系．
15.在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
首先根据对称性，得出点A的坐标，即可得出和的值，然后代入即可得解.
【详解】由已知，得
点A的坐标为
∴
∴
故答案为-3.
【点睛】此题主要考查在平面直角坐标系中利用对称性求点坐标以及关于坐标的计算，熟练掌握，即可解题.
16.已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是________．
【答案】k＜3
【解析】
【分析】
根据时，函数图象经过第一、二、四象限，即可求解；
【详解】解：的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；熟练掌握一次函数与对函数图象的影响是解题的关键．
17.如图所示，在中，，，将绕点旋转到的位置，点刚好落在边上，则的度数为_______________.
【答案】40°
【解析】
【分析】
首先根据直角三角形的性质得出∠ABC，然后由旋转的性质得出BC=DC，∠ACB=∠DCE=90°，进而得出∠ABC=∠BDC，即可得出∠ACE.
【详解】∵，，
∴∠ABC=∠ACB-∠A=90°-20°=70°
又∵将绕点旋转到的位置，
∴BC=DC，∠ACB=∠DCE=90°
∴∠ABC=∠BDC=70°，∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°
∴∠ACE=180°-∠ABC-∠BDC=180°-70°-70°=40°
故答案为40°.
【点睛】此题主要考查利用直角三角形、旋转的性质求解角的度数，找出等量关系是解题关键.
18.如图所示，在中，，为边的垂直平分线，交的延长线于点，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先连接AE，根据勾股定理得出AC，然后由三线合一的性质得出AE=BE=BC+CE=3+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理列出等式，即可得出CE.
【详解】连接AE，如图所示：
∵，，
∴
又∵为边的垂直平分线，
∴AE=BE=BC+CE=3+CE
∴在Rt△ACE中，
即
∴
故答案为.
【点睛】此题主要考查利用勾股定理以及三线合一的性质，构建等式，即可解题.
19.甲、乙两人在直线跑道上从向同向匀速跑步，间相距800米，已知甲先出发，乙先到终点后原地休息了3秒，由于乙体力消耗较大，于是以原来速度的倍匀速返回，直到甲乙两人第二次相遇时两人同时停止运动。在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则甲、乙两次相遇点之间的距离为____________米.
【答案】696
【解析】
【分析】
首先根据图象分别求出甲乙的速度，然后求出第二次相遇时甲乙所行驶的距离，即可得解.
【详解】由图象得甲的速度为米/秒
乙的速度为米/秒
乙从第一次相遇后到终点所用时间为秒
乙先到终点后原地休息了3秒，此时甲行驶的距离为米
此时甲乙相距800-672=128米
乙反向行驶的速度为米/秒
甲乙第二次相遇所经过时间为秒
此时乙反向行驶的距离为8×8=64米
甲乙两次相遇点之间的距离为800-64-40=696米
故答案为696米.
【点睛】此题主要考查路程相遇问题，根据图象求出速度是解题关键.
20.某超市促销活动，将车厘子、波罗蜜、山竹三种水果采用三种不同方式搭配成礼盒，分别是蒸蒸日上礼盒、独占鳌头礼盒、吉祥如意礼盒，将礼盒进行销售，每盒的总成本为盒中车厘子、波罗蜜、山竹三种水果成本之和，盒子成本忽略不计，蒸蒸日上每盒分别装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果8千克，4千克，3千克；独占鳌头每盒装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果3千克，8千克，6千克；蒸蒸日上每盒的总成本是每千克车厘子水果成本的14倍，每盒蒸蒸日上的销售利润是60%，每盒独占鳌头的售价是成本的倍，每盒吉祥如意在成本上提高60%标价后打八折出售，获利为每千克车厘子水果成本的2.8倍，当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数量之比为5：2：5，则销售的总利润率为___________________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先分别设每千克车厘子、波罗蜜、山竹三种水果的成本价分别为，然后根据题意将每种礼盒的成本和利润都用表示出来即可得解.
【详解】设每千克车厘子、波罗蜜、山竹三种水果的成本价分别为
，即
①蒸蒸日上的总成本是：
每盒蒸蒸日上的销售利润是
②独占鳌头的总成本是：
每盒独占鳌头的售价是
每盒独占鳌头的销售利润为
③每盒吉祥如意的销售利润是
每盒吉祥如意的成本是
当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数量之比为5：2：5，
总成本是
总利润是
总利润率为
故答案为.
【点睛】此题主要考查三元一次方程的实际应用，分析题意，找到合适的等量关系是解题关键.
三、解答题：共78分.
21.计算或解不等式组：
（1）；
（2）
【答案】（1）9；（2）
【解析】
【分析】
（1）按照有理数乘方的运算法则，计算即可；
（2）首先解每个不等式，然后求出解集即可.
【详解】（1）原式==9；
（2）
解不等式①，得
解不等式②，得
故不等组解集为
【点睛】此题主要考查含乘方的有理数运算以及不等式组的求解，熟练掌握其方法，即可解题.
22.如图，在线段上有两点，在线段的异侧有两点，满足，，连接；
（1）求证：；
（2）若，，当平分时，求.
【答案】（1）见解析；（2）55°
【解析】
【分析】
（1）首先由得出CF=BE，然后即可判定△ABE≌△DCF，即可得出；
（2）由三角形全等的性质得出∠B=∠C=40°，∠AEB=∠DFC=30°，∠CDF=∠BAE，然后由角平分线的性质得出∠BAF.
【详解】（1）∵，
∴CE+EF=BF+EF
∴CF=BE
又∵
∴△ABE≌△DCF（SSS）
∴
即可得证；
（2）由（1）中△ABE≌△DCF，，，得
∠B=∠C=40°，∠AEB=∠DFC=30°，
∴∠CDF=∠BAE=180°-∠C-∠DFC=180°-40°-30°=110°
∵平分
∴∠EAF=∠BAF=∠BAE=55°
故答案为55°.
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.
23.为了绿化环境，巴蜀中学七年级一班同学都积极参加了植树活动.去年4月份该班同学的植树情况的部分统计如下图所示：
（1）根据以上统计图中的信息，
①该班有_____人；②植树株数的中位数是__________株；
③该班植树为5株的人数占该班总人数的百分比________________.
（2）请将该条形统计图补充完整；
（3）据统计，全年级每班植树情况大致相同，请根据该班的植树情况，估计全年级2000人中植树大于4棵的一共有多少人？
【答案】（1）①50；②3；③14%；（2）见解析；（3）全年级2000人中植树大于4棵的一共有440人.
【解析】
【分析】
（1）首先联合两个统计图，根据植树2株的人数和所占百分比，即可得出总数；按照植树株数从小到大排列，可得位于中间的植树株数是2和4，即可得出其中位数；根据植树5株的人数和总数即可得出其百分比；
（2）首先由总数和其他人数即可得出植树4株的人数然后补全条形图即可；
（3）首先求出植树大于4棵的人数所占百分比，然后即可估算全年级的植树大于4棵的人数.
【详解】（1）根据两个统计图信息，得
①该班的总人数为16÷32%=50人；
②按照植树株数从小到大排列，可得位于中间的植树株数是2和4，故其中位数为
③该班植树为5株的人数占该班总人数的百分比为：
故答案为50；3；14%；
（2）由题意，知植树4株的人数是50-9-16-7-4=14人
补全条形统计图，如图所示：
（3）由题意，得植树大于4棵的人数所占百分比为
∴全年级2000人中植树大于4棵的一共有人；
故全年级2000人中植树大于4棵的一共有440人.
【点睛】此题主要考查与统计相关的计算，熟练掌握中位数、频数、频率等相关知识，即可解题.
24.已知直线与直线交于点，点纵坐标为1，且直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点.
（1）求直线的解析式；
（2）连结，求出.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先由两直线交点A的纵坐标得出其横坐标，然后代入直线，即可得出其解析式；
（2）首先分别求出B、C、D的坐标，进而得出OB、OC、OD、CD，然后根据三角形面积的转换，即可得解.
【详解】（1）由已知，得A点横坐标为，即
即A（-1,1）
代入直线，得，
直线的解析式为：
（2）由已知，得B（-2,0），C（0，），D（0,2）
∴OB=2，OC=，OD=2，CD=
∴
即
【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中直线解析式和所围成三角形面积的求解，熟练掌握性质，即可解题.
25.有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥-1时，y＝ ，当x＜-1时y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图象；
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围： ．
【答案】（1）x，-1（2）见解析（3）当时，y随x的增大而增大（4）
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的意义化简即可；
（2）根据（1）中化简的结果画出图像即可；
（3）结合图像回答即可；
（4）根据的性质，结合图像解答即可.
【详解】（1） 当x≥-1时，
；
当x＜-1时
；
(2)如图，
（3）函数有最小值-1，函数无最大值，当时，y随x的增大而增大（此题答案不唯一）
（3）∵经过点（0,1）
∴当时，方程只有一个实数根.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，画函数图像，利用图像解不等式等知识，正确画出函数图像是解答本题的关键.
26.今年受猪瘟影响，从年初开始，猪肉价格不断走高.消费者王阿姨发现，9月20日当天猪肉的价格是年初的1.5倍；9月20日当天，王阿姨购买4千克猪肉比年初多花了48元.
（1）那么9月20日当天猪肉的价格为每千克多少元？
（2）9月20日，按照（1）中的猪肉价格，某售卖点共卖出1000千克猪肉.9月21日，政府决定投入储备猪肉并规定其销售价在9月20日的基础上下调出售.该焦卖点按规定价出售一批储备猪肉和非储备猪肉，该售卖点的非储备猪肉仍按9月20日的价格出售，9月21日当天的两种猪肉总销量比9月20日增加了20%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比9月20日至少提高了，求的最大值.
【答案】（1）9月20日当天猪肉的价格为每千克36元；（2）的最大值为25.
【解析】
【分析】
（1）设年初猪肉的价格为每千克元，则9月20日当天猪肉的价格为每千克元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）根据题意，分别得出9月20日销售金额、储备猪肉每千克的销售价、9月21日当天的两种猪肉总销量、储备猪肉的销量和销售金额、非储备猪肉的销量和销售金额，列出总金额的不等式，解得即可.
【详解】（1）设年初猪肉的价格为每千克元，则9月20日当天猪肉的价格为每千克元，
根据题意，得
解得
经检验是方程的解，
∴
答：9月20日当天猪肉的价格为每千克36元；
（2）由题意，得9月20日销售金额为：36×1000=36000元
储备猪肉每千克的销售价：36（1-）
9月21日当天的两种猪肉总销量为：1000（1+20%）
储备猪肉的销量为：1000（1+20%）×
储备猪肉销售金额为：36（1-）×1000（1+20%）×
非储备猪肉的销量为：1000（1+20%）×
非储备猪肉销售金额为：36×1000（1+20%）×
9月21日两种猪肉销售的总金额为：36（1-）×1000（1+20%）×+36×1000（1+20%）×≥36000（1+）
解得
故的最大值为25.
【点睛】此题主要考查一元一次方程和不等式的实际应用，解题关键是理解题意，列出关系式.
27.如图，在中，，以为边作等边，连接.
（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图2，若，点为中点，连接，且，延长至点，连接，使得，求证：；
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）延长BC，作DE⊥BC，根据直角三角形的性质得出AC=2，BC=，然后根据等边三角形的性质即可得出△BCD的高，即可得出其面积；
（2）延长AB到G使AG=AB，易△ADG≅△ACF，∠G=∠F=30°，AE是中位线，可得AE∥GD，得∠CFA=90°，AE=DG=CF，再证CH＝CF，得CE=AH，可得四边形AECH是矩形，CE=AH，HF=AE即可.
【详解】（1）延长BC，作DE⊥BC于点E，如图所示：
∵，
∴AC=2，BC=
又∵等边，DE⊥BC
∴AC=CD=AD=2，∠DCE=30°
∴DE=1
∴
故答案为；
（2）延长BA到G，使得AB=AG，连接DG，作CH⊥AF于H，如图所示：
∵，，AB=AG
∴AB=AF=AG，∠BAF=120°
∴∠GAF=60°
∵等边
∴∠CAD=60°，AC=AD，
∴∠CAF=∠DAG
∴△ACF≌△ADG（SAS）
∴DG=CF，∠AGD=∠AFC=30°
又∵点为中点，AB=AG，
∴，∠BAE=∠AGD=30°
∴∠EAF=90°
又∵CH⊥AF，
∴，
∴，
∵
∴四边形AECH为矩形
∴AH=CE
∴
即可得证.
【点睛】此题主要考查直角三角形、等边三角形的性质，以及全等三角形和矩形的判定和性质的运用，解题关键是作出合适的辅助线，找到突破口.
28.如图1，已知直线和直线交于轴上一点，且分别交轴于点、点，且.
（1）求的值；
（2）如图1，点是直线上一点，且在轴上方，当时，在线段上取一点，使得，点分别为轴、轴上的动点，连接，将沿翻折至，求的最小值；
（3）如图2，分别为射线上的动点，连接是否存在这样的点，使得为等腰三角形，为直角三角形同时成立.请直接写出满足条件的点坐标.
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【解析】
【分析】
（1）首先由已知得出点B和C的坐标，即可得出直线AC的解析式，然后得出点A的坐标，代入直线AB，即可得出的值；
（2）首先根据△ACD的面积求出点D坐标，然后由得出点F的坐标和CF，若使有最小值,则M、C′、D在一条直线上，作F和C′关于轴的对称点F′和C′′，根据D和F′的坐标得出DF′，然后即可得解；
（3）若使得为等腰三角形，为直角三角形同时成立，则分情况求解，H在AC上和AC的延长线上，根据平行线成比例和相似三角形的性质，列出方程，即可得出P坐标.
【详解】（1）由已知，得
∵，C在轴正半轴，B在轴负半轴
∴
即
∴直线，直线
∴，将其代入直线AB，
∴
（2）∵点是直线上一点，设点D坐标为
∴
即
∴，即D
∵
∴,即C′在以CF为半径的圆上，
若使有最小值,则M、C′、D在一条直线上，作F和C′关于轴的对称点F′和C′′，如图所示，则，
∴
∴
（3）根据题意，分情况求解：
①
若PH⊥OA，则HP=HC，HP∥CN
∴
设H（x，y）可得
,
∴
②
若PH⊥AC，则HP=HC，
∴△APH∽△ACO
∴
设，可得
∴
∴
∴
③
若PH⊥OA，∠H=∠ACO=60°
∴HP=HC=PC
∴
设H（x，y）可得
∴
故满足条件的点P坐标为或或.
【点睛】此题主要考查一次函数解析式的求解以及动点综合问题，解题关键是求出坐标，找到突破口.
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