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2019-2020学年八年级数学上册期末考点大串讲 专题13 一次函数的应用（知识点串讲）（原卷 解析版）
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专题13 一次函数的应用
知识网络
重难突破
知识点一 一次函数与方程（组）
1.一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：
一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在y＝0时所对应的x的值．
2. 二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的交点坐标．
【典例1】（2019•苍南县一模）一次函数y1＝x+1与y2＝﹣2x+4图象交点的横坐标是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【变式训练】
1．（2017秋•平阳县期末）已知直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝3
2．（2018秋•江干区期末）一次函数y＝x+1与一次函数y＝﹣3x+m的图象的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2019春•乐清市期中）在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y＝x﹣3与y＝kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
知识点二 一次函数与不等式（组）
1.一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)与一次函数y＝kx＋b的关系：
一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解即为一次函数y＝kx＋b在y＞0(或y＜0)时所对应的x的取值范围．
2.利用数形结合解决一次函数与不等式（组）的问题
【典例2】（2018秋•下城区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（ ）
A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
【变式训练】
1．（2019•温岭市一模）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞3 D．x＜3
2．（2018秋•柯桥区期末）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式nx+4n＞﹣x+m＞0的整数解可能是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
3．（2018秋•秀洲区期末）观察图，可以得出不等式组的解集是 （ ）
A．x＜4 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜4
知识点三 一次函数的实际应用
一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．
【典例3】（2018秋•德清县期末）某校为学生装一台直饮水器，课间学生到直饮水器打水．他们先同时打开全部的水笼头放水，后来又关闭了部分水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图，请结合图象回答下列问题：
（1）求当x＞5时，y与x之间的函数关系式；
（2）假定每人水杯接水0.7升，要使40名学生接水完毕，课间10分钟是否够用？请计算回答．
【变式训练】
1．（2019春•温岭市期末）五•一小长假，李军与张明相约去宁波旅游，李军从温岭北上沿海高速，同时张明从玉环芦浦上沿海高速，温岭北与玉环芦浦相距44千米，两人约好在三门服务区集合，李军由于离三门近，行驶了1.2小时先到达三门服务站等候张明，张明走了1.4小时到达三门服务站．在整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，两人相距的路程y千米与张明行驶的时间x小时的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．李军的速度是80千米/小时 B．张明的速度是100千米/小时
C．玉环芦浦至三门服务站的路程是140千米 D．温岭北至三门服务站的路程是44千米
2．（2019•莲都区模拟）甲、乙二人从学校出发去新华书店看书，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进两人均匀速前行，他们之间的距离s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．乙的速度是甲速度的2.5倍 B．a＝15
C．学校到新华书店共3800米 D．甲第25分钟到达新华书店
3．（2018•绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为xcm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，ycm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是 ．
巩固训练
1．（2019•法库县模拟）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解是 ．
2．（2018秋•临安区期末）一次函数y＝x+2与y＝﹣3x+6的图象相交于点（1，3），则方程组的解为 ，关于x的不等式组﹣3x+6＞x+2＞0的解为 ．
3．（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 ．
4．（2018秋•慈溪市期末）星期日早晨，小青从家出发匀速去森林公园溜冰，小青出发一段时间后，他妈妈发现小青忘带了溜冰鞋，于是立即骑自行车沿小青行进的路线匀速去追赶，妈妈追上小青后，立即沿原路线匀速返回家，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的三分之二，小青继续以原速度步行前往森林公园，妈妈与小青之间的路程y（米）与小青从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示，当妈妈刚回到家时，小青到森林公园的路程还有 米．
5．（2019春•温岭市期末）已知一次函数图象过点P（0，6），且平行于直线y＝﹣2x
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点A（，a）、B（2，b）在该函数图象上，试判断a、b的大小关系，并说明理由．
6．（2018•上城区一模）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数的图象经过点M（4，7），且平行于直线y＝2x．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点N（a，b）是该一次函数图象上的点，且点N在直线y＝3x+2的下方，求a的取值范围．
7．（2018秋•下城区期末）已知一次函数y1＝（a﹣1）x﹣2a+1，其中a≠1．
（1）若点（1，﹣）在y1的图象上，求a的值；
（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值2，求y1的函数表达式；
（3）对于一次函数y2＝（m+1）（x﹣1）+2，其中m≠﹣1，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
8．（2018秋•上虞区期末）甲、乙两车从A地开往B地，甲车比乙车早出发2小时，并且在途中休息了0.5小时，休息前后速度相同，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．解答下列问题：
（1）图中a的值为 ；
（2）当x＞1.5（h）时，求甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式；
（3）当甲车行驶多长时间后，两车恰好相距40km？
9．（2019•绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
专题13 一次函数的应用答案及解析
知识网络
重难突破
知识点一 一次函数与方程（组）
1.一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：
一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在y＝0时所对应的x的值．
2. 二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的交点坐标．
【典例1】（2019•苍南县一模）一次函数y1＝x+1与y2＝﹣2x+4图象交点的横坐标是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【点拨】求两个一次函数的交点的横坐标，应该x+1＝﹣2x+4就可求得．
【解析】解：根据题意可得：x+1＝﹣2x+4，解得x＝1
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数和一元一次方程相结合的知识点．这是用函数观点看方程（组）的问题．
【变式训练】
1．（2017秋•平阳县期末）已知直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝3
【点拨】直线y＝mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n＝0的解．
【解析】解：∵直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（3，0），
∴当y＝0时，x＝3，
∴关于x的方程mx+n＝0的解为x＝3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
2．（2018秋•江干区期末）一次函数y＝x+1与一次函数y＝﹣3x+m的图象的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+1的图象不经过第四象限，于是可判断两直线的交点不可能在第四象限．
【解析】解：因为次函数y＝x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
3．（2019春•乐清市期中）在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y＝x﹣3与y＝kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【点拨】让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．
【解析】解：由题意得：，
解得：，
∴，
∵交点为整数，
∴k可取的整数解有0，2，3，5，﹣1，﹣3共6个．
故选：C．
【点睛】本题考查了两条直线相交或者平行问题，难度一般，解决本题的难点是根据分数的形式得到相应的整数解．
知识点二 一次函数与不等式（组）
1.一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)与一次函数y＝kx＋b的关系：
一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解即为一次函数y＝kx＋b在y＞0(或y＜0)时所对应的x的取值范围．
2.利用数形结合解决一次函数与不等式（组）的问题
【典例2】（2018秋•下城区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（ ）
A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
【点拨】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后利用函数图象，写出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象在正比例函数图象上方所对应的自变量的范围．
【解析】解：把A（m，﹣3）代入y＝x得m＝﹣3，解得m＝﹣9，
所以当x＞﹣9时，kx+b＞x，
即kx﹣x＞﹣b的解集为x＞﹣9．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式训练】
1．（2019•温岭市一模）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞3 D．x＜3
【点拨】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+6的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为x＞1．
【解析】解：当x＞1时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．（2018秋•柯桥区期末）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式nx+4n＞﹣x+m＞0的整数解可能是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【点拨】满足关于x的不等式nx+4n＞﹣x+m＞0就是在x轴的上方且直线y＝nx+4n位于直线y＝﹣x+m的上方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可．
【解析】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x的不等式nx+4n＞﹣x+m的解集为x＞﹣2，
∵﹣x+m＞0
∴由图象可知，x＜0
∴﹣2＜x＜0
∴整数解可能是﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．
3．（2018秋•秀洲区期末）观察图，可以得出不等式组的解集是 （ ）
A．x＜4 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜4
【点拨】根据直线y＝ax+b交x轴于点（4，0），直线y＝cx+d交x轴于点（﹣1，0），再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．
【解析】解：∵直线y＝ax+b交x轴于点（4，0），
∴ax+b＞0的解集为：x＜4，
∵直线y＝cx+d交x轴于点（﹣1，0），
∴cx+d＜0的解集为：x＜﹣1，
∴不等式组的解集是：x＜﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是正确根据图象解题．
知识点三 一次函数的实际应用
一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．
【典例3】（2018秋•德清县期末）某校为学生装一台直饮水器，课间学生到直饮水器打水．他们先同时打开全部的水笼头放水，后来又关闭了部分水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图，请结合图象回答下列问题：
（1）求当x＞5时，y与x之间的函数关系式；
（2）假定每人水杯接水0.7升，要使40名学生接水完毕，课间10分钟是否够用？请计算回答．
【点拨】（1）设x＞5时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（5，9），（7，6）代入，运用待定系数法即可求解；
（2）先求出40名同学接完水后的余水量，再代入（1）中所求解析式，求出时间，与10分钟比较即可．
【解析】解：（1）设x＞5时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得，解得，
所以x＞5时，y与x之间的函数关系式为y＝﹣1.5x+16.5；
（2）够用．理由如下：
接水总量为0.7×40＝28（升），
饮水机内余水量为30﹣28＝2（升），
当y＝2时，有2＝﹣1.5x+16.5，
解得：x＝．
所以要使40名学生接水完毕，课间10分钟够用．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时求出函数关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2019春•温岭市期末）五•一小长假，李军与张明相约去宁波旅游，李军从温岭北上沿海高速，同时张明从玉环芦浦上沿海高速，温岭北与玉环芦浦相距44千米，两人约好在三门服务区集合，李军由于离三门近，行驶了1.2小时先到达三门服务站等候张明，张明走了1.4小时到达三门服务站．在整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，两人相距的路程y千米与张明行驶的时间x小时的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．李军的速度是80千米/小时 B．张明的速度是100千米/小时
C．玉环芦浦至三门服务站的路程是140千米 D．温岭北至三门服务站的路程是44千米
【点拨】根据图中信息以及路程、速度、时间之间的关系一一判断即可．
【解析】解：李军的速度为：20÷（1.4﹣1.2）﹣（44﹣20）÷1.2＝80千米/小时，故选项A不合题意；
张明的速度为：20÷（1.4﹣1.2）＝100千米/小时，故选项B不合题意；
玉环芦浦至三门服务站的路程为：100×1.4＝140千米，故选项C不合题意；
温岭北至三门服务站的路程为：80×1.2＝96千米，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的应用，行程问题等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．（2019•莲都区模拟）甲、乙二人从学校出发去新华书店看书，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进两人均匀速前行，他们之间的距离s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．乙的速度是甲速度的2.5倍 B．a＝15
C．学校到新华书店共3800米 D．甲第25分钟到达新华书店
【点拨】根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案．
【解析】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，
∴甲的运动速度为：720÷9＝80（m/分），
∵甲19分钟运动距离为：19×80＝1520（m），
当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达新华书店，此时乙运动19﹣9＝10（分钟），乙比甲多走480米，
∴乙的运动速度为：（1520+480）÷10＝200（m/分），
∴200÷80＝2.5，
∴乙的速度是甲速度的2.5倍，故选项A说法正确；
设乙x分后追上甲，根据题意得：720+80x＝200x，解得x＝6
∴a＝9+6＝15，故选项B说法正确；
学校到新华书店距离为：10×200＝2000（m），故选项C说法错误；
甲运动时间为：2000÷80＝25（分钟），
故甲第25分钟到达新华书店，故选项D说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2018•绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为xcm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，ycm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是 y＝（0＜x≤）或y＝（6≤x＜8） ．
【点拨】分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．
【解析】解：①当长方体实心铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在长方体的容器底面时，
则铁块浸在水中的高度为8cm，
此时，水位上升了（8﹣x）cm（x＜8），铁块浸在水中的体积为10×8×y＝80ycm3，
∴80y＝30×20×（8﹣x），
∴y＝，
∵y≤15，
∴x≥6，
即：y＝（6≤x＜8），
②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，
同①的方法得，y＝（0＜x≤），
故答案为：y＝（0＜x≤）或y＝（6≤x＜8）
【点睛】此题主要考查了从实际问题列一次函数关系式，正确找出相等关系是解本题的关键．
巩固训练
1．（2019•法库县模拟）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解是 ．
【点拨】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解析】解：∵直线y＝x+1经过点P（1，b），
∴b＝1+1，
解得b＝2，
∴P（1，2），
∴关于x的方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
2．（2018秋•临安区期末）一次函数y＝x+2与y＝﹣3x+6的图象相交于点（1，3），则方程组的解为 ，关于x的不等式组﹣3x+6＞x+2＞0的解为 ﹣2＜x＜1 ．
【点拨】根据一次函数与二元一次方程组以及与一元一次不等式的关系解答即可．
【解析】解：∵一次函数y＝x+2与y＝﹣3x+6的图象相交于点（1，3），
则方程组的解为，
由图象可得关于x的不等式组﹣3x+6＞x+2＞0的解为﹣2＜x＜1
故答案为：，﹣2＜x＜1．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组以及与一元一次不等式问题，体现了数形结合的思想方法，准确确定出交点坐标，是解答本题的关键．
3．（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 （32，4800） ．
【点拨】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【解析】解：令150t＝240（t﹣12），
解得，t＝32，
则150t＝150×32＝4800，
∴点P的坐标为（32，4800），
故答案为：（32，4800）．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2018秋•慈溪市期末）星期日早晨，小青从家出发匀速去森林公园溜冰，小青出发一段时间后，他妈妈发现小青忘带了溜冰鞋，于是立即骑自行车沿小青行进的路线匀速去追赶，妈妈追上小青后，立即沿原路线匀速返回家，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的三分之二，小青继续以原速度步行前往森林公园，妈妈与小青之间的路程y（米）与小青从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示，当妈妈刚回到家时，小青到森林公园的路程还有 700 米．
【点拨】由图象可知：家到森林公园总路程为1600米，分别求小青和妈妈的速度，妈妈返回时，根据“妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的三分之二”，得速度为80米/分，可得返回时又用了7.5分钟，此时小青已经走了22.5分，还剩17.5分钟的总程．
【解析】解：由图象得：小青步行速度：1600÷40＝40（米/分），
由函数图象得出，妈妈在小青10分后出发，15分时追上小青，
设妈妈去时的速度为v米/分，
（15﹣10）v＝15×40，
v＝120，
则妈妈回家的时间：（分），
（40﹣15﹣7.5）×40＝700．
故答案为：700
【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程＝速度×时间之间的关系的运用，分别求小青和妈妈的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象．
5．（2019春•温岭市期末）已知一次函数图象过点P（0，6），且平行于直线y＝﹣2x
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点A（，a）、B（2，b）在该函数图象上，试判断a、b的大小关系，并说明理由．
【点拨】（1）首先设此一次函数解析式为y＝kx+b，根据条件平行于直线y＝﹣2x可得k＝﹣2，再把P（0，6）代入可得b的值，进而可得解析式；
（2）根据一次函数的性质即可判断．
【解析】解：（1）设此一次函数解析式为y＝kx+b，
∵平行于直线y＝﹣2x，
∴k＝﹣2，
∵图象经过P（0，6），
∴b＝6，
∴此一次函数解析式为y＝﹣2x+6；
（2）∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵＜2，
∴a＞b．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象平行，以及一次函数的性质，关键是掌握一次函数图象平行，k值相等．
6．（2018•上城区一模）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数的图象经过点M（4，7），且平行于直线y＝2x．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点N（a，b）是该一次函数图象上的点，且点N在直线y＝3x+2的下方，求a的取值范围．
【点拨】（1）根据两直线平行可知该一次函数斜率k＝2，设出解析式，将点P的坐标代入即可；
（2）根据直线上的点N（a，b）在直线y＝3x+2的下方可得2a﹣1＜3a+2，解不等式可得a的范围．
【解析】解：（1）∵一次函数的图象平行于直线y＝2x，
∴可设该一次函数解析式为y＝2x+b，
将点M（4，7）代入得：8+b＝7，
解得：b＝﹣1，
故一次函数解析式为：y＝2x﹣1；
（2）∵点N（a，b）是该一次函数图象上的点，
∴b＝2a﹣1，
又∵点N在直线y＝3x+2的下方，
∴2a﹣1＜3a+2，
解得：a＞﹣3．
【点睛】本题考查了两条直线平行的问题：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数图象上的点的坐标特征．
7．（2018秋•下城区期末）已知一次函数y1＝（a﹣1）x﹣2a+1，其中a≠1．
（1）若点（1，﹣）在y1的图象上，求a的值；
（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值2，求y1的函数表达式；
（3）对于一次函数y2＝（m+1）（x﹣1）+2，其中m≠﹣1，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
【点拨】（1）把（1，﹣）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中可求出a的值；
（2）讨论：当a﹣1＞0，即a＞1时，根据一次函数的性质得到x＝3时，y＝2，然后把（3，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中求出a得到此时一次函数解析式；当a﹣1＜0，即a＜1时，利用一次函数的性质得到x＝﹣2时，y＝2，然后把（﹣2，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中求出a得到此时一次函数解析式；
（3）先整理得到y2＝（m+1）x+m+1，再对一切实数x，y1＜y2都成立，则直线y1与y2平行，且y2在y1的上方，所以a﹣1＝m+1且﹣2a+1＜﹣m+1，从而得到a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
【解析】解：（1）把（1，﹣）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得a﹣1﹣2a+1＝﹣，
∴a＝；
（2）当a﹣1＞0，即a＞1时，则x＝3时，y＝2，
把（3，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得3（a﹣1）﹣2a+1＝2，解得a＝4，此时一次函数解析式为y＝3x﹣7；
当a﹣1＜0，即a＜1时，则x＝﹣2时，y＝2，
把（﹣2，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得﹣2（a﹣1）﹣2a+1＝2，解得a＝，此时一次函数解析式为y＝﹣x+；
（3）y2＝（m+1）（x﹣1）+2＝（m+1）x﹣m+1，
∵对一切实数x，y1＜y2都成立，
∴a﹣1＝m+1且﹣2a+1＜﹣m+1，
∴a＝m+2且a＞﹣2且a≠1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
8．（2018秋•上虞区期末）甲、乙两车从A地开往B地，甲车比乙车早出发2小时，并且在途中休息了0.5小时，休息前后速度相同，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．解答下列问题：
（1）图中a的值为 40 ；
（2）当x＞1.5（h）时，求甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式；
（3）当甲车行驶多长时间后，两车恰好相距40km？
【点拨】（1）从图上看，甲用3.5﹣0.5小时走了120km，则1小时走40km，即可求解；
（2）当x＞1.5（h）时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，其中k＝40，将（，40）代入上式得：×40+b＝40，即可求解；
（3）乙车1.5小时走了120米，故其速度为80，则设乙车行驶的过程y与时间x之间的解析式为y＝80x+b，当40x﹣20﹣（80x﹣160）＝40时，解得x＝．当80x﹣160﹣（40x﹣20）＝40时，解得x＝．即可求解．
【解析】解：（1）从图上看，甲用3.5﹣0.5小时走了120km，则1小时走40km，
故答案为：40；
（2）当x＞1.5（h）时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，其中k＝40，
将（，40）代入上式得：×40+b＝40，解得 b＝﹣20，
∴y＝40x﹣20．
（3）乙车1.5小时走120米，故其速度为80，
则设乙车行驶的过程y与时间x之间的解析式为y＝80x+b，
将（3.5，120）代入上式并解得：b＝﹣160，
∴y＝80x﹣160．
当40x﹣20﹣（80x﹣160）＝40时，解得x＝．
当80x﹣160﹣（40x﹣20）＝40时，解得x＝．
∴甲车行驶1小时（或1～1.5小时）或小时或小时，两车恰好相距40 km．
【点睛】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是求甲乙练车的速度．
9．（2019•绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【点拨】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【解析】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米；
（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，
∴，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝180时，y＝﹣0.5×180+110＝20，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
知识网络
重难突破
知识点一 一次函数与方程（组）
1.一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：
一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在y＝0时所对应的x的值．
2. 二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的交点坐标．
【典例1】（2019•苍南县一模）一次函数y1＝x+1与y2＝﹣2x+4图象交点的横坐标是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【变式训练】
1．（2017秋•平阳县期末）已知直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝3
2．（2018秋•江干区期末）一次函数y＝x+1与一次函数y＝﹣3x+m的图象的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2019春•乐清市期中）在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y＝x﹣3与y＝kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
知识点二 一次函数与不等式（组）
1.一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)与一次函数y＝kx＋b的关系：
一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解即为一次函数y＝kx＋b在y＞0(或y＜0)时所对应的x的取值范围．
2.利用数形结合解决一次函数与不等式（组）的问题
【典例2】（2018秋•下城区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（ ）
A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
【变式训练】
1．（2019•温岭市一模）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞3 D．x＜3
2．（2018秋•柯桥区期末）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式nx+4n＞﹣x+m＞0的整数解可能是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
3．（2018秋•秀洲区期末）观察图，可以得出不等式组的解集是 （ ）
A．x＜4 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜4
知识点三 一次函数的实际应用
一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．
【典例3】（2018秋•德清县期末）某校为学生装一台直饮水器，课间学生到直饮水器打水．他们先同时打开全部的水笼头放水，后来又关闭了部分水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图，请结合图象回答下列问题：
（1）求当x＞5时，y与x之间的函数关系式；
（2）假定每人水杯接水0.7升，要使40名学生接水完毕，课间10分钟是否够用？请计算回答．
【变式训练】
1．（2019春•温岭市期末）五•一小长假，李军与张明相约去宁波旅游，李军从温岭北上沿海高速，同时张明从玉环芦浦上沿海高速，温岭北与玉环芦浦相距44千米，两人约好在三门服务区集合，李军由于离三门近，行驶了1.2小时先到达三门服务站等候张明，张明走了1.4小时到达三门服务站．在整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，两人相距的路程y千米与张明行驶的时间x小时的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．李军的速度是80千米/小时 B．张明的速度是100千米/小时
C．玉环芦浦至三门服务站的路程是140千米 D．温岭北至三门服务站的路程是44千米
2．（2019•莲都区模拟）甲、乙二人从学校出发去新华书店看书，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进两人均匀速前行，他们之间的距离s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．乙的速度是甲速度的2.5倍 B．a＝15
C．学校到新华书店共3800米 D．甲第25分钟到达新华书店
3．（2018•绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为xcm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，ycm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是 ．
巩固训练
1．（2019•法库县模拟）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解是 ．
2．（2018秋•临安区期末）一次函数y＝x+2与y＝﹣3x+6的图象相交于点（1，3），则方程组的解为 ，关于x的不等式组﹣3x+6＞x+2＞0的解为 ．
3．（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 ．
4．（2018秋•慈溪市期末）星期日早晨，小青从家出发匀速去森林公园溜冰，小青出发一段时间后，他妈妈发现小青忘带了溜冰鞋，于是立即骑自行车沿小青行进的路线匀速去追赶，妈妈追上小青后，立即沿原路线匀速返回家，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的三分之二，小青继续以原速度步行前往森林公园，妈妈与小青之间的路程y（米）与小青从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示，当妈妈刚回到家时，小青到森林公园的路程还有 米．
5．（2019春•温岭市期末）已知一次函数图象过点P（0，6），且平行于直线y＝﹣2x
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点A（，a）、B（2，b）在该函数图象上，试判断a、b的大小关系，并说明理由．
6．（2018•上城区一模）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数的图象经过点M（4，7），且平行于直线y＝2x．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点N（a，b）是该一次函数图象上的点，且点N在直线y＝3x+2的下方，求a的取值范围．
7．（2018秋•下城区期末）已知一次函数y1＝（a﹣1）x﹣2a+1，其中a≠1．
（1）若点（1，﹣）在y1的图象上，求a的值；
（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值2，求y1的函数表达式；
（3）对于一次函数y2＝（m+1）（x﹣1）+2，其中m≠﹣1，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
8．（2018秋•上虞区期末）甲、乙两车从A地开往B地，甲车比乙车早出发2小时，并且在途中休息了0.5小时，休息前后速度相同，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．解答下列问题：
（1）图中a的值为 ；
（2）当x＞1.5（h）时，求甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式；
（3）当甲车行驶多长时间后，两车恰好相距40km？
9．（2019•绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
专题13 一次函数的应用答案及解析
知识网络
重难突破
知识点一 一次函数与方程（组）
1.一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：
一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在y＝0时所对应的x的值．
2. 二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的交点坐标．
【典例1】（2019•苍南县一模）一次函数y1＝x+1与y2＝﹣2x+4图象交点的横坐标是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【点拨】求两个一次函数的交点的横坐标，应该x+1＝﹣2x+4就可求得．
【解析】解：根据题意可得：x+1＝﹣2x+4，解得x＝1
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数和一元一次方程相结合的知识点．这是用函数观点看方程（组）的问题．
【变式训练】
1．（2017秋•平阳县期末）已知直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝3
【点拨】直线y＝mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n＝0的解．
【解析】解：∵直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（3，0），
∴当y＝0时，x＝3，
∴关于x的方程mx+n＝0的解为x＝3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
2．（2018秋•江干区期末）一次函数y＝x+1与一次函数y＝﹣3x+m的图象的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+1的图象不经过第四象限，于是可判断两直线的交点不可能在第四象限．
【解析】解：因为次函数y＝x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
3．（2019春•乐清市期中）在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y＝x﹣3与y＝kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【点拨】让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．
【解析】解：由题意得：，
解得：，
∴，
∵交点为整数，
∴k可取的整数解有0，2，3，5，﹣1，﹣3共6个．
故选：C．
【点睛】本题考查了两条直线相交或者平行问题，难度一般，解决本题的难点是根据分数的形式得到相应的整数解．
知识点二 一次函数与不等式（组）
1.一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)与一次函数y＝kx＋b的关系：
一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解即为一次函数y＝kx＋b在y＞0(或y＜0)时所对应的x的取值范围．
2.利用数形结合解决一次函数与不等式（组）的问题
【典例2】（2018秋•下城区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（ ）
A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
【点拨】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后利用函数图象，写出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象在正比例函数图象上方所对应的自变量的范围．
【解析】解：把A（m，﹣3）代入y＝x得m＝﹣3，解得m＝﹣9，
所以当x＞﹣9时，kx+b＞x，
即kx﹣x＞﹣b的解集为x＞﹣9．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式训练】
1．（2019•温岭市一模）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞3 D．x＜3
【点拨】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+6的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为x＞1．
【解析】解：当x＞1时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．（2018秋•柯桥区期末）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式nx+4n＞﹣x+m＞0的整数解可能是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【点拨】满足关于x的不等式nx+4n＞﹣x+m＞0就是在x轴的上方且直线y＝nx+4n位于直线y＝﹣x+m的上方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可．
【解析】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x的不等式nx+4n＞﹣x+m的解集为x＞﹣2，
∵﹣x+m＞0
∴由图象可知，x＜0
∴﹣2＜x＜0
∴整数解可能是﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．
3．（2018秋•秀洲区期末）观察图，可以得出不等式组的解集是 （ ）
A．x＜4 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜4
【点拨】根据直线y＝ax+b交x轴于点（4，0），直线y＝cx+d交x轴于点（﹣1，0），再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．
【解析】解：∵直线y＝ax+b交x轴于点（4，0），
∴ax+b＞0的解集为：x＜4，
∵直线y＝cx+d交x轴于点（﹣1，0），
∴cx+d＜0的解集为：x＜﹣1，
∴不等式组的解集是：x＜﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是正确根据图象解题．
知识点三 一次函数的实际应用
一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．
【典例3】（2018秋•德清县期末）某校为学生装一台直饮水器，课间学生到直饮水器打水．他们先同时打开全部的水笼头放水，后来又关闭了部分水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图，请结合图象回答下列问题：
（1）求当x＞5时，y与x之间的函数关系式；
（2）假定每人水杯接水0.7升，要使40名学生接水完毕，课间10分钟是否够用？请计算回答．
【点拨】（1）设x＞5时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（5，9），（7，6）代入，运用待定系数法即可求解；
（2）先求出40名同学接完水后的余水量，再代入（1）中所求解析式，求出时间，与10分钟比较即可．
【解析】解：（1）设x＞5时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得，解得，
所以x＞5时，y与x之间的函数关系式为y＝﹣1.5x+16.5；
（2）够用．理由如下：
接水总量为0.7×40＝28（升），
饮水机内余水量为30﹣28＝2（升），
当y＝2时，有2＝﹣1.5x+16.5，
解得：x＝．
所以要使40名学生接水完毕，课间10分钟够用．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时求出函数关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2019春•温岭市期末）五•一小长假，李军与张明相约去宁波旅游，李军从温岭北上沿海高速，同时张明从玉环芦浦上沿海高速，温岭北与玉环芦浦相距44千米，两人约好在三门服务区集合，李军由于离三门近，行驶了1.2小时先到达三门服务站等候张明，张明走了1.4小时到达三门服务站．在整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，两人相距的路程y千米与张明行驶的时间x小时的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．李军的速度是80千米/小时 B．张明的速度是100千米/小时
C．玉环芦浦至三门服务站的路程是140千米 D．温岭北至三门服务站的路程是44千米
【点拨】根据图中信息以及路程、速度、时间之间的关系一一判断即可．
【解析】解：李军的速度为：20÷（1.4﹣1.2）﹣（44﹣20）÷1.2＝80千米/小时，故选项A不合题意；
张明的速度为：20÷（1.4﹣1.2）＝100千米/小时，故选项B不合题意；
玉环芦浦至三门服务站的路程为：100×1.4＝140千米，故选项C不合题意；
温岭北至三门服务站的路程为：80×1.2＝96千米，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的应用，行程问题等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．（2019•莲都区模拟）甲、乙二人从学校出发去新华书店看书，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进两人均匀速前行，他们之间的距离s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．乙的速度是甲速度的2.5倍 B．a＝15
C．学校到新华书店共3800米 D．甲第25分钟到达新华书店
【点拨】根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案．
【解析】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，
∴甲的运动速度为：720÷9＝80（m/分），
∵甲19分钟运动距离为：19×80＝1520（m），
当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达新华书店，此时乙运动19﹣9＝10（分钟），乙比甲多走480米，
∴乙的运动速度为：（1520+480）÷10＝200（m/分），
∴200÷80＝2.5，
∴乙的速度是甲速度的2.5倍，故选项A说法正确；
设乙x分后追上甲，根据题意得：720+80x＝200x，解得x＝6
∴a＝9+6＝15，故选项B说法正确；
学校到新华书店距离为：10×200＝2000（m），故选项C说法错误；
甲运动时间为：2000÷80＝25（分钟），
故甲第25分钟到达新华书店，故选项D说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2018•绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为xcm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，ycm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是 y＝（0＜x≤）或y＝（6≤x＜8） ．
【点拨】分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．
【解析】解：①当长方体实心铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在长方体的容器底面时，
则铁块浸在水中的高度为8cm，
此时，水位上升了（8﹣x）cm（x＜8），铁块浸在水中的体积为10×8×y＝80ycm3，
∴80y＝30×20×（8﹣x），
∴y＝，
∵y≤15，
∴x≥6，
即：y＝（6≤x＜8），
②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，
同①的方法得，y＝（0＜x≤），
故答案为：y＝（0＜x≤）或y＝（6≤x＜8）
【点睛】此题主要考查了从实际问题列一次函数关系式，正确找出相等关系是解本题的关键．
巩固训练
1．（2019•法库县模拟）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解是 ．
【点拨】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解析】解：∵直线y＝x+1经过点P（1，b），
∴b＝1+1，
解得b＝2，
∴P（1，2），
∴关于x的方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
2．（2018秋•临安区期末）一次函数y＝x+2与y＝﹣3x+6的图象相交于点（1，3），则方程组的解为 ，关于x的不等式组﹣3x+6＞x+2＞0的解为 ﹣2＜x＜1 ．
【点拨】根据一次函数与二元一次方程组以及与一元一次不等式的关系解答即可．
【解析】解：∵一次函数y＝x+2与y＝﹣3x+6的图象相交于点（1，3），
则方程组的解为，
由图象可得关于x的不等式组﹣3x+6＞x+2＞0的解为﹣2＜x＜1
故答案为：，﹣2＜x＜1．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组以及与一元一次不等式问题，体现了数形结合的思想方法，准确确定出交点坐标，是解答本题的关键．
3．（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 （32，4800） ．
【点拨】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【解析】解：令150t＝240（t﹣12），
解得，t＝32，
则150t＝150×32＝4800，
∴点P的坐标为（32，4800），
故答案为：（32，4800）．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2018秋•慈溪市期末）星期日早晨，小青从家出发匀速去森林公园溜冰，小青出发一段时间后，他妈妈发现小青忘带了溜冰鞋，于是立即骑自行车沿小青行进的路线匀速去追赶，妈妈追上小青后，立即沿原路线匀速返回家，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的三分之二，小青继续以原速度步行前往森林公园，妈妈与小青之间的路程y（米）与小青从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示，当妈妈刚回到家时，小青到森林公园的路程还有 700 米．
【点拨】由图象可知：家到森林公园总路程为1600米，分别求小青和妈妈的速度，妈妈返回时，根据“妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的三分之二”，得速度为80米/分，可得返回时又用了7.5分钟，此时小青已经走了22.5分，还剩17.5分钟的总程．
【解析】解：由图象得：小青步行速度：1600÷40＝40（米/分），
由函数图象得出，妈妈在小青10分后出发，15分时追上小青，
设妈妈去时的速度为v米/分，
（15﹣10）v＝15×40，
v＝120，
则妈妈回家的时间：（分），
（40﹣15﹣7.5）×40＝700．
故答案为：700
【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程＝速度×时间之间的关系的运用，分别求小青和妈妈的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象．
5．（2019春•温岭市期末）已知一次函数图象过点P（0，6），且平行于直线y＝﹣2x
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点A（，a）、B（2，b）在该函数图象上，试判断a、b的大小关系，并说明理由．
【点拨】（1）首先设此一次函数解析式为y＝kx+b，根据条件平行于直线y＝﹣2x可得k＝﹣2，再把P（0，6）代入可得b的值，进而可得解析式；
（2）根据一次函数的性质即可判断．
【解析】解：（1）设此一次函数解析式为y＝kx+b，
∵平行于直线y＝﹣2x，
∴k＝﹣2，
∵图象经过P（0，6），
∴b＝6，
∴此一次函数解析式为y＝﹣2x+6；
（2）∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵＜2，
∴a＞b．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象平行，以及一次函数的性质，关键是掌握一次函数图象平行，k值相等．
6．（2018•上城区一模）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数的图象经过点M（4，7），且平行于直线y＝2x．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点N（a，b）是该一次函数图象上的点，且点N在直线y＝3x+2的下方，求a的取值范围．
【点拨】（1）根据两直线平行可知该一次函数斜率k＝2，设出解析式，将点P的坐标代入即可；
（2）根据直线上的点N（a，b）在直线y＝3x+2的下方可得2a﹣1＜3a+2，解不等式可得a的范围．
【解析】解：（1）∵一次函数的图象平行于直线y＝2x，
∴可设该一次函数解析式为y＝2x+b，
将点M（4，7）代入得：8+b＝7，
解得：b＝﹣1，
故一次函数解析式为：y＝2x﹣1；
（2）∵点N（a，b）是该一次函数图象上的点，
∴b＝2a﹣1，
又∵点N在直线y＝3x+2的下方，
∴2a﹣1＜3a+2，
解得：a＞﹣3．
【点睛】本题考查了两条直线平行的问题：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数图象上的点的坐标特征．
7．（2018秋•下城区期末）已知一次函数y1＝（a﹣1）x﹣2a+1，其中a≠1．
（1）若点（1，﹣）在y1的图象上，求a的值；
（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值2，求y1的函数表达式；
（3）对于一次函数y2＝（m+1）（x﹣1）+2，其中m≠﹣1，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
【点拨】（1）把（1，﹣）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中可求出a的值；
（2）讨论：当a﹣1＞0，即a＞1时，根据一次函数的性质得到x＝3时，y＝2，然后把（3，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中求出a得到此时一次函数解析式；当a﹣1＜0，即a＜1时，利用一次函数的性质得到x＝﹣2时，y＝2，然后把（﹣2，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中求出a得到此时一次函数解析式；
（3）先整理得到y2＝（m+1）x+m+1，再对一切实数x，y1＜y2都成立，则直线y1与y2平行，且y2在y1的上方，所以a﹣1＝m+1且﹣2a+1＜﹣m+1，从而得到a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
【解析】解：（1）把（1，﹣）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得a﹣1﹣2a+1＝﹣，
∴a＝；
（2）当a﹣1＞0，即a＞1时，则x＝3时，y＝2，
把（3，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得3（a﹣1）﹣2a+1＝2，解得a＝4，此时一次函数解析式为y＝3x﹣7；
当a﹣1＜0，即a＜1时，则x＝﹣2时，y＝2，
把（﹣2，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得﹣2（a﹣1）﹣2a+1＝2，解得a＝，此时一次函数解析式为y＝﹣x+；
（3）y2＝（m+1）（x﹣1）+2＝（m+1）x﹣m+1，
∵对一切实数x，y1＜y2都成立，
∴a﹣1＝m+1且﹣2a+1＜﹣m+1，
∴a＝m+2且a＞﹣2且a≠1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
8．（2018秋•上虞区期末）甲、乙两车从A地开往B地，甲车比乙车早出发2小时，并且在途中休息了0.5小时，休息前后速度相同，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．解答下列问题：
（1）图中a的值为 40 ；
（2）当x＞1.5（h）时，求甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式；
（3）当甲车行驶多长时间后，两车恰好相距40km？
【点拨】（1）从图上看，甲用3.5﹣0.5小时走了120km，则1小时走40km，即可求解；
（2）当x＞1.5（h）时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，其中k＝40，将（，40）代入上式得：×40+b＝40，即可求解；
（3）乙车1.5小时走了120米，故其速度为80，则设乙车行驶的过程y与时间x之间的解析式为y＝80x+b，当40x﹣20﹣（80x﹣160）＝40时，解得x＝．当80x﹣160﹣（40x﹣20）＝40时，解得x＝．即可求解．
【解析】解：（1）从图上看，甲用3.5﹣0.5小时走了120km，则1小时走40km，
故答案为：40；
（2）当x＞1.5（h）时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，其中k＝40，
将（，40）代入上式得：×40+b＝40，解得 b＝﹣20，
∴y＝40x﹣20．
（3）乙车1.5小时走120米，故其速度为80，
则设乙车行驶的过程y与时间x之间的解析式为y＝80x+b，
将（3.5，120）代入上式并解得：b＝﹣160，
∴y＝80x﹣160．
当40x﹣20﹣（80x﹣160）＝40时，解得x＝．
当80x﹣160﹣（40x﹣20）＝40时，解得x＝．
∴甲车行驶1小时（或1～1.5小时）或小时或小时，两车恰好相距40 km．
【点睛】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是求甲乙练车的速度．
9．（2019•绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【点拨】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【解析】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米；
（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，
∴，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝180时，y＝﹣0.5×180+110＝20，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
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