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2019-2020学年九年级数学上册期末考点大串讲 专题13 相似多边形及图形的位似（知识点串讲）（原卷 解析版）
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专题13 相似多边形及图形的位似
知识网络
重难突破
知识点一 相似多边形
1.判定方法：各角对应相等，各边对应成比例．
2.性质：
①对应角相等，对应边成比例．
②周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．
【典例1】（2019秋•鄞州区期中）矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（ ）
A． B． C． D．2.5
【变式训练】
1．（2018秋•徐州期末）如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（ ）
A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81
2．（2018秋•象山县期末）如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（ ）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．3：2
3．（2019•永康市模拟）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
4．（2017秋•江干区期末）如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87° B．60° C．75° D．120°
知识点二 图形的位似
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
2.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3.当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（），位似图形与原图形的位似比为，则位似图形上的对应点的坐标为或
【典例2】（2019秋•德惠市期中）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，下列说法中正确的是（ ）
A．OA：OA′＝1：3 B．OA：AA′＝1：2
C．OA：AA′＝1：3 D．OA′：AA′＝1：3
【变式训练】
1．（2019秋•南岸区校级月考）在平面直角坐标系中，△ABO一个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（﹣4，8）B．（﹣4，8）或（4，﹣8） C．（﹣1，2） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
2．（2014秋•上城区期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，1） C．（3，2） D．（3，1）
3．（2018秋•城关区期末）如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（2，2），3
4．（2018秋•方城县期末）如图矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB'＝4，DD'＝2，则AB和AD的长是（ ）
A．4，2 B．8，4 C．8，6 D．10，6
巩固训练
1．（2018秋•北仑区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝∠D＝100°，∠G＝65°，则∠F＝ ．
2．（2018秋•嘉兴期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 ．
3．（2019秋•龙岗区校级期中）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D（0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是 ．
4．（2019秋•鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（6，3），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为 __ ．
5．（2019春•莱州市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是 ．
6．（2019•河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝____ ．
7．（2016秋•温州期末）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为_____ ．
专题13 相似多边形及图形的位似答案及解析
知识网络
重难突破
知识点一 相似多边形
1.判定方法：各角对应相等，各边对应成比例．
2.性质：
①对应角相等，对应边成比例．
②周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．
【典例1】（2019秋•鄞州区期中）矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（ ）
A． B． C． D．2.5
【点拨】根据相似多边形的性质得出比例式，即可得到答案．
【解析】解：∵原矩形的长为6，宽为x，
∴小矩形的长为x，宽为＝2，
∵小矩形与原矩形相似，
∴＝，
解得：x＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质、矩形的性质，注意分清对应边是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2018秋•徐州期末）如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（ ）
A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81
【点拨】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【解析】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，
∴两个相似多边形周长的比等于2：3，
∴这两个相似多边形周长的比是2：3．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2．（2018秋•象山县期末）如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（ ）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．3：2
【点拨】由相似多边形的性质知AB：DE＝2：1，据此设AE＝x，DE＝a，则DC＝AB＝2a，根据面积比得出＝，整理可得答案．
【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，
∴AB：DE＝2：1，
∴设AE＝x，DE＝a，
∴DC＝AB＝2a，
则＝，
整理，得：x＝3a，
则＝3，即AE：ED＝3：1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质和矩形的性质．
3．（2019•永康市模拟）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【点拨】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
【解析】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a＝2b．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
4．（2017秋•江干区期末）如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87° B．60° C．75° D．120°
【点拨】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．
【解析】解：∵两个四边形相似，
∴∠1＝138°，
∵四边形的内角和等于360°，
∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
知识点二 图形的位似
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
2.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3.当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（），位似图形与原图形的位似比为，则位似图形上的对应点的坐标为或
【典例2】（2019秋•德惠市期中）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，下列说法中正确的是（ ）
A．OA：OA′＝1：3 B．OA：AA′＝1：2
C．OA：AA′＝1：3 D．OA′：AA′＝1：3
【点拨】根据位似变换的性质得到AB∥A′B′，AB：A′B′＝1：2，得到△AOB∽△A′OB′，根据相似三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴AB∥A′B′，AB：A′B′＝1：2，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴OA：OA′＝AB：A′B′＝1：2，A错误；
∴OA：AA′＝1：3，B错误，C正确；
OA′：AA′＝2：3，D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，位似变换的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
【变式训练】
1．（2019秋•南岸区校级月考）在平面直角坐标系中，△ABO一个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（﹣4，8）B．（﹣4，8）或（4，﹣8） C．（﹣1，2） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【点拨】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
【解析】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），
∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
2．（2014秋•上城区期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，1） C．（3，2） D．（3，1）
【点拨】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
【解析】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点D的坐标为：（3，1）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
3．（2018秋•城关区期末）如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（2，2），3
【点拨】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．
【解析】解：连接OD、AC，易得交点也就是位似中心为（2，2）；
k＝OA：CD＝6：3＝2，
故选：C．
【点睛】用到的知识点为：两对对应点的连线的交点为位似中心；任意一对对应边的比即为位似比．
4．（2018秋•方城县期末）如图矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB'＝4，DD'＝2，则AB和AD的长是（ ）
A．4，2 B．8，4 C．8，6 D．10，6
【点拨】根据矩形的性质得到AD＝12﹣AB，根据位似变换的性质得到CD∥C′D′，BC∥B′B，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解析】解：∵矩形ABCD的周长是24，
∴AB+AD＝12，
∴AD＝12﹣AB，
∴AB′＝AB+4，AD′＝12﹣AB+2＝14﹣AB，
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，
∴CD∥C′D′，BC∥B′B，
∴＝，＝，
∴＝，即＝，
解得，AB＝8，
则AD＝12﹣AB＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
巩固训练
1．（2018秋•北仑区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝∠D＝100°，∠G＝65°，则∠F＝ 95° ．
【点拨】利用相似多边形的性质得到∠A＝∠D＝∠E＝∠H＝100°，然后根据四边形的内角和计算∠F的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠A＝∠D＝∠E＝∠H＝100°，
∴∠F＝360°﹣∠E﹣∠H﹣∠G＝360°﹣100°﹣100°﹣65°＝95°．
故答案为95°．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等；对应边的比相等．
2．（2018秋•嘉兴期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 1 ．
【点拨】根据相似多边形的性质得＝，即＝，然后利用比例性质求出CE，再利用勾股定理计算即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
3．（2019秋•龙岗区校级期中）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D（0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是 （4，3）或（﹣4，﹣3） ．
【点拨】由矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，又由点B的坐标为（8，6），即可求得答案．
【解析】解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，
∴点B1的坐标是：（4，3）或（﹣4，﹣3）．
故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．
【点睛】此题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用．
4．（2019秋•鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（6，3），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为 （2，1）或（﹣2，﹣1） ．
【点拨】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k计算即可．
【解析】解：以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，
∵点A的坐标是（6，3），
∴点A的对应点A1的坐标为（×6，×3）或（﹣×6，﹣×3），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．（2019春•莱州市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是 （4，5） ．
【点拨】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解析】解：如图所示：位似中心P的坐标是（4，5）．
故答案为：（4，5）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
6．（2019•河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝ ．
【点拨】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
【解析】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．
7．（2016秋•温州期末）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为 2 ．
【点拨】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】解：∵每一个小长方形与原长方形相似，
∴＝，
解得，x＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
知识网络
重难突破
知识点一 相似多边形
1.判定方法：各角对应相等，各边对应成比例．
2.性质：
①对应角相等，对应边成比例．
②周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．
【典例1】（2019秋•鄞州区期中）矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（ ）
A． B． C． D．2.5
【变式训练】
1．（2018秋•徐州期末）如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（ ）
A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81
2．（2018秋•象山县期末）如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（ ）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．3：2
3．（2019•永康市模拟）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
4．（2017秋•江干区期末）如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87° B．60° C．75° D．120°
知识点二 图形的位似
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
2.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3.当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（），位似图形与原图形的位似比为，则位似图形上的对应点的坐标为或
【典例2】（2019秋•德惠市期中）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，下列说法中正确的是（ ）
A．OA：OA′＝1：3 B．OA：AA′＝1：2
C．OA：AA′＝1：3 D．OA′：AA′＝1：3
【变式训练】
1．（2019秋•南岸区校级月考）在平面直角坐标系中，△ABO一个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（﹣4，8）B．（﹣4，8）或（4，﹣8） C．（﹣1，2） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
2．（2014秋•上城区期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，1） C．（3，2） D．（3，1）
3．（2018秋•城关区期末）如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（2，2），3
4．（2018秋•方城县期末）如图矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB'＝4，DD'＝2，则AB和AD的长是（ ）
A．4，2 B．8，4 C．8，6 D．10，6
巩固训练
1．（2018秋•北仑区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝∠D＝100°，∠G＝65°，则∠F＝ ．
2．（2018秋•嘉兴期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 ．
3．（2019秋•龙岗区校级期中）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D（0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是 ．
4．（2019秋•鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（6，3），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为 __ ．
5．（2019春•莱州市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是 ．
6．（2019•河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝____ ．
7．（2016秋•温州期末）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为_____ ．
专题13 相似多边形及图形的位似答案及解析
知识网络
重难突破
知识点一 相似多边形
1.判定方法：各角对应相等，各边对应成比例．
2.性质：
①对应角相等，对应边成比例．
②周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．
【典例1】（2019秋•鄞州区期中）矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（ ）
A． B． C． D．2.5
【点拨】根据相似多边形的性质得出比例式，即可得到答案．
【解析】解：∵原矩形的长为6，宽为x，
∴小矩形的长为x，宽为＝2，
∵小矩形与原矩形相似，
∴＝，
解得：x＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质、矩形的性质，注意分清对应边是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2018秋•徐州期末）如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（ ）
A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81
【点拨】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【解析】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，
∴两个相似多边形周长的比等于2：3，
∴这两个相似多边形周长的比是2：3．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2．（2018秋•象山县期末）如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（ ）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．3：2
【点拨】由相似多边形的性质知AB：DE＝2：1，据此设AE＝x，DE＝a，则DC＝AB＝2a，根据面积比得出＝，整理可得答案．
【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，
∴AB：DE＝2：1，
∴设AE＝x，DE＝a，
∴DC＝AB＝2a，
则＝，
整理，得：x＝3a，
则＝3，即AE：ED＝3：1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质和矩形的性质．
3．（2019•永康市模拟）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【点拨】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
【解析】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a＝2b．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
4．（2017秋•江干区期末）如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87° B．60° C．75° D．120°
【点拨】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．
【解析】解：∵两个四边形相似，
∴∠1＝138°，
∵四边形的内角和等于360°，
∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
知识点二 图形的位似
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
2.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3.当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（），位似图形与原图形的位似比为，则位似图形上的对应点的坐标为或
【典例2】（2019秋•德惠市期中）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，下列说法中正确的是（ ）
A．OA：OA′＝1：3 B．OA：AA′＝1：2
C．OA：AA′＝1：3 D．OA′：AA′＝1：3
【点拨】根据位似变换的性质得到AB∥A′B′，AB：A′B′＝1：2，得到△AOB∽△A′OB′，根据相似三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴AB∥A′B′，AB：A′B′＝1：2，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴OA：OA′＝AB：A′B′＝1：2，A错误；
∴OA：AA′＝1：3，B错误，C正确；
OA′：AA′＝2：3，D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，位似变换的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
【变式训练】
1．（2019秋•南岸区校级月考）在平面直角坐标系中，△ABO一个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（﹣4，8）B．（﹣4，8）或（4，﹣8） C．（﹣1，2） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【点拨】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
【解析】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），
∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
2．（2014秋•上城区期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，1） C．（3，2） D．（3，1）
【点拨】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
【解析】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点D的坐标为：（3，1）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
3．（2018秋•城关区期末）如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（2，2），3
【点拨】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．
【解析】解：连接OD、AC，易得交点也就是位似中心为（2，2）；
k＝OA：CD＝6：3＝2，
故选：C．
【点睛】用到的知识点为：两对对应点的连线的交点为位似中心；任意一对对应边的比即为位似比．
4．（2018秋•方城县期末）如图矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB'＝4，DD'＝2，则AB和AD的长是（ ）
A．4，2 B．8，4 C．8，6 D．10，6
【点拨】根据矩形的性质得到AD＝12﹣AB，根据位似变换的性质得到CD∥C′D′，BC∥B′B，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解析】解：∵矩形ABCD的周长是24，
∴AB+AD＝12，
∴AD＝12﹣AB，
∴AB′＝AB+4，AD′＝12﹣AB+2＝14﹣AB，
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，
∴CD∥C′D′，BC∥B′B，
∴＝，＝，
∴＝，即＝，
解得，AB＝8，
则AD＝12﹣AB＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
巩固训练
1．（2018秋•北仑区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝∠D＝100°，∠G＝65°，则∠F＝ 95° ．
【点拨】利用相似多边形的性质得到∠A＝∠D＝∠E＝∠H＝100°，然后根据四边形的内角和计算∠F的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠A＝∠D＝∠E＝∠H＝100°，
∴∠F＝360°﹣∠E﹣∠H﹣∠G＝360°﹣100°﹣100°﹣65°＝95°．
故答案为95°．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等；对应边的比相等．
2．（2018秋•嘉兴期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 1 ．
【点拨】根据相似多边形的性质得＝，即＝，然后利用比例性质求出CE，再利用勾股定理计算即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
3．（2019秋•龙岗区校级期中）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D（0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是 （4，3）或（﹣4，﹣3） ．
【点拨】由矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，又由点B的坐标为（8，6），即可求得答案．
【解析】解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，
∴点B1的坐标是：（4，3）或（﹣4，﹣3）．
故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．
【点睛】此题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用．
4．（2019秋•鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（6，3），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为 （2，1）或（﹣2，﹣1） ．
【点拨】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k计算即可．
【解析】解：以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，
∵点A的坐标是（6，3），
∴点A的对应点A1的坐标为（×6，×3）或（﹣×6，﹣×3），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．（2019春•莱州市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是 （4，5） ．
【点拨】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解析】解：如图所示：位似中心P的坐标是（4，5）．
故答案为：（4，5）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
6．（2019•河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝ ．
【点拨】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
【解析】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．
7．（2016秋•温州期末）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为 2 ．
【点拨】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】解：∵每一个小长方形与原长方形相似，
∴＝，
解得，x＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
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