【名校】浙教版2012浙江省台州市书生中学2018-2019学年九年级上学期期末数学试题

浙江省台州市书生中学2018-2019学年第一学期九年级期末
数学试卷
一、选择题
1.方程x2＝4x根是（　　）
A. x＝4 B. x＝0 C. x1＝0，x2＝4 D. x1＝0，x2＝﹣4
2.如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是 （ ）

A. B. C. D.
3.为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 （ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
4.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D. .
5.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（　　）

A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
6.已知点A（，），B（，）是反比例函数的图象上的两点，若，则有（　　）
A. ＜0＜ B. ＜0＜ C. ＜＜0 D. ＜＜0.
7.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF的长为（　　）

A. 2 B. 2 C. D. 4
8.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（　　）

A. ﹣4 B. ﹣2 C. 1 D. 3
9.对于下列结论：①二次函数y=6x2，当x＞0时，y随x的增大而增大；②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1；③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10.如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )

A. B. C. D，
二、填空题
11.如图，这是一幅长为3m，宽为2m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为___________________m2．

12.若关于x一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的取值范围为____．
13.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点．当x满足____时，.

14.已知抛物线p：y=+bx+c顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为_____________．
15.已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是_____．
16.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=7，E为BC上的动点，将矩形沿直线AE翻折，使点B的对应点B＇落在∠ADC的平分线上，过点B＇作B＇F⊥BC于点F，求△B＇EF的周长______.

三、解答题
17.计算和解方程： （1） sin30°+sin60°-3tan30°． （2）
18.如图，三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4);
(1)请画出将绕A点逆时针旋转90度得到图形△AB1C1；
(2)请画出关于原点O成中心对称的图形；
(3)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请在图上标出点P，并直接写出点P的坐标______________

19.动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）.姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好.
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为 ；
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔治的概率.

20.如图，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠EFA=,AF=,求线段AC的长.

21.如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,≈1.4）

22.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
23.在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

24.如图1，在△ABC中，在BC边上取一点P，在AC边上取一点D，连AP、PD，如果△APD是等腰三角形且△ABP与△CDP相似，我们称△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”.
(1)如图2,在△ABC中AB=AC,∠B=50°，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，且AD=DP，∠PAC=∠BPD，则∠PAC的度数是___；
(2)如图3，在△ABC中，∠A=2∠C，在AC边上至少存在一个“等腰邻相似△APD”，请画出一个AC边上的“等腰邻相似△APD”，并说明理由；
(3)如图4，在Rt△ABC中AB=AC=2，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，请写出AD长度的所有可能值.

浙江省台州市书生中学2018-2019学年第一学期九年级期末
数学试卷答案与解析
一、选择题
1.方程x2＝4x的根是（　　）
A. x＝4 B. x＝0 C. x1＝0，x2＝4 D. x1＝0，x2＝﹣4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法进行求解即可.
【详解】x²＝4x
∴x²-4x=0
x(x-4)=0,
解得x1=0,x2=4．
故答案选C.
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握解法是本题的解题关键.
2.如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是 （ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
观察所给的几何体，根据三视图的定义即可解答.
【详解】左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．
故选A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 （ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方差反映数据的波动情况即可解答.
【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．
故选D．
【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D. .
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：根据中心对称图形的概念可知，A，B，C不是中心对称图形，D是中心对称图形，
故选D.
【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（　　）

A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.
【详解】∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,
∴∠BOC+∠AOB=220°,
∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,
故选B.
【点睛】本题考查了圆周角和圆心角的关系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
6.已知点A（，），B（，）是反比例函数的图象上的两点，若，则有（　　）
A. ＜0＜ B. ＜0＜ C. ＜＜0 D. ＜＜0.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先判断出该函数图象在第一、三象限，然后根据可以解答本题．
【详解】解：∵反比例函数中a2＋1≥1＞0，
∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，在第一象限内的函数值都大于0，在第三象限内的函数值都小于0，
∵，
∴y1＜0＜y2，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握反比例函数的性质．
7.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF的长为（　　）

A. 2 B. 2 C. D. 4
【答案】C
【解析】
分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出求出，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
详解：如图所示：连接BD、AC.

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵
∴
∴
∵
∴
由勾股定理得：
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴
故选D.
点睛：主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
8.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（　　）

A. ﹣4 B. ﹣2 C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
分析：抛物线与抛物线的对称轴相同是解题的关键.
详解：∵关于x的方程有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
抛物线的对称轴为直线
抛物线的对称轴也是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
∴方程的另一个根为
故选B．

点睛：考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的对称轴方程是：
9.对于下列结论：①二次函数y=6x2，当x＞0时，y随x的增大而增大；②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1；③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据二次函数的性质即可得出抛物线y=6x2的对称轴为y轴，结合a=6＞0即可得出当x＞0时，y随x的增大而增大，结论①正确；
②将x=﹣2和1代入一元二次方程可得出x+m的值，再令x+m+2=该数值可求出x值，从而得出结论②正确；
③由“当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0”可得出当x=1时y=0且抛物线的对称轴≥2，解不等式即可得出b≤﹣4、c≥3，结论③正确．综上即可得出结论．
【详解】∵在二次函数y=6x2中，a=6>0，b=0，
∴抛物线的对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大，
∴①结论正确；
∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，
∴x+m=-2+m或1+m，
∴方程a（x+m+2）2+b=0中，
x+m+2=-2+m或x+m+2=1+m，
解得：x1=-4，x2=-1，
∴②结论正确；

∵二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴
解得：b≤-4，c≥3，
∴结论③正确．
故选D
【点睛】此题重点考察学生随函数图象和性质理解，熟练掌握图象性质是解题的关键.
10.如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )

A. B. C. D，
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°.
∵在△OBE和△OCF中，，
∴△OBE≌△OCF（SAS）.
∴.
∴.
∴.
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8.
故选B．
二、填空题
11.如图，这是一幅长为3m，宽为2m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为___________________m2．

【答案】2.4
【解析】
【分析】
由概率估计图案在整副画中所占比例，再求出图案的面积.
【详解】估计宣传画上世界杯图案的面积约为3×2×0.4=2.4m2．
故答案为2.4
【点睛】本题考核知识点：几何概率. 解题关键点：由几何概率估计图案在整副画中所占比例.
12.若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的取值范围为____．
【答案】m≠0且m≥
【解析】
【分析】
由题意得m≠0，再利用根的判别式△≥0进行求解.
【详解】由题意可知m≠0，
∵方程有实数根，
∴△≥0
∴△=32+4×4×m=16m+9≥0，
解得m≥，
故答案为m≠0且m≥
【点睛】本题考查了一元二次方程定义以及其根的判别式与根的关系.
13.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点．当x满足____时，.

【答案】-3＜x＜0或x＞1
【解析】
【分析】
解两函数解析式组成的方程组，求出A、B的坐标，根据图象和A、B的坐标即可得出答案．
【详解】解：解方程组得：或，
∴A的坐标为（1，3），B的坐标为（-3，-1），
∴当反比例函数的值小于一次函数的值时，x的取值范围为：-3＜x＜0或x＞1，
故答案为-3＜x＜0或x＞1．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能正确识图是解此题的关键，注意数形结合思想的运用．
14.已知抛物线p：y=+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为_____________．
【答案】y=x2-2x-3
【解析】
【分析】
先求出y=x2-2x+1和y=2x-2交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（-1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，-4），则可设顶点式y=a（x-1）2-4然后把A点代入求出a的值即可得到原抛物线解析式.
【详解】∵y=x2-2x+1=（x+1）2，∴点A的坐标为（-1，0），
解方程组，
得或，
∴C′的坐标为（1，4），
∵点C和点C′关于x轴对称，
C（1，-4），
设原抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，
把A（-1，0）代入求得4a-4=0，解得a=1，
∴原抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4=x2-2x-3．
故答案为y= x2-2x-3．
【此处有视频，请去附件查看】

15.已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是_____．
【答案】2或
【解析】
试题解析：
∵以点P(1,2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切(如图1)或⊙P过原点(如图2)，

当⊙P与x轴相切时，r=2；
当⊙P过原点时，
∴r=2或.
故答案为2或.
16.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=7，E为BC上的动点，将矩形沿直线AE翻折，使点B的对应点B＇落在∠ADC的平分线上，过点B＇作B＇F⊥BC于点F，求△B＇EF的周长______.

【答案】4或6．
【解析】
【分析】
连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M，根据点B′落在∠ADC的角平分线上，可知三角形△DMB′是等腰直角三角形，设DM=B′M=x，在直角△AMB′中，由勾股定理列出方程求出x的值，然后分情况求周长即可.
【详解】解：连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．
∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，
∴设DM=B′M=x，则AM=7-x，
又由折叠的性质知AB=AB′=5，
∴在直角△AMB′中，由勾股定理得：，即（7-x）=25-x，
解得x=3或x=4，
当x=3时，AM=4，B′F=2，△B′EF的周长=B′E+EF+ B′F=BE+EF+ B′F=4+2=6，
当x=4时，同理可得△B′EF的周长=4，
∴△B′EF的周长为4或6．
故答案为4或6．

【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题
17.计算和解方程： （1） sin30°+sin60°-3tan30°． （2）
【答案】（1）1-；（2）．
【解析】
【分析】
（1）代入特殊角三角函数值进行计算即可；
（2）用因式分解法解方程即可.
【详解】（1）原式；
（2）﹣x﹣2=0，
，
.
【点睛】本题主要考查的是解一元二次方程和特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值和因式分解的方法是解题的关键．
18.如图，三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4);
(1)请画出将绕A点逆时针旋转90度得到的图形△AB1C1；
(2)请画出关于原点O成中心对称的图形；
(3)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请在图上标出点P，并直接写出点P的坐标______________

【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）图见解析，P(2,0)
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质分别找出B，C的对应点B1，C1的位置，然后顺次连结；
（2）根据中心对称的性质分别找出A，B，C的对应点A2，B2，C2的位置，然后顺次连结；
（3）作点A关于x轴的对称点A’，连结A’B交x轴于点P，则点P即为所求，根据网格可得P点坐标.
【详解】解：(1) △AB1C1如图所示：

（2）如图所示：

（3）点P位置如图所示：

根据网格可知，P点坐标为：(2，0).
【点睛】本题考查了作旋转图形和中心对称图形以及轴对称−最短路线问题；熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19.动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）.姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好.
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为 ；
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔治的概率.

【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用求概率公式计算即可；（2）画树状图（或列表格）列出所有等可能结果，根据概率公式即可解答．
【详解】（1）；
（2）方法1：根据题意可画树状图如下： 方法2：根据题意可列表格如下：

弟弟
姐姐
A
B
C
D
A

（A,B）
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)

(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)

(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)



由列表（树状图）可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的结果有1种：（A，B）.
∴P（姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治）
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解决问题用到概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.如图，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠EFA=,AF=,求线段AC的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）6.4.
【解析】
【分析】
（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和角平分线定义可得，根据平行线的判定可得OE∥AC，再由平行线的性质可得∠BEO=∠C=90°，即可证得结论；（2）连接,根据已知条件易证.在中，根据勾股定理求得.根据同弧所对的圆周角相等及已知条件可得.在中求得AE的长，再证明ΔACE∽ΔAED，根据相似三角形的性质即可求得线段AC的长.
【详解】证明：（1）如图1，连接，

∵，
∴.
∵平分，
∴.
∴.
∴∥
∴.
∴
∵为的半径，
∴是的切线.
（2）如图2，连接.

由题可知为的直径，
∴.
∵平分，
∴.
∴.
∴△AFD为等腰直角三角形，
∴.
在中，，
∴.
∴.
∵，，
∴.
在中，.
∴ .
∵，，
∴∽.
∴.
∴（或6.4）
【点睛】本题属于圆的综合题，运用的知识点有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.
21.如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,≈1.4）

【答案】云梯需要继续上升的高度约为9米.
【解析】
【分析】
过点作于点，于点，在中，求得AD的长；在中，求得CD的长，根据BC=CD-BD即可求得BC的长.
【详解】过点作于点，于点，

∵ ，
∴，
∴四边形为矩形.
∴米.
∴（米），
由题意可知，，，
∵，
∴，
在中，，
∴（米）.
在中，，
∴（米）.
∴（米）.
答：云梯需要继续上升的高度约为9米.
【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．
22.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得利润w元最大，最大利润是2640元．
【解析】
【分析】
（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；
（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．
【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44），
即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，
解得x1=50，x2=64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）
=﹣10x2+1140x﹣29600
=﹣10（x﹣57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
23.在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）二次函数的表达式为：；（2）4；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）先求得点B、C的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；（2）过点作轴于点，交于点，过点作于点，设，则.用含有a的代数式表示出的长，再根据得到S与a的二次函数关系，利用二次函数的性质即可解答；（3）在x轴上取点K，使CK=BK，则∠OKC=2∠ABC，过点B作BQ∥MD交CD延长线于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，分∠DCM=∠QCB=2∠ABC和∠CDM=∠CQB=2∠ABC两种情况求点D的横坐标即可.
【详解】（1）直线，当时，；当时，，
∴，.
∵二次函数的图象经过，两点，
∴解得
∴二次函数的表达式为：.
（2）过点作轴于点，交于点，过点作于点，

依题意设，则.
其中，
∴，
∴
，
，
，
，
，
.
∵，∴抛物线开口向下．
又∵，
∴当时，有最大值， ；
（3）或
在轴上取点，使，则.
过点作∥交延长线于点，过点作轴于点，

设点的坐标为，则，
.
在中，，解得.∴.
当时，
∴.
∴.
易证∽.
∴.
∴,.
∴.
∵，
∴直线的函数表达式为：.
由，解得：，（舍）.
∴点的横坐标为2.
②当时，方法同①，可确定点的横坐标为.
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24.如图1，在△ABC中，在BC边上取一点P，在AC边上取一点D，连AP、PD，如果△APD是等腰三角形且△ABP与△CDP相似，我们称△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”.
(1)如图2,在△ABC中AB=AC,∠B=50°，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，且AD=DP，∠PAC=∠BPD，则∠PAC的度数是___；
(2)如图3，在△ABC中，∠A=2∠C，在AC边上至少存在一个“等腰邻相似△APD”，请画出一个AC边上的“等腰邻相似△APD”，并说明理由；
(3)如图4，在Rt△ABC中AB=AC=2，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，请写出AD长度的所有可能值.

【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）AD的长为1或或.
【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角和三角形外角的性质证明∠B＝∠PAB即可解决问题．
（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，根据平行线的性质和角平分线定义可得∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，结合∠A=2∠C可证△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似，即可解决问题．
（3）分三种情形讨论：如图3′中，当DA＝DP时；如图4中，当PA＝PD时；如图5中，当AP＝AD时；分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）如图2中，
∵AB＝AC，DA＝DP，
∴∠B＝∠C，∠DAP＝∠DPA，
∵∠PAC＝∠BPD，
∴∠APC＝∠BDP＝∠DAP＋∠DPA，
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，
∴∠B＝∠PAB＝50°，
∵∠BAC＝180°−50°−50°＝80°，
∴∠PAC＝30°
故答案为30°；
（2）如图3中，△APD是AC边上“等腰邻相似三角形”，
理由：作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，

∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，
∴DP=DA，
∵∠CAB=2∠C，
∴∠BAP =∠C，
∴△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似，
∴△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”；
（3）如图3′中，当DA=DP时，设∠APD=∠DAP=x，

①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，
∴90°-x+2x+x=180°，
∴x=45°，
∴三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1；
②若∠PDB=∠CAP时，设∠APD=∠DAP=x，
得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，
设AD=a，则AP=
∵△BPD∽△CPA，
∴，即，
解得 ，
如图4中，当PA=PD时，易知∠PDB是钝角，∠CAP是锐角，

∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，
设AD=a，则BD=2-a，，AC=2，
，
解得a=，
如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，

∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，
在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，
解得x=45°，不可能成立．
综上所述．AD的长为1或或.
【点睛】本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．