专题01：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈集合解析版

集合

一、集合的概念

1、下列各项中，能组成集合的是（　　）

A．高一（3）班的好学生 B．嘉兴市所有的老人

C．不等于0的实数 D．我国著名的数学家

答案： C

解析： ∵对于A、B、D选项中“高一（3）班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确，即元素不确定．

∴A、B、D选项不能构成集合．

故选:C．

2、下列集合表示同一集合的是（    ）

A． B．

C．,D．,

答案： B

解析： A．元素表示不同的点，所以是不同的集合；

B．集合中元素的顺序不同，但是元素相同，所以是同一的集合；

C．集合中的元素是点，集合中的元素是数，所以是不同的集合；

D．集合中的元素范围是，集合中的元素范围是，范围不同，所以是不同的集合；

故选：B.

3、有下列四个命题：

①是空集；

②若，则；

③集合有两个元素；

④集合 是有限集．

其中正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

答案： B

解析： ①不是空集，故①不正确；

②若，当时，，故②不正确；

③集合，只有1个元素，故③不正确；

④集合，是有限集，故④正确．

故选：B．

4、已知集合，且，则实数的值为 （　　）

A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3

答案： A

解析： 根据元素与集合的关系，分类讨论，并验证集合元素的互异性，即可求解.

详解：由题意，知，可得

（1）当时，，不满足集合元素的互异性，舍去；

（2）当，解得或，

①当是不满足元素的互异性，舍去，

②当时，此时集合，符合题意.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了元素与集合的关系的应用，以及集合中元素的性质的应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

5、已知集合，且，则（    ）

A．-1 B．-3或-1 C．3 D．-3

答案： D

解析： 因为，故：

令，

解得或；

当时，不满足集合的互异性，故舍去；

当时，集合，满足集合互异性，故；

令，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去；

综上所述：，

故选：D.

6、已知，，若集合，则的值为（    ）

A．2 B．1 C．-2 D．-1

答案： A

解析： 由题意，集合，可得，即，

所以，可得，解得，

所以,

即的值.

故选：A.

7、设关于的不等式：解集为，若，，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．     C．      D．

答案： C

解析： 因为关于的不等式：解集为，若，，

所以，解得.

故选：C

8、已知，，且，则（    ）

A．或 B．

C．或或 D．

答案： D

解析： 当时，集合，都出现两个1，

出现了互异性的错误，排除ABC，

当时，，，，

故选：D.

9、如果集合中只有一个元素，则a的值是（    ）

A．0 B． C．0或1 D．0或

答案： D

解析： 时，，满足题意，

时，，，此时，

综上或，

故选：D．

二、集合间的关系

1、若集合有且仅有1个真子集，则实数的值是（    ）.

A． B．或2 C．或 D．或

答案： C

解析： 集合有且仅有1个真子集，

集合只有一个元素．

若，即时，方程等价为，解得，满足条件．

若，即时，则方程满足△，即，

，解得或．

综上：或或．

故选：C

2、已知集合，则________.

答案： 或或

解析： ∵，

∴，

又集合，

∴或或.

当时，或；

当时，.

当时，，

若，则不符合集合中元素的互异性.

∴或或.

故答案为：或或

3、若集合，，，则的取值范围是_______．

答案：

解析： 先求出集合A，B，由此能求出a的取值范围．

详解：根据题意，可以求得，，因为，所以，结合数轴可以求得，所以的取值范围是．

【点睛】

本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

4、设集合，．

（1）当时，求A的非空真子集的个数；

（2）若，求m的取值范围；

（3）若，求m的取值范围．

答案： （1）254个；（2）；（3）或

试题分析：（1）利用指数函数的性质化简集合，再利用子集个数公式求解即可；

（2）由由，无解，则其对应的方程的

（3）讨论三种情况，分别化简集合，利用包含关系列不等式求出的范围，综合三种情况可得结果.

详解：解：化简集合，集合.

（1）,即A中含有8个元素，

故A的非空真子集数为个.

（2）由，则，得，

得.

（3）①时，；

②当时，，所以,因此，要，则只要，所以的值不存在；

③当时,，因此，要，则只要.

综上所述，知的取值范围是或.

【点睛】

本题考查集合的真子集个数的求数,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.

5、已知集合，函数的定义域为．

（1）当时，求、；

（2）若，求实数的取值范围．

答案：

(1)，；(2)．

试题分析：（1）根据题意，由可得，由并集定义可得的值，由补集定义可得或，进而由交集的定义计算可得，即可得答案；

（2）根据题意，分析可得，进而分2种情况讨论：①、当时，有，②当时，有，分别求出的取值范围，进而对其求并集可得答案．

详解：根据题意，当时，，

有意义，则，得，

则，

又或，则；

（2）根据题意，若，则，

分2种情况讨论：

①当时，有，解可得，

②当时，

若有，必有，解可得，

综上可得：的取值范围是：．

【点睛】

本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.

6、已知全集，集合，.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

答案： （1）;（2）的取值范围是

试题分析：（1）先求出或，再根据交集的定义直接求出即可；（2）先求得，在由，考虑后，根据子集的定义列不等式，即可求出的取值范围.

试题解析：（1）∵或，，

∴.

（2），

①当即时，；

②当即时，要使，有∴

又，∴，∴的取值范围是.

三、集合间的运算

1、已知集合，且，则的取值为______.

答案： 3

解析： 由，可知，所以或，即或.

当时，，不满足集合的互异性，所以不成立；

当时，，，满足，所以成立；

故答案为：3

2、已知集合，则=_____

答案： ；

解析： 由可得或，

所以.

故答案为：.

3、已知，，且，则中的元素是______.

答案： －4，，

解析： 因为，

所以,

即 ,

解得 ,

所以，，

故答案为：－4，，

4、已知集合，，那么集合____.

答案：

解析： 直线与的交点坐标为，

因为集合，，

所以，

故答案为：.

5、若全集，集合，，则M∩N=  ________.

答案：

解析： 或，

，

所以M∩N=.

故答案为：

6、函数的定义域为，的定义域为，则__________

答案：

解析： 因为，所以，解得，则；

又，所以，解得，则，

因此.

故答案为：.

7、已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

答案：A

解析： 首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.

详解：解：，，，故选A．

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.

8、集合或，，若，则实数的取值范围是_________.

答案：

解析： 集合或，

，，

，解得，

实数的取值范围是，．

故答案为：，．

9、已知，，若，则实数的取值范围为___________.

答案：

解析： 当时，，解得；

当时，即或时，

此时方程的两个根需满足小于等于，

则，，得，，

综上，.

故答案为：.

10、已知，若，则实数的取值集合是_______________.

答案：

解析： ，

∴方程没有正实数解，

故集合有两种情况：

①若，则，则；

②若，则方程有两个非正数解，且0不是其解，则有：，解得.

综上所述，，

所以实数的取值范围是.

11、已知集合，若，则实数m的取值范围是_______.

答案：

解析： 由题意，集合，

若时，则有或，解得或，

所以当时，实数m的取值范围为.

故答案为：.

12、已知集合，且，则实属的所有取值组成的集合为___________.

答案：

解析：由题意，∵，∴，

若，即，则满足题意，

若，则或，时，不合题意，时，满足题意，

若又由知无解，

综上的取值范围是．

故答案为：．

13、设集合 ，若 ，则实数 的取值围为_________.

答案：

解析： 因为，且，

所以 ，即

当时，恒成立，，所以.

故答案为:

14、已知，，若，则实数a的取值范围是______.

答案：

解析： ，，

且，，

，解得：.

故答案为：

15、设集合，或.

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围.

答案： （1）或；（2）.

试题分析：（1）先求出集合A，再求A∪B；（2）根据得到解不等式组即得解.

详解：（1）若，则，

故或.

（2）若，则解得.

实数的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查集合的补集运算和根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的解掌握水平和分析推理能力.

16、已知集合，集合

（1）当时，求，；

（2）若，求的取值范围.

答案： （1），；（2）

试题分析：（1）可求出，时，可求出集合，然后进行并集、交集的运算即可；

（2）可先得出，根据可得出，从而可得出的取值范围．

详解：解：（1）由题意可得：，

当时，，

，，

（2）由（1）可得：，

得

即的取值范为：.

【点睛】

本题考查了对数函数的定义域和单调性，增函数的定义，指数函数的值域，交集、并集的运算，并集和子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．

17、已知集合，或．

（1）当时，求；

（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

答案： （1）；（2）．

试题分析：（1）由，得到，再利用交集的运算求解.

（2）根据或，得到，然后根据“”是“”的充分不必要条件,由A是的真子集，且求解.

详解：（1）∵当时，，或，

∴；

（2）∵或，

∴，

因为“”是“”的充分不必要条件,

所以A是的真子集，且，

又，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算以及逻辑条件的应用，属于基础题.

18、已知全集，集合，

（1）求，；

（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.

答案： （1），；

（2）.

试题分析：（1）解指数不等式求得集合，求函数值域求得集合，从而可以求得，进而得到；

（2）分，两种情况，结合进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.

详解：（1）因为，所以，

所以，解得，

所以，

因为，所以，所以，

所以，

所以，

，

；

（2）由得，

当时，，解得，

当时，若，则有或，

解得或，

所以满足时，的取值范围是.

【点睛】

该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合交集、补集的概念和运算，考查根据集合的交集为空集求参数的取值范围，考查指数不等式和指数函数值域的求法，属于基础题目.