专题03：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈一元二次函数解析版

一元二次函数

一、一元二次函数图像

（多选）1、在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

答案： AC

解析： 若，则函数是R上的增函数，

函数的图象的对称轴方程为，故A可能，B不可能；

若，则函数是R上的减函数，

，函数的图象与轴的负半轴相交，对称轴为，

故C可能，D不可能.

故选：AC.

2、已知函数（其中），若的图象如图所示，则的图象是（    ）

答案： A

解析： 根据二次函数图象可确定的范围，根据指数函数图象和函数上下平移可确定结果.

由图象可知：，

恒过且在上单调递减

图象可通过向下平移个单位得到    中图象符合题意

故选：

【点睛】

本题考查根据函数图象确定参数范围、函数图象的辨析的问题；关键是能够根据二次函数图象确定参数范围，从而确定指数函数的单调性和平移的单位.

（多选）3、已知，函数的图象与x轴的交点个数为m，函数与x轴的交点个数为M，则的值可能是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

答案： ABC

解析： 由知：且，

∴令，的定义域为，对称轴为，，

（多选）4、已知二次函数的图象过点，对称轴为，则下列结论错误的是（　　）

A． B．

C． D．

答案： BCD

解析： 由于二次函数的图象过点，对称轴为，

则，解得.

对于A选项，，则，A选项正确；

对于B选项，，B选项错误；

对于C选项，，C选项错误；

对于D选项，，D选项错误.

故选：BCD.

二、一元二次函数的单调性问题

1、函数的递增区间是_____，递减区间是______.

答案：        

解析： 函数开口向上，对称轴为

故递增区间是，递减区间是

故答案为和

2、已知是定义在上的偶函数，则实数____，此函数的单调增区间为____．

答案： 2       

解析： 因为是定义在上的偶函数，所以其对称轴为轴；

即，解得；于是，

显然其单调增区间为：．

故答案为2；

3、函数在[2，5]上单调，则a的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

答案： D

解析： 二次函数的对称轴为，然后即可建立不等式求解.

详解：因为二次函数的对称轴为，且在[2，5]上单调

所以或，即或

故选：D

【点睛】

本题考查的是二次函数的单调性，较简单.

（多选）4、已知函数在上具有单调性，则k可能的取值范围是（    ）

A．(35，40] B．[20，25] C．(40，100) D．[70，160)

答案： AB

解析： 因为函数在上具有单调性，

又函数的对称轴为：，

所以或，

即得：或，

故选：AB.

5、已知函数,

①函数的值域是______．

②若函数在上不是单调函数,则实数的取值范围是______．

答案：

解析： 解: ①,定义域为,开口向下,

,

所以函数的值域是.

②因为,

对称轴为,

若函数在上不是单调函数,

则,故实数的取值范围是.

故答案为: ①;②

三、一元二次函数的最值问题

1、函数在上的最大值为______，最小值为______.

答案： 5    -4   

解析： 由于函数开口向上，对称轴为，故当时取得最大值为，当时取得最小值为.

故填：（1）；（2）.

2、函数y＝x2＋ax＋3(0<a<2)在[－1,1]上的最大值是________，最小值是________．

答案： 4＋a       

解析： 函数y＝f(x)＝x2＋ax＋3的对称轴方程为x＝－，

因为0<a<2，所以－1<－<0，

所以f(x)max＝f(1)＝4＋a，

f(x)min＝f(-＝3－.

点睛：求二次函数在闭区间上最值的类型及解法：

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．

3、若函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________.

答案： -2    0   

解析： y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0(b＝6不合题意，舍去);－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去).故填-2;0.

4、已知二次函数，如果存在实数，使得的定义域和值域分别是 和 ，那么______，______.

答案：     0   

解析： 根据题意，得二次函数的图像的对称轴为直线，函数的最大值为 .

①当时，在上单调递增，

则

解得，；

②当时，的最大值为，

解得，与矛盾，不符合题意；

③当时，在上单调递减，若的值域为，

则必有，解得，不符合题意.

故，，故答案为.

5、函数在区间上的最大值为1，此时________，________.

答案： 0       

解析： 令，则原式

当得到最大值1时或2（舍），所以

由二次函数性质可知，其在区间上单调递增，

若，则原式有最大值为2，与题意不符，所以，

再由所给区间和余弦函数的图象性质，可以确定是负角，且原函数在处取得最大值1

所以

故答案为：（1）0；（2）

6、设0≤x≤2，则函数的最大值是______，最小值是______．

答案：        

解析： 令2x=t（1≤t≤4），则原式转化为：

y=t2-3t+5=（t-3）2+，1≤t≤4，

所以当t=3时，函数有最小值，当t=1时，函数有最大值

故答案为；

7、函数的最小值为_______，此时的值为_________．

答案：        

解析： （1）,所以，当

，即时，有最小值，故答案为，.

8、已知函数，则该函数的最大值为__________，最小值为_________.

答案： 2       

解析： 因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，

，

因为函数单调递增，，即函数的最大值为2，最小值为.

故答案为：2；

9、（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

答案： ABC

解析： 函数的部分图像如图，，.

因为函数的定义域为，值域为，

所以的取值范围是，

故选ABC.

10、已知函数的值域为，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

答案： A

解析： 通过二次函数图象，值域为，即图象的顶点落在轴上.

详解：∵函数的值域为，

∴

∴

∴实数的取值范围为

【点睛】

本题考查通过观察二次函数的图象，根据函数的值域求参数的取值范围.

11、已知二次函数满足

（1）求函数的解析式，并求函数的单调区间；

（2）若，求函数的值域.

答案： （1），增区间；减区间（2）

试题分析：（1）设，根据题意，待定系数即可容易求得解析式，根据二次函数的单调性，即可容易求得结果；

（2）根据二次函数的对称性和单调性，即可容易求得值域.

详解：（1）依题意设，

因为

所以

解得

则

对称轴为.

所以增区间；减区间.

（2）由（1）得函数图象关于直线对称

所以若，函数的值域为.

【点睛】

本题考查利用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数单调性和值域的求解，属基础题.

12、已知函数.若在区间上递减，则实数a的取值范围是_________；若函数在上的最小值为2，则a的值为__________.

答案：        

解析： （1）函数在区间递减，

当时，，函数在上单调递减，所以满足条件，

当时，函数开口向下，若函数在区间单调递减，只需满足，解得，

当时，开口向上，在对称轴右侧，函数单调递增，不满足条件，

综上可知实数的取值范围是；

（2）当时，函数单调递减，函数的最小值，所以不成立，当时，函数的对称轴，函数在区间单调递减，函数的最小值是，得，不成立；

当时，时，，此时函数在区间单调递增，函数的最小值，解得：成立，当时，，此时函数在区间单调递减，函数的最小值，，不成立，当时，，此时函数的最小值，得，，无解.

综上可知.

故答案为：；2

13、已知二次函数满足.

（1）求函数的解析式；

（2）设且，当时，有最大值，求实数的值.

答案： （1）；（2）或

（1）利用可构造方程组求得，进而得到函数解析式；

（2）利用换元法，令，将函数变为，分别在和两种情况下确定的范围，根据二次函数单调性可确定最大值点，由此构造方程求得结果.

（1）由得：

即

，解得：

（2）由（1）得：

令，则，即为开口方向向上，对称轴为的二次函数

①当，时，在上单调递增

，解得：

②当，时，在上单调递增

，解得：

综上所述：实数的值为或

【点睛】

本题考查待定系数法求解函数解析式、根据函数的最值求解参数范围的问题；求解参数范围的关键是能够采用换元法，将问题转化为二次函数最值的问题；易错点是换元时忽略指数函数的单调性，造成新的自变量的范围求解错误.

14、设，，当时，的最小值是_____，若的最小值为1，则a 的取值范围为_______．

答案：      

解析：分析：当时，，根据二次函数的性质可求得最小值；，分，，三种情况分别讨论，可求得a的取值范围.

详解：解：，，

当时，，，函数在上单调递减，所以

又，

若，则，符合条件；

若，则由，得，不合条件；

若，则，由，得，不合条件．

综合得知，若的最小值为1，则a的取值范围为．

【点睛】

求区间上的二次函数的最值问题，一般要对二次函数的对称轴与区间的相应位置作出判断或加以讨论，根据函数在已知区间上的单调性得以解决．

15、已知二次函数，对称轴为直线，且.

（1）若函数的最小值为-1，求的解析式；

（2）函数的最小值记为，求函数的最大值.

答案： （1）（2）

试题分析：（1）由二次函数的对称轴和已知点的函数值，以及二次函数的最小值，代入可得的值，从而求得二次函数的解析式；

（2）由（1）对二次函数配方，可得最小值，从而得出的解析式，再对二次函数配方，由二次函数的开口方向，可得最大值.

详解：（1）因为对称轴为直线，所以，则.

又，所以.

∴

因为，所以当时有最小值，所以

所以；

（2）由（1）知.

∴.

∴，

∴的最大值为.

【点睛】

本题考查由二次函数的对称轴，特殊点的函数值，最小值，运用待定系数法求二次函数的解析式，以及运用配方法求二次函数的最值，属于基础题.

16、已知二次函数．

（1）当为何值时，函数为偶函数；

（2）求函数在区间的最小值.

答案： （1）（2）

试题分析：（1）令,进而求解即可；

（2）可知的对称轴为,分别讨论,,的情况,进而求解即可.

详解：（1）因为为偶函数,

所以,即,所以

（2）由题,,

所以对称轴为,

当,即时,,

当,即时,,

当,即时,,

所以

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性求参数,考查二次函数定区间的最值问题,考查分类讨论思想.

17、已知二次函数，满足条件和.

（1）求函数的解析式；

（2）若，求函数在A上的最小值.

答案： （1）（2）

试题分析：(1)由即可得出,将代入即可解得,进而得到的解析式;

(2)由的对称轴是与的位置关系不确定,故分三种情况讨论,确定单调性,即可求出函数在A上的最小值.

详解：解:（1）∵，∴

∴

∴

∴，∴，解得：，，

∴

（2）的对称轴是，

当，

当即时，

当即时，

∴

【点睛】

本题考查二次函数求解析式问题,讨论确定的二次函数在不确定区间上的最小值问题,难度一般.

四、一元二次函数的零点问题

1、二次函数的零点个数是（     ）

A．0 B．1 C．2 D．不确定

答案： C

解析： 根据二次函数的判别式即可判定零点个数.

详解：因为，

所以二次函数，的零点个数为

故选：C

【点睛】

本题主要考查函数的零点个数，同时考查了二次函数的性质，属于简单题

（多选）2、已知函数有两个零点，，以下结论正确的是（    ）

A． B．若，则

C． D．函数有四个零点

答案： ABC

解析： 二次函数对应二次方程根的判别式，故A正确；

韦达定理 ，故B正确；

因为对称轴为 ，点关于对称轴对称，故C正确；

当时，只有两个零点，故D不正确.

故选: ABC

3、若函数在上有且只有1个零点，则t的取值范围为______；若在上的值域为，则______．

答案： 或    1    

解析： 解：函数在上有且只有1个零点，

在上有且只有1个根

则在上有且只有1个零点，

作出函数在上的图象，

结合图象可知，或．

，

且在上的值域为，

当，显然不符合题意；

当，即时，，不符合题意；

当即时，由在上的值域为，

可得，且且，

代入可得，，解可得即．

故答案为或；1．

五、一元二次函数综合类问题

1、（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象与轴有两个交点 B．函数的最小值为

C．函数的最大值为4 D．函数的图象关于直线对称

答案： AB

解析： 令，即，解得或，即或，即选项正确；

由，即函数的最小值为，无最大值，即选项正确，选项错误；

,函数的图象不关于直线对称，选项D错误，

故选：．

2、（多选）已知函数，则（    ）

A．函数有两个不同的零点

B．函数在上单调递增

C．当时，若在上的最大值为8，则

D．当时，若在上的最大值为8，则

答案： ACD

解析： 因为二次函数对应的一元二次方程的判别式

，

所以函数有两个不同的零点，A正确；

因为二次函数图象的对称轴为，且图象开口向上，

所以在上单调递增，B不正确；

令，则.

当时，，故在上先减后增，

又，故最大值为，

解得（负值舍去）.

同理当时，，在上的最大值为，

解得（负值舍去）.

故C，D正确.

故选：ACD．

3、（多选）下列说法中正确的是（    ）

A．若不等式的解集为，则必有

B．函数的零点就是函数图象与轴的交点

C．若不等式的解集是或，则方程的两个根是，

D．若方程没有实数根，则不等式的解集为

答案： AC

解析： 对于A，的解集为，令，由题意理解，则该二次函数一定是开口向上的，必有，A对；

对于B，函数的零点就是时，的取值，B错；

对于C，若不等式的解集是或，根据二次函数的图像，则方程的两个根是，，C对；

对于D，若方程没有实数根，则必有，令，该函数与轴没有交点，故不等式的解集为，D错；

故选：AC

4、己知二次函数同时满足条件：①对称轴是；②的最大值为15；③方程的两个根的平方和等于7，求该函数的解析式和单调区间.

答案： ,单调递增区间为，单调递减区间为.

试题分析：根据①②可设设，再根据结合韦达定理即可求出，再根据二次函数的性质可得单调区间.

详解：的对称轴是，最大值为15，

设，

设的两个根分别为，由题，

，

，解得，

，

对称轴是，开口向下，

的单调递增区间为，单调递减区间为.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，属于基础题.

5、已知，.

（1）解关于的不等式；

（2）若方程有两个正实数根，，求的最小值.

答案： （1）答案见解析；（2）6.

试题分析：（1）根据函数的解析式，可将化为，分类讨论可得不等式的解集．

（2）由方程有两个正实数根，，利用韦达定理可得，再结合均值不等式即可．

详解：（1）由得，

当时，原不等式的解集为，，，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，，；

（2）方程有两个正实数根，，

等价于有两个正实数根，，

，

则

当且仅当时取等号，

故的最小值为6.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于综合题．

6、已知二次函数，若不等式的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若不等式f（x）>mx在上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）解不等式

答案： （1）；（2）m<1；（3）见解析

试题分析：详解：（1）由题意,是方程的两根，且，

由韦达定理得，，，

，即有

因为方程有两个相等的实数根，所以

消去得或（舍去），，

所以;

（2）由题意，不等式在上恒成立，

设其图象的对称轴方程为，

当即时，有（）=，得

当即时，有，得，

综上，；

（3）方程的判别式，

当即时，不等式的解集为；

当时：时，不等式的解集为;

时，不等式的解集为；

当即或时，

不等式的解集为

考点：函数恒成立问题，二次函数的性质，一元二次不等式的解法