专题04：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈不等式性质与一元二次不等式解析版
展开不等式性质和一元二次不等式
一、不等式性质
1、下列结论中一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
答案： B
解析： 通过反例可判断A、C、D均错误，利用函数的单调性可证明B正确.
详解：对于A，取，则，但，故A错误.
对于C，取，则，但，故C错误.
对于B，因为为上的增函数，故等价于，故B正确.
对于D，取，满足，但，故D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式的性质，注意说明一个不等式不成立，只需要举出一个反例即可，另外证明一个不等式成立可用作差法或作商法，本题属于基础题.
2、已知，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
答案： D
解析： 根据不等式性质得D成立，举例说明A,B,C错误.
详解：因为2>1,-1>-2,2(-1)=1(-2),所以A错；
因为2>1 ,2？02=1？02,所以B错；
因为-2<-1,->-1 ,所以C错；
由不等式性质得若，则，所以D对，选D.
【点睛】
本题考查不等式性质，考查分析判断能力.
3、（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
答案： BD
解析： 举例说明AC不成立，根据作差法以及基本不等式证明BD.
详解：当时，满足，但不成立，所以A错误；
当时，满足，但不成立，所以C错误；
若，则
因为，所以不同时为零，所以，即B成立；
若，则，所以D成立；
故选:BD
【点睛】
本题考查不等式性质、作差法、基本不等式应用，考查基本分析判断能力，属基础题.
4、（多选）若则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．lna2＞lnb2 C． D．
答案： AC
解析： 由不等式的性质以及函数的单调性可得正确的选项.
详解：∵，∴，
则，，可得，故选项A正确；
，，由函数单调递增，可得，故选项B错误；
由已知可得，
故，故选项C正确；
取，此时，，，故选项D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查不等式的性质和函数的单调性,一般地,代数式的大小比较有作差法、作商法,也可以根据其形式选择合适的函数，运用函数的性质进行比较,考查了运算和推理能力，属于基础题.
5、（多选）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案： BC
解析： 结合不等式性质，由同向可加性可知A项缺少条件，C项正确；B项可证正确；D项通过列举法可证错误.
详解：若，，则，故A错；
若，，则，化简得，故B对；
若，则，又，则，故C对；
若，，，，则，，，故D错；
故选：BC．
【点睛】
本题考查由不等式的基本性质判断不等关系是否成立，属于基础题
6、（多选）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
答案： AD
解析： 根据，取特殊值即可排除错误选项，再根据不等式性质，利用作差法可得到正确选项．
详解：根据，取，，，则可排除．
因为，所以；
因为，所以，
故选：．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质以及作差的应用，属基础题．
二、一元二次等式与一元二次不等式的关系
1、已知不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 由不等式的解集可得的两个解分别为,,即可根据韦达定理求得,进而求解即可.
详解：由题,因为不等式的解集是,所以的两个解分别为,,所以,,则,,
所以不等式,解得,
故选:B
【点睛】
本题考查一元二次不等式与一元二次等式的关系,考查韦达定理的应用,考查解不等式.
2、如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
答案： C
解析： 根据不等式的解集以及根与系数的关系，求出，，代入，化简得，利用一元二次不等式的解法，即可得解.
详解：关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两实数根，且，
由根与系数的关系得解得，，
所以，，，
所以不等式化为，
即，即，
解得或，
则该不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.
3、已知函数.
（Ⅰ）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（Ⅱ）若，且的解集为，求的值.
答案： （Ⅰ）（Ⅱ）
试题分析：（Ⅰ）不等式的解集为，可得和1是方程的两个根，则代入不等式求得解集.
（Ⅱ）将代入解得，又的解集为，，可得关于m方程，解出即可.
详解：（Ⅰ）∵，即的解集为，
∴和1是方程的两个根，则.
∴不等式为，
解不等式得解集为.
（Ⅱ）∵，
∴即为，
∴解得.
又∵的解集为，∴.
而，
∴，即，
∴.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法、根与系数的关系，解一元二次不等式通常借助一元二次方程的根求解，本题属于中等题.
三、解不等式
1、不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．或
答案： B
解析： 根据一元二次不等式的解法求得结果.
详解：不等式得，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，属基础题.
2、不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
答案： B
解析： 因式分解不等式，可直接求得其解集．
详解：，，解得.
【点睛】
本题考查求不等式解集，属于基础题．
3、不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
答案： A
解析： ，选A.
4、关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
答案： C
解析：
不等式等价于不等式且，解得答案.
详解：，等价于不等式且，解得.
故选：.
【点睛】
本题考查了解分式不等式，属于简单题.
三、含参不等式
1、已知集合，函数
（1）解关于x的不等式；
（2）记（），若是的充分条件，求的取值范围；
答案： （1）故当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；
（2）
试题分析：（1）首先将式子变形为，再对分类讨论，计算可得；
（2）由（1）可得，由是的充分条件，所以
根据集合的包含关系得到不等式组，解得即可；
详解：解：（1）因为
，即
当时，解得，
当时，解得
故当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为
（2）由（1）可知，，
因为是的充分条件，
所以
所以解得，即
【点睛】
本题考查含参一元二次不等式的解法，充分条件求参数的取值范围，属于基础题.
2、已知.
（1）解关于x的不等式；
（2）若时，恒成立求实数a的取值范围.
答案： （1）答案不唯一，具体见解析；（2）.
试题分析：（1）将二次不等式因式分解，结合二次函数的图像和两根关系得到解集；
（2）由可化为：，开口向上的二次函数，只需要判别式小于等于0即可.
详解：解：（1）不等式可化为，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为；
（2）不等式可化为，
若时，恒成立，有，解得，
故时，恒成立，则实数a的取值范围为.
【点睛】
本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.属于中档题，
3、已知函数.
（1）当，时，解不等式；
（2）当时，解关于x的不等式（结果用a表示）.
答案： （1）；（2）时，解集为，时，解集为，时，解集为.
试题分析：（1）求出的根（由因式分解完成），根据二次函数的图象写出结论．
（2）化简变形表达式，然后根据和的大小关系分类讨论．
详解：（1）当，时，
∴的解集为.
（2）当时，，
即，
①当时，，此时不等式的解集为，
②当时，，此时不等式的解集为，
③当时，，此时不等式的解集为.
【点睛】
本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解，二次函数的图象，一元二次方程的根之间的关系是解题关键．
4、设函数.
（1）若不等式的解集为，求、的值；
（2）若，求不等式的解集.
答案： （1）；（2）见解析.
试题分析：（1）由题意知，与是方程的两根，利用一元二次方程根与系数的关系可求出、的值；
（2）由，将所求不等式变形为，然后对进行分类讨论，并比较与的大小关系，即可得出不等式的解集.
详解：（1）由不等式的解集为，
可知方程的两根为和，且，
由根与系数的关系可得，解得；
（2）当，不等式即，
即.
①时，不等式可化为，，所以或；
②时，原不等式可化为.
当时，，所以；
当时，原不等式可化为，所以；
当时，，所以.
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，含参数的一元二次不等式的解法，注意分类讨论的思想方法的运用，属于中档题．
五、存在、恒成立问题
1、不等式的解集为R，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 对分成，两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.
详解：当时，不等式化为，解集为，符合题意.
当时，一元二次不等式对应一元二次方程的判别式，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
2、已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是__________．
答案：
解析： 首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可.
【详解】
解：且，即解得，即
因为在区间上恒成立，
解得即
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题
3、已知函数,若对一切,都成立,则实数a的取值范围为( )
A． B． C． D．
答案： B
解析： 原不等式等价于对任意恒成立，配方后利用二次函数的性质可求的最大值，从而得到实数a的取值范围.
详解：由题意得，对一切都成立，
即恒成立.
∵，当时，等号成立，
∴实数a的取值范围为.
故选：B.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的恒成立问题，注意区分是上恒成立还是给定范围（其他范围）上的恒成立，前者可利用判别式来求参数的取值范围，后者可转化为函数的最值来求参数的取值范围，后者还可以利用参变分离来求参数的取值范围.
4、已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 将不等式进行变形分离参数可得，再利用二次函数的性质求解值域可得函数在的最小值，只需小于最小值即可.
详解：不等式即，
∵，∴，
∵函数在单增，最大值为3，
在的最小值为2，
∴只需即可.
故选：A.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，可采用分离参数法，转化为求函数最值问题，属于中等题.
5、若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案： D
解析： 化不等式为，分和两种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意和集合的表示方法，即可求解.
详解：由题意，不等式，可化为，
当时，不等式解集为
要使得不等式的解集中恰有3个整数，则；
当时，不等式的解集为
要使得不等式的解集中恰有3个整数，则，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，结合元素与集合的关系求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
6、关于的不等式只有一个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： ，
当时，得，不符合题意；
当时，且，解得．
故选C．
点睛：本题考查含参的函数零点问题．由于参数位于二次项系数位置，所以在讨论的过程中要分讨论，本题中由题意，只需讨论即可，然后根据结合题意，利用数轴分析解集区间，满足题意即可．
7、已知（）
（1）若的解集是，求实数a和b的值；
（2）当时，对于一切实数x，恒成立，求实数a的取值范围.
答案： （1），（2）
试题分析：（1）由是方程的两根可求得；
（2）恒成立，分类讨论，时不成立，时，由二次函数的性质可得．
详解：解：（1）由题得3和4是方程的两个根，
所以，解得，；
（2）因为恒成立
①当时，不满足恒成立；
②当时，则，即解得；
综上：实数a的取值范围是
【点睛】
本题考查解一元二次不等式，考查含参数的一元二次不等式恒成立问题．掌握“三个二次”之间的关系是正确求解一元二次不等式的基础．一元二次不等式恒成立问题常常通过二次函数的性质求解．
8、已知函数.
（1）若，恒成立，求a的取值范围；
（2）若的解集为，解不等式.
答案： （1）.（2）.
试题分析：（1）分和两种情况分类讨论求解（2）由根与系数的关系求出参数后解一元二次不等式即可.
详解：（1）当时，显然成立；
当时，需满足，得.
综上可得，a的取值范围是.
（2）即.
根据题意，和是方程的两个实根，
所以，解得，经检验，符合题意.
，解得，
所以不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式求解，属于容易题.
9、已知关于的不等式
（1）当时,解此不等式
（2）若对,此不等式恒成立,求实数的取值范围
答案： （1）或（1）
试题分析：（1）不等式转化为，解不等式即可得解；
（2）转化条件得，恒成立，令，利用基本不等式求出的最小值即可得解.
详解：（1）当时,原不等式化为,
解得或
不等式的解集为或
（2）由已知得:对，恒成立
令
，
当且仅当时取等号,
故.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法及基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决策略，属于中档题.
10、（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）若对一切，均有成立，求实数的取值范围.
答案： （1）（2）
试题分析：（1）验证当时不等式是否成立；当时，结合二次函数图象可得，即可得解；
（3）分离参数得对恒成立，设，利用基本不等式求得后即可得解.
详解：（1）原不等式等价于即，
等价于，所以原不等式的解集为或.
（2）当时，原不等式是，恒成立，符合题意；
当时，不等式是一元二次不等式，结合二次函数图象，
得，即，解得；
综上所述，实数的取值范围是
（2）不等式可等价转化为对恒成立，
即对恒成立，
设，则
，
因为，所以，所以
（当且仅当等号成立），所以，
所以，所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法和一元二次不等式恒成立问题的解决，考查了恒成立问题的解决和基本不等式的应用，属于中档题.
11、已知函数．
(1)若，且函数有零点，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式；
(3)若正数满足，且对于任意的恒成立，求实数的值．
答案： (1)；
(2)时；时；时；
(3)；
试题分析：(1)由可得结果；(2)时，，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)时恒成立，当且仅当，即，即，由，可得，则，解不等式即可的结果．
详解：(1)时，，
由函数有零点，可得，即或；
(2)时，，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为；
(3)二次函数开口响上，对称轴，由可得在单调递增，
时恒成立，当且仅当，即，即，
由，可得，
则，由可得，即，则，
此时，则．
【点睛】
本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．
12、设函数，不等式的解集中恰有两个正整数.
（1）求的解析式;
（2）若，不等式在时恒成立，求实数的取值范围.
答案： （1）（2）
解析：
（1）由不等式的解集中恰有两个正整数，则解集包含和两个正整数，故解集为，即和为的根，即可求出参数的值，得到函数的解析式；
（2）因为不等式在时恒成立，所以在上，成立，所以且解得即可.
【详解】
解：（1）由题可知，解得或，
因为不等式的解集包含和两个正整数，
故解集为，所以的根为和
由得
所以. .
（2）因为不等式在时恒成立，
所以在上，成立，
所以且
所以且
解得.
又所以
所以实数的取值范围为
【点睛】
本题考查函数解析式，不等式恒成立问题，属于中档题.
