专题05：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈基本不等式解析版
展开基本不等式
一、基本不等式的直接应用
1、（多选）设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
答案： ACD
解析： 逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.
【详解】
A.当时，成立，故A正确；
B.当时，，等号成立的条件是，当时，，等号成立的条件是，故B不正确；
C.当时，，所以，故C正确；
D.，所以，等号成立的条件是当且仅当，即，故D正确.
故答案为：ACD
【点睛】
本题考查判断基本不等式使用是否正确，意在考查基本公式的简单应用，属于基础题型.
2、下列函数中，y的最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
答案： A
解析： 根据基本不等式，以及基本的应用条件一正二定三相等，即可判断．
详解：对于A，ex＞0，所以ex+≥4，当且仅当x＝ln2时取等号，故A成立；
对于B，，，当且仅当取等号，故B不成立；
对于C，当时，得，当且仅当取等号，
当时，得，，当且仅当取等号，故C不成立；
对于D，，，得，当且仅当取等号，又，故D不成立.
故选：A
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握一正二定三相等，属于基础题．
3、已知，则的最小值为______，此时的取值为______
答案： 2 1
解析： 详解：因为x＞0，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：①2；②1.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值，要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4、设是实数，且，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．8
答案： B
解析： 直接用均值不等式化简即可．
详解：由题，当时取最小值．故选B．
【点睛】
本题主要考查均值不等式，以及指数运用
5、函数的最小值是_____，此时_____.
答案： 3 2
解析： 分析：由题知，又由，结合基本不等式即可求解．
详解：∵，
∴，
由基本不等式可得，
当且仅当即时，函数取得最小值．
故答案为：①3；②2.
【点睛】
关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．
6、当时，的最大值为______．此时的取值为______．
答案：
解析： 分析：由，根据基本不等式，即可求出结果.
详解：因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：；.
7、已知点满足：，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 由基本不等式可求出的取值范围，进而可得出的取值范围.
详解：由基本不等式可得，所以，
因此，的取值范围为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
8、设 ，，，若，，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
答案： C
解析： 详解：∵ax＝by＝3，
∴，
∴
当且仅当a=b时取等号.
故选：C
考点：基本不等式在最值问题中的应用
9、已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案： A
解析： 利用均值不等式，根据题意，即可求得目标函数的最小值.
详解：因为，故可得
因为，，故可得
即，令z=2x+y,则
解得或，因为，故
当且仅当 时，即时取得最小值.
故选：A.
【点睛】
本题考查均值不等式的直接使用，属基础题；需要注意取等得条件.
10、已知关于的不等式的解集为，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值2 B．函数有最小值
C．函数有最大值-2 D．函数有最大值
答案： C
解析： 不等式可因式分解得，由解集为，可知，，代入函数，利用基本不等式，计算即得.
详解：由题得，的解集为，则，函数，又，则，故，当且仅当，即时，取得等号，函数有最大值.
故选：
【点睛】
本题考查利用基本不等式求函数的最值，是常考题型.
二、“1”的妙用
1、若正数满足，则的最小值是___________.
答案： 5
解析： 详解：，
，
当且仅当，即时取等号．
考点：基本不等式
2、已知，，且，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________．
答案：
解析： 分析：由已知条件得出，利用基本不等式可求得的最小值，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
详解：，且，，
由基本不等式可得，，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
.
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
故答案为：；.
3、已知，为正实数，且，则的最小值为___________，的最大值为___________.
答案：
解析： 分析：要求的最小值，结合基本不等式中“1”的妙用即可求解；可看作，结合可求解
详解：，当且仅当时取到最小值；
，当且仅当时，取到最大值.
故答案为：；
【点睛】
方法点睛：本题考查由基本不等式求和的最小值与积的最大值，常用以下方法：
（1）涉及求的最值问题，其中，，可结合“1”的妙用转化为求解；
（2）要会活用的公式及其变形式，结合所求问题常采用拼凑法寻找所求与条件的关系，如本题中的转化.
4、已知正数a，b满足a+b=3.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 利用乘“1”法，将所求表达式化简，进而利用基本不等式求得最小值.
详解：依题意，所以，当且仅当等号成立.故选A.
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
5、已知均为正实数，且，则的最小值为__________，此时的值为__________.
答案： 8
解析： 分析：由，得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值
详解：解：因为均为正实数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，
故答案为：8；
【点睛】
关键点点睛：此题考查利用基本不等式求最值，解题的关键是对两边平方，得，然后巧妙利用1的代换，考查计算能力，属于中档题
6、已知正数x，y满足，则的最小值为________.
答案：
解析： 利用“1”的代换的方法，求得的最小值.
详解：由得，所以，当且仅当，即时，取得最小值.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
7、两个正实数满足，则满足恒成立的取值范围__________.
答案：
解析： 由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值为，再由不等式恒成立思想可得，解不等式可得所求范围.
详解：由，，，
可得，
当且仅当式取得等号，
的最小值为，
即有，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中档题.
8、若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是________．
答案：
解析： 先根据正实数x，y满足，求出的取值范围，再通过不等式有解解出m的取值范围.
详解：由题意，x，y是正实数，由基本不等式得，，即，，若不等式有解，则必有，解得：.
故实数m的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查基本不等式和解一元二次不等式，属于中档题.
三、构造基本不等式求最值、范围
1、若，则的最小值等于（ ）
A．6 B．9 C．4 D．1
答案： B
解析： 配凑出基本不等式的结构求解即可.
详解：,当且仅当,时取等号.
故答案为：9
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题型.
2、已知，，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
答案： B
解析： 由，，，所以，结合“1”的代换，结合基本不等式，即可求解.
详解：因为，，，所以，
则，
当且仅当且，即时取等号，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答合理构造基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，结合“1”的代换技巧是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
3、己知，那么的最小值是______．
答案：
解析：
，，可得利用基本不等式的性质即可求解．
详解：，．
．
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，拼凑积为定值是解题的关键，属于基础题．
4、已知，则的最小值为____________．
答案：
解析： 利用换元法令，则，从而可得，再利用基本不等式求解即可.
详解：设，则，
所以有，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，
故答案为：2.
【点睛】
该题考查的是有关求函数的最小值的问题，涉及到的知识点有应用基本不等式求和的最小值，属于基础题目.
5、已知函数，若在上恒成立，则的取值范围__________.
答案：
解析： 由题意得，在上恒成立，再利用基本不等式可得在上恒成立；从而得出的取值范围．
详解：解：，
可化为，
由于在上恒成立，
即在上恒成立，
又，
（当且仅当，即时，等号成立）；
在上恒成立，
解得：或，
则的取值范围为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的恒成立问题求参数范围，以及利用基本不等式求最值，属于中档题
6、已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为( )
A． B．
C． D．
答案： A
解析： 根据基本不等式可得到a＝2，b＝1，得到g(x)＝2|x＋1|，该函数图象可看做y＝2|x|的图像向左平移1个单位得到，从而求得结果.
详解：因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，
所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，
当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，
所以a＝2，b＝1，
此时g(x)＝2|x＋1|＝
此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到．
结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值和指数函数的图像和性质，利用基本不等式求出a＝2，b＝1是本题的关键，考查学生的逻辑推理能力和综合分析能力，属中档题.
7、设函数.
（1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；
（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.
答案： (1)(2)
试题分析：（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.
（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.
详解：（1）据题意知，对于，有恒成立，
即恒成立，因此，
设，所以，
函数在区间上是单调递减的，
，
（2）由对于一切实数恒成立，可得，
由存在，使得成立可得，
，
，当且仅当时等号成立，
【点睛】
本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题
8、（多选）已知函数，则该函数（ ）
A．最大值为 B．最小值为1 C．没有最小值 D．最小值为
答案： AC
解析： 因为，所以，
令，下面证明在单减，单增，
任取，且，则
，，，，
，即，所以函数在上是减函数，同理可证函数在上是增函数.
故知在上是减函数，在上是增函数.
所以在上是增函数，在上是减函数，当时，函数取得最大值为，没有最小值.
