专题12：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈三角函数的图像和性质解析版

三角函数的图像与性质
一、三角函数图像
1、函数，的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
答案： B
解析： 利用五点作图法，判断出正确的图像.
详解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.结合正弦函数的图像可知B正确.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查五点作图判断三角函数图像，考查三角函数图像的识别，属于基础题.
2、函数的图象是( )
A． B．
C． D．
答案： A
解析： 详解：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.
考点：函数的图象与性质．
3、函数f(x)＝x2cos x的图像大致是(　　)
A． B．
C． D．
答案： B
解析： 详解：因为f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除C、D；又f＝2cos＝>0，所以排除A.
故选：B
4、函数（且）的图像是下列图像中的（ ）
A． B．
C． D．
答案： C
解析： 将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.
【详解】
依题意，.由此判断出正确的选项为C.
故选C.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
5、函数的图象的一部分如图所示，则、的值分别为（ ）

A．1， B．1，
C．2， D．2，
答案： D
解析： 由f（0）=sinφ=，|φ|＜可以求得φ，又ω?+φ=π，可求ω的值．

解：∵f（x）=sin（ωx+φ），
∴f（0）=sinφ，又f（0）=，
∴sinφ=，又|φ|＜，
∴φ=；
又ω?+φ=π，即ω?+=π，
∴ω=2.
故答案为D．
6、设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）

A． B．
C． D．
答案： C
解析： 由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
详解：由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
7、函数的部分图像如图所示，则的值为（ ）

A． B．
C． D．
答案： A
解析： 由图像与轴相邻两交点的横坐标可求出周期，从而可求出的值，由最高点的纵坐标可得的值，再将点的坐标代入解析式中可求出的值.
详解：解：由题图知，周期T=，A=1
所以，所以.
由，得，
不妨取.
故选：A.
【点睛】
此题考查的是由三角函数的图像求解析式，属于基础题.
8、已知A，B，C，D是函数一个周期内的图像上的四个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则（ ）

A． B．
C． D．
答案： A
解析： 由已知可得，从而可求出的值，再把代入解析式中可求出的值.
详解：解：由题意可知，
所以，则.
又，
所以.
故选：A．
【点睛】
此题考查了由三角函数的图像求解析式，属于基础题.
9、已知函数的部分图像如图所示，则的解析式是（ ）

A． B．
C． D．
答案： B
解析： 根据图像的最大值和最小值得到，根据图像得到周期，从而求出，再代入点得到的值.
详解：由图像可得函数的最大值为2，最小值为-2，故
根据图像可知，
所以，
代入点得
所以，
因为，所以
所以，故选B.
【点睛】
本题考查根据正弦型函数的图像求函数的解析式，属于简单题.
10、为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案： C
解析： 先转化为同名三角函数，，设的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
则由与是同一函数求解.
详解：因为
所以设的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
所以与是同一函数，
所以，所以.
需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：C
【点睛】
本题主要考查图象的变换和诱导公式的应用，还考查了数形结合得思想和理解辨析的能力，属于中档题.
11、为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案： C
解析： 先转化为同名三角函数，，设的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
则由与是同一函数求解.
详解：因为
所以设的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
所以与是同一函数，
所以，所以.
需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：C
【点睛】
本题主要考查图象的变换和诱导公式的应用，还考查了数形结合得思想和理解辨析的能力，属于中档题.
12、若将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 先得到函数，再结合已知建立方程解得（），最后求的最小正值.
详解：解：函数的图象向左平移个单位长度，则
所以的图象关于轴对称，
所以（），解得（）
所以的最小正值是：
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数图象的变换、三角函数的对称性，还考查了整体代入法，是中档题.
13、设，函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
答案： C
解析： 由题意，平移后的图像与原图像重合，所以是最小正周期的整数倍，的最小正周期，列出等式，求解即可.
【详解】
由题意，的最小正周期 ，
的图像向右平移个单位与原图像重合，
所以平移的是最小正周期的整数倍，所以，解得，
因为，所以时，取最小值为6.
故选：C
【点睛】
本题主要考查对三角函数图像的理解，三角函数的周期性，还考查学生对题目的分析理解能力，属于基础题.

14、若函数的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 以函数的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，由对称性易知该直角三角形为等腰直角三角形，作出草图，根据三角函数的周期和最值即可求出结果．
详解：作出函数的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点.

设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P.
根据正弦函数图象的对称性，易知为等腰直角三角形，且斜边上的高，所以斜边，则周期.
由，有，所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象及其性质等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法.
15、已知函数（）的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值是（ ）
A．2 B．0 C． D．
答案： B
解析： 与正切函数相交后形成的线段长为,由可得,再将代入求值即可
【详解】
由题意知函数的周期为,则,所以,
所以
故选:B
【点睛】
本题考查正切型函数图象的性质,考查正切函数求值
16、设，函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
答案： C
解析： 由题意，平移后的图像与原图像重合，所以是最小正周期的整数倍，的最小正周期，列出等式，求解即可.
【详解】
由题意，的最小正周期 ，
的图像向右平移个单位与原图像重合，
所以平移的是最小正周期的整数倍，所以，解得，
因为，所以时，取最小值为6.
故选：C
【点睛】
本题主要考查对三角函数图像的理解，三角函数的周期性，还考查学生对题目的分析理解能力，属于基础题.
17、已知函数的部分图像如图所示，其中为图像上两点，将函数图像的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ）

A． B．
C． D．
答案： C
解析： 根据图像得到，在于图像的平移得到，将带入正弦函数的递减区间，即可得答案.
详解：由图像得，∴，
∴，
∵图像过点，∴，即，解得：，
∴，∴，
∴，
∴函数的单调递增区间为.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的图像和性质、平移变换、单调区间、诱导公式等知识的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

二、三角函数单调性与奇偶性
1、函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 由题的单调递增区间为： ．则当
考点：余弦函数的单调性和周期性.
2、设，，则( )
A． B．
C． D．
答案： D
解析：
，利用和可比较.
详解：解：
在单调递增

又

所以
故选：D
【点睛】
考查利用三角函数的性质比较大小，基础题.
3、是（ ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
答案： D
解析： 整理,即可判断选项.
详解：由题,因为,
所以该函数是奇函数,周期为,
故选:D
【点睛】
本题考查三角函数的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的应用.
4、已知函数在内是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 由正切函数的图象与性质，得出关于的不等式组，求出解集即可．
【详解】
由函数在内是减函数.
所以，且，解得：.
故选：C
【点睛】
本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
5、若函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 根据的范围可求得的范围，根据单调性，采取整体对应的方式可构造不等式求得的取值范围.
详解：当时，.
在上单调递增，，解得：，
又为正实数，的取值范围为.
故选：.
【点睛】
本题考查根据正弦型函数的单调性求解参数范围的问题，解决此类问题通常采用整体代入的方式，对应正弦函数的图象构造不等式求得结果.
6、将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 先根据图象的变换得出，
根据函数的单调性确定时，，的最大负零点在区间上只需由解得,求的交集即可.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度,
可得，
在区间上单调递增， 的最大负零点在区间上，
，
即，①
令，得，
又的最大负零点在区间上，
所以只需,
解得②
由①②及已知条件可知，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的图象变换，单调性，零点，属于中档题.
7、已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则必的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
答案： B
解析：
由题意得，，结合三角函数的图象与单调性得，解出即可．
详解：解：∵

，
又函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想，属于中档题．

三、 三角函数的对称性与周期性
1、函数的最小正周期为( )
A． B． C． D．
答案： A
解析： 根据正弦型三角函数的周期性可知，的最小正周期为，求解计算即可.
详解：函数的

故选：A
【点睛】
本题考查正弦型三角函数的周期性，属于较易题.
2、函数与函数的最小正周期相同，则( )
A． B． C． D．
答案： A
解析： 详解：解：因为函数与函数的最小正周期相同，因此=,选A
3、下列函数中是奇函数，且最小正周期为的函数是（ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 由奇偶性的定义可排除BC，结合函数的最小正周期可选出正确答案.
详解：解：A:得关于原点对称，
又因为，则为奇函数，最小正周期为，A不正确；
B：由可知，为偶函数，故B不正确；
C:由可知，为偶函数，故C不正确;
D: 由可知，为奇函数，最小正周期为，
故选:D.
【点睛】
本题考查了奇偶性的判断，考查了诱导公式的应用，考查了三角函数最小正周期的求解，属于基础题.
4、下列函数中，以为周期且图象关于对称的是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 先分析周期，符合周期条件的再分析对称性．
【详解】
不是周期函数，的周期是，的周期是，的周期是，排除A，B，
对C，时，，为对称轴，对D时，，不是对称轴．
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的周期性和对称性．掌握正弦函数和余弦函数性质是解题关键．解题时要注意加绝对值后是不是周期函数可画出图象判断．
5、已知函数是定义在上的偶函数，则的最小正周期是___________．
答案：
解析：
由偶函数的定义域关于原点对称求出的值，由偶函数满足，可求出的值，将，代入函数中，进而求出最小正周期即可.
详解：∵函数是定义在的偶函数，
∴，解得，
又，即在恒成立，
整理得，所以.
∴，∴最小正周期.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了偶函数定义的应用，考查了三角函数的周期，利用偶函数的定义域一定关于原点对称是解题的关键，属于基础题.
6、若直线是函数图象的一条对称轴，则a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析：
由题 ，对称轴方程为： 则当
考点：三角函数的性质（对称性）.
7、函数图象的对称轴方程可能是（ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 函数的对称轴方程满足： ,
即： ,令 可得对称轴方程为 .
本题选择D选项.
8、已知函数的最小正周期为，且对任意的，恒有成立，则图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 根据题意对任意的，恒成立，则可知为函数最大值，再根据周期性可求对称轴.
详解：由题意，对任意的，恒成立，
又，则，
故为最大值点，
为函数对称轴，且已知周期为，
则函数的对称轴方程为，
则当时，对称轴方程为.
故选：
【点睛】
本题考查三角函数的对称性和最值，属于中等题型.
9、已知函数的一个对称中心为，则（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析：
由对称中心知，从而可知，结合即可求出的值.
详解：解：当时，，所以，
解得，因为，所以.
故选:C.
【点睛】
本题考查了三角函数解析式的求解，考查了三角函数的对称性的应用.本题的关键是由对称中心求出的表达式.

10、将函数的图象向左平移后，图象关于原点对称，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 先求出平移之后的函数，由题意令即可得解.
详解：设平移之后的函数为，由题意，
图象关于原点对称，
即.
当时，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数图象的平移和三角函数的性质，属于基础题.
11、函数的图象的对称中心是_____________.
答案：
解析： 直接根据正切函数的对称中心，可得，求出，即可得答案；
详解：令，解得，
则的图象的对称中心是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正切型函数的对称中心，考查运算求解能力，属于基础题.
12、已知函数的图象关于点对称，则的最小值为_____.
答案： .
解析： 由题意可得，求得的解析式，可得的最小值.
【详解】
解：由题意可得，
求得，
又，则的最小值为，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题.
13、已知的图象关于直线对称，若存在，使得对于任意的x都有，且的最小值为，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 根据的最大值和最小值对应的横坐标的距离，求得的半周期，由此求得的值，结合根据的对称轴列方程，求得的值.
【详解】
依题意存在，使得对于任意的x都有，所以分别是的最小值和最大值，而的最小值为，所以，由解得，所以.由于的图象关于直线对称，所以的值为或，即的值为或，由于，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查三角函数的周期性和对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.


四、 三角函数的最值与零点
1、不等式对恒成立的充要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 设，不等式对恒成立等价于，即可求出答案.
详解：解：设，
不等式对恒成立等价于，
因为在上的最小值为，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.
2、函数在区间上的最小值是，的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
答案： C
解析： 先根据函数在区间在区间上的最小值是，确定的取值范围，进而可得到或，求出的范围得到答案．
【详解】
函数在区间上的最小值是.
则的取值范围是.
所以或
或
所以的最小值等于.
故选：C
【点睛】
本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查正弦函数的图像性质运用能力．属于中档题.
3、已知，，且在区间有最小值，无最大值，则（ ）
A． B． C．8 D．4
答案： B
解析： 根据，且在区间有最小值，无最大值,可得当时，函数有最小值，再由函数的周期可得答案.
详解：由可得为函数的一条对称轴
又在区间有最小值，无最大值，
可得在处取得最小值，即，
∴，，又知，
∴，综上.
故选：B

【点睛】
本题考查函数的的对称性，单调性和最值等性质，属于难题.
4、已知函数在区间上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
答案： C
解析： 先根据三角函数的性质可推断出函数的最小正周期为6，进而推断出，进而求得t的范围，进而求得t的最小值．
详解：函数的周期T=6，
则，∴，
∴正整数t的最小值是8.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查三角函数的周期性以及正弦函数的简单性质，属于基础题.
5、设函数，已知在有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是（ ）
A．的取值范围是 B．在单调递增
C．在单调递减 D．在至多有2个极大值点
答案： B
解析： 由在有且仅有2个极小值点可得,即,即可求得范围,且在单调递减,在单调递增,进而判断选项即可
【详解】
由题,因为在有且仅有2个极小值点,所以,即,
因为,所以,故A正确；
因为,所以,
因为在单调递增,只有当时在单调递增才成立,故B错误；
因为在单调递减,所以在上单调递减,故C正确；
因为,两端点取不到,且,所以在至多有2个极大值点,故D正确；
故选:B
【点睛】
本题考查余弦型函数的单调性,考查余弦型函数的周期性的应用
6、已知，函数在区间上恰有9个零点，则的取值范围是________.
答案：
解析： 由奇偶性可得在上恰有4个零点,则,进而求得的范围即可
【详解】
在区间上恰有9个零点,等价于在上恰有4个零点,
设的周期为T,则,即,
所以,则,
故的取值范围为,
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数周期性的应用,考查求的范围
7、将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
答案： C
解析： 计算，，根据题意得到，计算得到答案.
【详解】
由已知得函数，由图象过点以及点在图象上的位置，
知，，∵，∴，
由在上恰有一个最大值和一个最小值，∴，
∴.
故选：.
【点睛】
本题考查了三角函数伸缩变换，三角函数图像与性质，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
8、设函数，其中，已知在上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 设，则，从而将问题转化为在上有4个零点，从而得到，再利用不等式恒成立问题求得的范围，即可得答案.
【详解】
设，则，
所以在上有4个零点，
因为，所以，
所以，
所以，即，满足的只有A.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.

9、函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 利用配方法，进而利用二次函数即可.
【详解】
函数，由，则，
所以函数的值域为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数值域的求法，高中函数值域求法有：1.观察法，2.配方法，3.反函数法，4.判别式法，5.换元法，6.数形结合法，7.不等式法，8.分离常数法，9.单调性法，10.利用导数求函数的值域，11.最值法，12.构造法，13.比例法，要根据题意选择，属于基础题．