2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈模拟试卷（三）解析版
展开高一数学期末模拟试卷（一）
注意事项：
1.答题前，务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.
1、已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由扇形的面积公式列方程求解即可.
【详解】解：由扇形面积公式得，
，
故选：A.
【点睛】本题考查扇形面积公式的应用，是基础题.
2、已知集合，，则集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合A，集合B中元素的范围，再求交集即可.
【详解】解：由已知得：，，
则，
故选：B.
【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.
3、函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将选项中区间的端点代入运算，然后利用零点存在性定理判断零点所在区间.
【详解】解：，，
所以，
根据零点存在性定理，函数的零点所在的一个区间是，
故选：A.
【点睛】本题考查对零点存在性定理的理解和应用，是基础题.
4、若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．
【详解】，，
故选D．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
5、设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对取相同次幂，转化为整数次幂计算比较大小，然后通过中间量将与进行大小比较.
【详解】解：因为，，则，
又，
所以，
故选：D.
【点睛】本题考查指数式和对数式的大小关系，是基础题.
6、不等式的解集为R，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 对分成，两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.
详解：当时，不等式化为，解集为，符合题意.
当时，一元二次不等式对应一元二次方程的判别式，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
7、已知，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
则可得．
8、已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将函数解析式变形,即可判断出其对称轴.结合函数的单调性及不等式,即可得关于的不等式,解不等即可求得的取值范围.
【详解】函数,变形后可得
所以的图像关于对称
由函数单调性可知当时,函数单调递增
因为
所以满足
变形可得展开可知
因式分解可得
解不等式可得
即实数的取值范围为
故选:A
【点睛】本题考查了函数对称性及单调性的综合应用,根据单调性解不等式,绝对值不等式的解法.关键在于对函数解析式进行变形及判断出对称轴,属于中档题.
9、下面说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】对于A，或，
则“”是“”的充分不必要条件，故A对；
对于B，全称量词命题的否定是存在量词命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对；
对于C，“且”“”，“且”是“”的充分条件，故C错；
对于D，且，则“”是“”的必要不充分条件，故D对，
故选ABD．
10、设，，，则下列结论正确的是（ ）
A 有最小值；B 有最大值；
C 有最大值；D 有最小值．
【答案】AD
【解析】利用基本不等式判断即可．
由，，，则，
即，解得或（舍去），
当且仅当时取等号，即A正确；
又，即，
解得或（舍去），
当且仅当时取等号，即D正确，
故选B．
11、（多选）函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于，两点，且在轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图像关于点成中心对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图像向右平移个单位长度后关于原点成中心对称
答案： AB
解析： 根据函数的图象，可求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解得到答案．
详解：根据函数的部分图象以及圆C的对称性，
可得两点关于圆心对称，
A选项，根据给定函数的图象得点的横坐标为，所以，
解得，正确；
B选项，由A得， 不妨令，由周期，
所以，又，所以，所以，
因为，即函数的图象关于点成中心对称，正确；
C选项，由图像可知，函数的单调增区间为，
即，，
当时，函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递增区间为， C错误；
D选项， 函数的图象向右平移个单位后，
所得图象关于轴对称，D错误.
故选：AB．
【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
12、若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：
A ； B ；
C； D ．
其中是“阶马格丁香小花花”函数
【答案】BD
【解析】
【分析】
判断函数是否为 “阶马格丁香小花花”，只需判断方程是否有实数解，逐个函数代入验证，即可求解.
【详解】A，方程为，
整理得，无实根，A不是“阶马格丁香小花花”函数；
B，方程为，
整理得解得，B是“阶马格丁香小花花”函数；
C，方程为
，整理得，
方程无实根，C不是“阶马格丁香小花花”函数；
D，方程为
，整理得
，
D是“阶马格丁香小花花”函数.
故答案为:BD
【点睛】本题考查新定义问题，要认真审题，转化为判断方程是否有实数解，属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13、已知函数，若，则实数__________．
答案：
解析： 因为，
所以，因此，
又，所以，解得.
故答案为：
14、关于x的不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】
将分式不等式转化为整数不等式求解即可.
【详解】解：且，
解得，
故关于x的不等式的解集为，
故答案为：.
【点睛】本题考查分式不等式的解法，是基础题.
15、已知，，，则的最大值是_______，的最小值是_______．
【答案】，
【解析】由，可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是．
由，可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
的最小值是，
故答案为；．
16、已知函数，，则函数的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，将函数转化为，利用单调性求其值域.
【详解】解：由已知，
有，解得
令，则，其在上单调递增，
所以，，
故函数的值域为，
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的值域问题，一定要注意函数的定义域，是中档题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、化简下列式子：
（1）
（2）
【答案】（1） （2）2
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式变形即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）.
【点睛】本题考查诱导公式及对数的运算性质，是基础题.
18、已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）时，求出集合，进而可求得；
（2），得，分，讨论，列关于的不等式解出来即可.
【详解】（1）时，，，.
所以，
（2），，
①若时，，解得，符合题意；
②若时，，解得.
综合可得以.
【点睛】本题考查集合的运算，注意不要遗漏当时，的情况，是基础题.
19、已知正实数a满足不等式.
（1）解关于x的不等式.
（2）若函数在区间上有最大值，求实数a的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）先解出指数不等式，再利用对数函数的单调性解；
（2）利用单调性列方程求实数a的值.
【详解】（1）由题意得：，，
，
解得：
（2），且是减函数，
上递增，
.
【点睛】本题考查指数函数对数函数的单调性的应用，是基础题.
20、已知函数，的最小正周期为，最大值为2.
（1）求的解析式；
（2）若函数，，对任意的实数x，有，求 的单调递减区间.
【答案】（1） （2），.
【解析】
【分析】
（1）利用三角公式将条件变形为的形式，利用最值与周期列方程求解即可；
（2）由，得为偶函数，可得，即，再令，求出的范围即可得 的单调递减区间.
【详解】（1）
，
由题：最大值为，则，
最小正周期为，则，
（2），
，即是偶函数，
，
（且）
，，
，
令，则，，
所以，的减区间为，.
【点睛】本题考查正弦余弦型函数的最值，周期性，单调性，奇偶性，属于中档题.
21、若.
（1）求的最小值；
（2）若对任意的，恒成立，求k的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）讨论对称轴与区间中点1的大小关系，可得最小值；
（2）当显然恒成立，再讨论和，将恒成立问题，通过参变分离转化为最值问题即可.
【详解】（1）①当时，，
②当时，，
.
（2）①当时，，显然恒成立，此时，
②当时，，恒成立
恒成立，，
当时，，.
③当时，恒成立，
恒成立，，
当时，，.
综上，.
【点睛】本题考查二次函数在区间上的最值问题，以及二次不等式恒成立问题，参变分离转化为最值问题是常用的解题方法，是中档题.
22、已知函数，.
（1）若图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图像在 上单调递增，求的最大值；
（2）若函数在内恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由题变换后图像的解析式是：，求出的范围，再根据单调性列不等式组求解即可；
（2）化简可得，令，令，，分①，②，③，④，⑤讨论零点的情况.
【详解】（1）由题变换后图像的解析式是：
，
，，
，，，
由题：，且，
，
即的最大值为；
（2），
设，
当时，.
它的图形如图所示：
则.
令，，
①当时，，此时，仅有一个零点，对应一个x，不符题意；
②当时，，此时，仅有一个零点，对应两个x，符合题意；
③当时，，此时，有两个零点，，
由图，各对应一个x，符合题意；
④当时，若有两根，则必有，与矛盾；
⑤当吋，若取有两相等实根，则，白①②可知，；
⑥当在上有一根，在或上有一根；
或，则或，
解得：，
综上，.
【点睛】本题考查三角函数图像的变换，考查函数零点问题，注意换元，转化为二次函数的根的问题，是一道难度较大的题目.
