2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习8 双曲线（解析版）

 练习8  双曲线  1．（2020秋•淮安期中）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的3倍，则m的值为（　　）A．9 B．﹣9 C． D．﹣【分析】由题意可得m＜0，化双曲线方程为标准方程，求得实半轴与虚半轴长，再由已知列式求得m值．【解答】解：∵方程mx2+y2＝1表示双曲线，则m＜0，化双曲线方程为标准方程，则a2＝1，，∴a＝1，b＝，由题意可得，3＝，解得m＝﹣．故选：D．2．（2020秋•江苏期中）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，0）到双曲线C：﹣＝1的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为（　　）A．2 B．4 C． D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，求解a，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣＝1的一条渐近线：y＝．点P（4，0）到双曲线C：﹣＝1的一条渐近线的距离为6，可得：，解得a＝，b＝3，则c＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝2．故选：A．3．（2020秋•如皋市期中）已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）A． B． C． D．2【分析】设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，CF'，由题意推得四边形AFBF'为矩形，可设|BF|＝t，则|FC|＝3t，|BF'|＝2a+t，|CF'|＝3t+2a，分别在直角三角形CBF'和直角三角形BFF'中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值．【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，CF'，由可得AF⊥BF，四边形AFBF'为矩形，可设|BF|＝t，则|FC|＝3t，|BF'|＝2a+t，|CF'|＝3t+2a，在直角三角形CBF'中，可得|BC|2+|BF'|2＝|CF'|2，即为（4t）2+（2a+t）2＝（3t+2a）2，解得t＝a，又在直角三角形BFF'中，|BF|2+|BF'|2＝|FF'|2，即为t2+（2a+t）2＝4c2，即为a2+9a2＝10a2＝4c2，即有e＝＝，故选：B．4．（2020秋•南京期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上，若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【分析】利用四边形OFMN（O为坐标原点）为菱形，结合双曲线的对称性，求出M的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上，且四边形OFMN为菱形，不妨M在x轴上方，可知M（﹣，），代入双曲线方程可得：＝1．可得e4﹣8e2+4＝0，e＞1，可得e2＝．可得e＝．故选：C．5．（2020秋•高港区校级月考）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值为（　　）A．20 B．21 C．22 D．23【分析】根据双曲线的标准方程可得a，b，再由双曲线的定义可得：|AF2|﹣|AF1|＝2a＝4，|BF2|﹣|BF1|＝2a＝4，所以得到|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝8，再根据A、B两点的位置特征可得|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，计算即可得到答案．【解答】解：根据双曲线，得a＝4，b＝2，由双曲线的定义可得：|AF2|﹣|AF1|＝2a＝8…①，|BF2|﹣|BF1|＝2a＝8…②，①+②可得：|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝16，由于过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，可得|AF1|+|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．即有|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝16．即有|BF2|+|AF2|＝|AB|+16≥+16＝+16＝22．故选：C．6．（多选）（2020秋•邗江区校级期中）下列双曲线中，以y＝±2x为渐近线的双曲线的标准方程为（　　）A．x2﹣＝1 B．＝1 C．y2﹣＝1 D．＝1【分析】分别求解双曲线的渐近线方程，即可得到选项．【解答】解：x2﹣＝1的渐近线方程为：y＝±2x；＝1的渐近线方程为：y＝±2x；y2﹣＝1的渐近线方程为：y＝±x；＝1的渐近线方程为：y＝±2x；故选：ABD．7．（多选）（2020秋•连云港期中）下列有关双曲线2x2﹣y2＝8的性质说法正确的是（　　）A．离心率为 B．顶点坐标为（0，±2） C．实轴长为4 D．虚轴长为【分析】化简双曲线方程为标准方程，求出a，b，c求解离心率，顶点坐标，实轴长，虚轴长，即可推出结果．【解答】解：曲线2x2﹣y2＝8的标准方程为：，所以a＝2，b＝2，c＝2，所以离心率为：e＝，顶点坐标（±2，0）实轴长为4，虚轴长为4．故选：ACD．8．（2020秋•淮安期中）已知点P为双曲线C：上的动点，点A（﹣10，0），点B（10，0）．若|PA|＝16，则|PB|＝　    　．【分析】判断AB是双曲线的焦点坐标，对P点分类利用双曲线的定义转化求解即可．【解答】解：双曲线C：，点A（﹣10，0），点B（10，0）．可知A、B是双曲线的焦点，a＝6，c＝10，a+c＝16，点P为双曲线C：上的动点，点A（﹣10，0），点B（10，0）．当P在双曲线右支上时，由|PA|＝16，得|PB|＝4；当P在双曲线左支上时，由|PA|＝16，得|PB|＝2a+|PA|＝12+16＝28．∴|PB|＝4或28．故答案为：4或28．9．（2020秋•高港区校级月考）过点（3，﹣1）且与双曲线有公共渐近线的双曲线标准方程是　       　．【分析】据共渐近线的双曲线的方程的一般形式设出双曲线的方程，将（3，﹣1）的坐标代入求出待定系数λ，即得到要求的双曲线方程．【解答】解：设所求双曲线的方程为双曲线＝λ（λ≠0），将点（3，﹣1）代入得λ＝2，所求双曲线的标准方程为：＝1．故答案为：＝1．10．（2020秋•高邮市期中）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为8，则a＝　　   ．【分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可．【解答】解：由题意，设|PF2|＝m，|PF1|＝n，可得m﹣n＝2a，mn＝8，m2+n2＝4c2，e＝，可得m2+n2﹣2mn＝4a2，即4c2﹣32＝4a2，∴20a2﹣32＝4a2，即a2＝2，则a＝．故答案为：．11．（2020秋•如皋市月考）双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线左支上一点，∠F1MF2＝90°，直线MF2交双曲线的另一支于点N，MN＝2NF2，则双曲线的离心率是　　    ．【分析】设|NF2|＝x，则|MN|＝2x，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理，可得所求离心率．【解答】解：设|NF2|＝x，则|MN|＝2x，由双曲线的定义可得|NF1|＝|NF2|+2a＝x+2a，又|MF2|＝x+2x＝3x，由双曲线的定义可得|MF1|＝3x﹣2a，在直角三角形MNF1中，∠F1MN＝90°，可得（3x﹣2a）2+（2x）2＝（x+2a）2，解得3x＝4a，在直角三角形MF1F2中，（3x﹣2a）2+（3x）2＝4c2，即为（4a﹣2a）2+16a2＝4c2，即c＝a，e＝＝，故答案为：．12．（2020秋•惠山区校级期中）已知双曲线C的标准方程为，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点．（1）若点P在双曲线的右支上，且ΔF1PF2的面积为3，求点P的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点F2的直线l与双曲线交于M，N两点，求线段MN的长度．【分析】（1）求得双曲线的a，b，c，设出P的坐标，运用三角形的面积公式，解方程可得所求点P的坐标；（2）求得直线l的方程，联立直线方程和双曲线的方程，解方程可得M，N的横坐标，再由弦长公式计算可得所求值．【解答】解：（1）双曲线C的标准方程为，可得a＝，b＝，c＝＝3，设P（m，n）（m＞0），由题意可得ΔF1PF2的面积为S＝•2c|n|＝3，即|n|＝＝1，可得n＝±1，m＝＝，即有P（，﹣1）或P（，1）；（2）斜率为1且经过右焦点F2（3，0）的直线l的方程为y＝x﹣3，与双曲线的方程2x2﹣y2＝6联立，可得x2+6x﹣15＝0，设M，N的横坐标分别为x1，x2，解得x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2，则|MN|＝|x1﹣x2|＝＝8． 13．（2020•雨花区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与一条渐近线交于点P（P在第一象限），PF1交双曲线左支于Q，若，则双曲线的离心率为（　　）A． B． C． D．【分析】先解得交点P的坐标，得到Q的坐标，代入双曲线方程，即可得出离心率e．【解答】解：由题意可得圆的方程为x2+y2＝c2，与渐近线联立方程组可得，解得，即P（a，b），又F1（﹣c，0），设Q（m，n），则，，由，得（m﹣a，n﹣b）＝（﹣2c﹣2m，﹣2n），∵，解得Q（，），代入双曲线方程，可得，解得e＝．故选：A．14．（2020春•如皋市月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，设过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若△F1AB是正三角形，则双曲线C的离心率为　　    ．【分析】计算AF2，根据AF2和F1F2的倍数关系得出a，b，c的关系，进而可求出离心率．【解答】解：不妨设A在第一象限，则直线OA方程为y＝x，把x＝c代入y＝x可得y＝，故AF2＝，∵△F1AB是正三角形，∴F1F2＝AF2，即2c＝，∴b＝，∴双曲线的离心率e＝＝＝＝．故答案为：．15．（2020春•南通期末）如图，已知双曲线，过点P（0，﹣1）的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E（点D在y轴的左侧）．（1）若，求直线l的方程；（2）求的取值范围．【分析】（1）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程，与双曲线的方程联立可得两根之和及两根之积，由直线与双曲线交于左右两支上，可得k的取值范围；（2）由（1）可得弦长AB的表达式，再求双曲线的渐近线的方程，与直线l联立求出D，E的坐标，由弦长公式求出DE的表达式，进而求出的表达式，再由k的范围求出的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l 方程我：y＝kx﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与双曲线的方程，整理可得（2﹣k2）x2+2kx﹣3＝0，由题意可得，解得：﹣＜k，由＝﹣3，可得x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1﹣1）（kx2﹣1）＝（1+k2）x1x2﹣k（x1+x2）+1＝（1+k2）﹣k•+1＝﹣3，解得：k2＝1＜2符合条件，所以k＝±1，即l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x﹣1；（2）由（1）知AB＝|x1﹣x2|＝•＝＝•；由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝x，由，解得xD＝，同理可得xE＝，所以可得DE＝|xD﹣xE|＝|﹣|＝，所以＝，又因为﹣，所以≤＜1，即的取值范围为[，1）．