2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习10 空间向量及其运算（解析版）

 练习10  空间向量及其运算  1．（2020•江苏模拟）若向量＝（2，﹣3，1）和＝（1，x，4）满足条件•＝0，则x的值是（　　）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】直接代入数量积求解即可．【解答】解：因为＝（2，﹣3，1）和＝（1，x，4）满足条件＝0，即2﹣3x+4＝0⇒x＝2；故选：D．2．（2020秋•南京期中）已知向量＝（﹣2，3，﹣1），＝（4，m，n），且∥，其中m，n∈R，则m+n＝（　　）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【分析】由∥，利用向量平行的性质列出方程，从而求出m＝﹣6，n＝2，由此能求出m+n．【解答】解：∵向量＝（﹣2，3，﹣1），＝（4，m，n），且∥，其中m，n∈R，∴，解得m＝﹣6，n＝2，∴m+n＝﹣6+2＝﹣4．故选：B．3．（2019秋•连云港期末）已知向量＝（λ，6，2），＝（﹣1，3，1），满足∥，则实数λ的值是（　　）A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵向量＝（λ，6，2），＝（﹣1，3，1），满足∥，∴，解得λ＝﹣2，∴实数λ的值是﹣2．故选：C．4．（2019秋•溧阳市期末）已知在四面体ABCD中，点M是棱BC上一点，且BM＝3MC，点N是棱AD的中点，若＝x+y+z其中x，y，z为实数，则x+y+z的值是（　　）A． B．﹣ C．﹣2 D．2【分析】根据空间向量的加法、减法运算，共线向量定理，数形结合，先用向量 ，，表示出向量 ，再对比已知条件＝x+y+z，分别求出x，y，z的值，然后就可以得到x+y+z的值．【解答】解：因为BM＝3MC，点N是棱AD的中点；∴＝﹣，＝；∵＝﹣；∴＝+＝﹣（）﹣+＝﹣﹣+；①∵＝x+y+z②；∴x＝﹣，y＝﹣，z＝；∴x+y+z＝﹣．故选：B．5．（2020秋•菏泽期中）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且，，，则x+y+z＝（　　）A． B． C．1 D．【分析】建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，根据向量的线性表示，即可求出x、y和z的值．【解答】解：分别以AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设B＝（a，0，0），D＝（0，b，0），P＝（0，0，C），所以M＝（a，b，c），N＝（0，b，c），所以＝（a，b，﹣c）＝+﹣，所以x＝，y＝，z＝﹣，所以x+y+z＝．故选：B．6．（多选）（2020秋•天宁区校级期中）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（　　）A．＝+ B．＝++ C．＝++ D．+++＝【分析】利用空间向量基本定理，进行验证，对于A，可得，，为共面向量，从而可得M、A、B、C四点共面．【解答】解：对于A：∵﹣＝（﹣）+（﹣），∴﹣＝﹣+﹣，∴+﹣＝+﹣＝，故＝+，故A，B，C共线，故P，A，B，C共面；或由＝+得：，，为共面向量，故P，A，B，C共面；对于B：++＝1，故P，A，B，C共面；对于C，D，显然不满足，故C，D错误；故选：AB．7．（多选）（2019秋•苏州期末）已知向量＝（1，2，3），＝（3，0，﹣1），＝（﹣1，5，﹣3），下列等式中正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】A．左边为向量，右边为实数，显然不相等．B．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．C．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．D．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：A．左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B．左边＝（4，2，2）•（﹣1，5，﹣3）＝0，右边＝（1，2，3）•（2，5，﹣4）＝2+10﹣12＝0，∴左边＝右边，因此正确．C．＝（3，7，﹣1），左边＝32+72+（﹣1）2＝59，右边＝12+22+32+32+0+（﹣1）2+（﹣1）2+52+（﹣3）2＝59，∴左边＝右边，因此正确．D．由C可得：左边＝；∵﹣﹣＝（﹣1，﹣3，7），∴|﹣﹣|＝，∴左边＝右边，因此正确．综上可得：BCD正确．故选：BCD．8．（2019秋•苏州期末）已知向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），若∥，则实数t的值为　  　．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），∥，∴，解得t＝﹣8，∴实数t的值为﹣8．故答案为：﹣8．9．（2019春•苏州期中）已知向量＝（3，2，0），＝（2，1，2），若（k+）⊥（﹣），则实数k的值为　　．【分析】由（k+）⊥（﹣），可得（k+）•（﹣）＝0，即可得出．【解答】解：∵k+＝（3k+2，2k+1，2），﹣＝（1，1，﹣2），∵（k+）⊥（﹣），∴（k+）•（﹣）＝3k+2+2k+1﹣4＝0，解得：k＝．故答案为：．10．（2020春•无锡月考）若向量＝（7，λ，8），＝（1，﹣1，2），＝（2，3，1），且，，共面，则λ＝　  　．【分析】由共面条件得出方程组，由此求出m的值．【解答】解：向量＝（7，λ，8），＝（1，﹣1，2），＝（2，3，1），且，，共面，所以存在两个实数x、y使得＝x+y；即，解得；所以λ＝3．故答案为：3．11．（2019秋•建邺区校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是B1C1的中点，且＝x+y+z，则x+y+z的值为　　    ．【分析】画出正方体，用向量、和表示出向量，求出x、y，z的值即可得出结论．【解答】解：如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是B1C1的中点，则＝++＝++＝x+y+z，所以x+y+z＝+1+1＝．故答案为：．12．（2019秋•阳泉期末）已知向量＝（2，4，﹣2），＝（﹣1，0，2），＝（x，2，﹣1）．（1）若∥，求||；（2）若⊥，求（﹣）•（2+）的值．【分析】（1）由∥，可得存在实数k使得＝k，可得：，解得x；（2）⊥，可得•＝﹣x+0﹣2＝0，解得x．可得，（﹣）•（2+）．【解答】解：（1）∵∥，∴存在实数k使得＝k，可得：，解得x＝1．∴||＝＝；（2）⊥，∴•＝﹣x+0﹣2＝0，解得x＝﹣2．∴＝（﹣2，2，﹣1）．∴（﹣）•（2+）＝（4，2，﹣1）•（﹣4，2，3）＝﹣16+4﹣3＝﹣15．  13．（2020秋•栖霞区校级月考）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1．若＝x+y+z，则x+y+z等于（　　）A．﹣1 B．0 C． D．1【分析】根据空间向量的加法、减法和数乘的运算法则即可得解．【解答】解：＝+++＝﹣﹣++＝﹣﹣++＝﹣++，∵＝x+y+z，∴x＝﹣1，y＝1，z＝，∴x+y+z＝故选：C．14．（2020•闵行区校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，若点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，则点P可以是正方体表面上的点　                   　．【分析】因为点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，所以点A，M，N三点共面，只需要找到平面AMN与正方体表面的交线即可．【解答】解：因为点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，所以点A，M，N三点共面，又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN＝B1N，AM＝MC，连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上的点．故答案为：线段AB1，B1C，AC上的点．15．（2020秋•历下区校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．（1）若点D在直线AC上，且，求点D的坐标；（2）求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．【分析】（1）根据＝λ，分别求出，在坐标，根据，得到关于λ的方程，解出即可求出D的坐标；（2）分别求出•，求出其夹角，求出四边形的面积即可．【解答】解：（1），，，，，解得：，故．（2），，，，，所以以BA，BC为邻边得平行四边形的面积为．