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初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试课后练习题
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这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试课后练习题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．0
2．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5B．6或4C．5或7D．5或6或7
3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=( )
A．180°B．360°C．540°D．720°
4．如图，中，点、、分别在三边上，、、交于一点，，，，则（ ）
A．B．
C．40D．41
5．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（ ）
A．5°B．13°C．15°D．20°
6．如图，△ABC的面积为30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，则图中四边形EDCF的面积等于（ ）
A．8.5B．8C．9.5D．9
7．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
8．如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．28C．35D．30
9．如图，△ABC的面积为．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少次操作（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题
11．如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______．
12．如图，在中，，分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点，则____度；分别作与的平分线，且两条角平分线交于点，则______度．
13．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC＝140°，其中O1B平分∠ABO，O1C平分∠ACO，O2B平分∠ABO1，O2C平分∠ACO1，…，OnB平分∠ABOn﹣1，OnC平分∠ACOn﹣1，…，以此类推，则∠BO1C＝_____°，∠BO2017C＝_____°．
14．如图，BD是△ABC边AC的中线，点E在BC上，BE=EC，△AED的面积是3，则△BED的面积是_______________．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=（20°<<120°），AE平分△ABC的外角∠BAD，CF将∠ACB分成1：2两部分．若AE、CF交于点G，则∠AGC的度数为_________（用含的代数式表示）．
三、解答题
16．如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形．
（1）如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形．
（2）如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数．
（3）利用图1探究：
①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系．
②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由．
17．（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明．
（简单应用）（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，、分别平分、，
①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
（问题探究）
（3）如图3，直线平分的外角，平分的邻补角，
①若，，则的度数为______；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为______．（用、的代数式表示）
（5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论______．
18．（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分
（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：
（结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积；
（拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：
（迁移应用）（4）如图4，中，是的三等分点，是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积_________________
19．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．
（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；
（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．
20．已知A，B两点在直线m上，C，D两点在直线n上，∠BAD=α，∠BCD=β．
（1）如图1，若∠BAD=∠ADC，求证∠ABC=∠BCD．
（2）如图2，m∥n，过点D作DE⊥BC于点E，∠BAD与∠DEB的角平分线相交于点P，求∠P（用α，β的式子表示）
（3）在（2）的条件下，若点A沿直线m向右运动，且不与B点重合，则∠APE= （用α，β的式子表示，不写证明过程）．
21．如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．
（1）∠PBQ的度数是 ，∠PCQ的度数是 ；
（2）若∠A＝70°，求∠P和∠Q的度数；
（3）若∠A＝α，则∠P＝ ，∠Q＝ （用含α的代数式表示）．
22．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
23．已知：如图，点D，E，F分别在线段AB，BC，AC上，连接DE、EF，DM平分∠ADE交EF于点M，∠1＝∠2．求证：∠B+∠DEC=180°．
【参考答案】
1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．D 9．A 10．D
11．
12．45 67.5
13．100 [60+（）2017×80]．
14．
15．或．
16．（1）等边三角形，如图2，理由如下：
根据题意，得：
同理，
∴
∴是等边三角形；
（2）如图3
在中，由三角形内角和定理，得
设
在和中，由三角形内角和定理，得：
，
在中，由三角形内角和定理，得：，即
解得
∴，
∴，同理∠DEF=，∠DFE=
∴∠DEF=，∠DFE=，∠EDF=；
（3）如图1
①在和中，由三角形内角和定理，得：
，
∵
∴
解得
∴，，；
②在直角三角形中，不存在反射三角形
当时，，得到
∴在直角三角形中，不存在反射三角形
在钝角三角形中，不存在反射三角形
当时，，得到
∴在钝角三角形中，不存在反射三角形．
17．解：（1）如图1中，
，，，
；
（2）①如图2中，
设，，
则有，
，
；
②设，，
则有，
，
；
（3）①如图3中，设，．
则有，
，
；
故答案为：；
②设，．
则有，
；
（4）如图4中，设，，则，，
则有，
，
，
故答案为．
（5）如图5中，延长交于，设，．
则有，
，
，
．
故答案为．
18．解：[经验发展]如图1，过作于，
，，
，即．
[结论应用]如图2，连接，
，
，
又，
，
，
又的面积为1，
的面积12．
[拓展延伸]如图3，是上任意一点，
，
是上任意一点，
，，
，
即．
[迁移应用]如图4，连接，
是的三等分点，
，
是的中点，
，
设，则，，，
，，
．
故答案为：．
19．解：（1）∵AB∥CD
∴∠KEH=∠AFH
∵∠AHE=∠AFH+∠FAH
∴∠AHE=∠KEH+∠FAH
故答案为： ∠AHE=∠KEH+∠FAH
（2）设∠BEF=x
∵∠BEF= ∠BAK，∠BEC=2∠BEF
∴∠BAK=∠BEC=2x
∵AK平分∠BAG
∴∠BAK=∠KAG=2x
由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x
∵AG⊥BE
∴∠G=90°
∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°
∴x=15°
∴∠AHE=5x=75°；
（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°
①当KH∥NG时
5°×t=60°-30°=30°
∴t=6
②当KE∥GN时
5°×t=60°
∴t=12
③当HE∥GN时
5°×t=45°+60°=105°
∴t=21
④当HK∥EG时，
5°×t=180°-30°-30°=120°
∴t=24
⑤当HK∥EN时，5t=150°
∴t=30
综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．
20．解：（1）∵∠BAD=∠ADC，
∴m∥n，
∴∠ABC=∠BCD；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠DEB=90°，
∵∠BAD与∠DEB的角平分线相交于点P，
∴∠DEP=∠BEP=∠DEB=45°，
∠BAP=∠PAD=∠BAD=α，
∵m∥n，
∴∠ABC=∠BCD=β，
设AP，BC交于N，
∵∠ANC=∠BAP+∠ABC=∠P+∠BEP，
∴α+β=∠P+45°，
∴∠P=α+β-45°；
（3）若点A在点B左侧，由（2）得：
∠APE=α+β-45°；
若点A在点B右侧，延长EP，交AD于Q，
∴∠APE=∠PAQ+∠AQP，
∵AP平分∠BAD，
∴∠PAQ=α，
由（2）得∠BEP=∠DEP=45°，
∴∠AQP=∠DEP+∠ADE=45°+∠ADE，
而∠EDC=90°-∠BCD=90°-β，
∴∠ADE=180°-（90°-β）-α=90°+β-α，
∴∠AQP=45°+90°+β-α，
∴∠APE=∠PAQ+∠AQP=α+45°+90°+β-α=135°+β-α.
21．（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．
∴∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC、∠PCB＝∠ACB、∠QCB＝∠BCE，
∵∠ABC+∠DBC＝180°、∠ACB+∠BCE＝180°，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，
∠PCQ＝∠PCB+∠QCB＝（∠ACB+∠BCE）＝90°，
故答案为：90°、90°；
（2）∵∠PBC＝∠ABC、∠PCB＝∠ACB，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝180°﹣（180°﹣70°）
＝125°；
∵∠QBC＝∠ABC、∠QCB＝∠ACB，
∴∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB
＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝（180°﹣70°）
＝55°．
（3）与（2）同理知∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α，
∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣α，
故答案为：90°+α、90°﹣α．
22．（1）如图1，①∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：
同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO
＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．
（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，
∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，
又∵∠BOA＝90°，
∴∠GAO＞90°，
①∵∠E＝∠EAF＝30°，
∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，
∴∠OAE＝15°，
∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）
∴∠ABO＝60°．
②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°
∴∠E+∠F=90°
∴∠E=22.5°
∴∠EFA=90-22.5°=67.5°
∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，
∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°
∴∠ABO=90°-45°=45°
23．证明：∵∠1＝∠2
∴DM∥BC
∴∠B＝∠ADM，∠MDE＝∠BED．
又∵∠DEC＝∠B+∠BDE=∠1+∠DEM
∴∠DEC＝∠ADM+∠BDE
又∵∠EDM＝∠ADM
∴∠DEC＝∠EDB+∠MDE
∴∠B+∠DEC=∠ADM +∠EDB+∠MDE =180°
一、选择题
1．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．0
2．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5B．6或4C．5或7D．5或6或7
3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=( )
A．180°B．360°C．540°D．720°
4．如图，中，点、、分别在三边上，、、交于一点，，，，则（ ）
A．B．
C．40D．41
5．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（ ）
A．5°B．13°C．15°D．20°
6．如图，△ABC的面积为30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，则图中四边形EDCF的面积等于（ ）
A．8.5B．8C．9.5D．9
7．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
8．如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．28C．35D．30
9．如图，△ABC的面积为．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少次操作（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题
11．如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______．
12．如图，在中，，分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点，则____度；分别作与的平分线，且两条角平分线交于点，则______度．
13．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC＝140°，其中O1B平分∠ABO，O1C平分∠ACO，O2B平分∠ABO1，O2C平分∠ACO1，…，OnB平分∠ABOn﹣1，OnC平分∠ACOn﹣1，…，以此类推，则∠BO1C＝_____°，∠BO2017C＝_____°．
14．如图，BD是△ABC边AC的中线，点E在BC上，BE=EC，△AED的面积是3，则△BED的面积是_______________．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=（20°<<120°），AE平分△ABC的外角∠BAD，CF将∠ACB分成1：2两部分．若AE、CF交于点G，则∠AGC的度数为_________（用含的代数式表示）．
三、解答题
16．如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形．
（1）如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形．
（2）如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数．
（3）利用图1探究：
①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系．
②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由．
17．（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明．
（简单应用）（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，、分别平分、，
①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
（问题探究）
（3）如图3，直线平分的外角，平分的邻补角，
①若，，则的度数为______；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为______．（用、的代数式表示）
（5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论______．
18．（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分
（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：
（结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积；
（拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：
（迁移应用）（4）如图4，中，是的三等分点，是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积_________________
19．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．
（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；
（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．
20．已知A，B两点在直线m上，C，D两点在直线n上，∠BAD=α，∠BCD=β．
（1）如图1，若∠BAD=∠ADC，求证∠ABC=∠BCD．
（2）如图2，m∥n，过点D作DE⊥BC于点E，∠BAD与∠DEB的角平分线相交于点P，求∠P（用α，β的式子表示）
（3）在（2）的条件下，若点A沿直线m向右运动，且不与B点重合，则∠APE= （用α，β的式子表示，不写证明过程）．
21．如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．
（1）∠PBQ的度数是 ，∠PCQ的度数是 ；
（2）若∠A＝70°，求∠P和∠Q的度数；
（3）若∠A＝α，则∠P＝ ，∠Q＝ （用含α的代数式表示）．
22．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
23．已知：如图，点D，E，F分别在线段AB，BC，AC上，连接DE、EF，DM平分∠ADE交EF于点M，∠1＝∠2．求证：∠B+∠DEC=180°．
【参考答案】
1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．D 9．A 10．D
11．
12．45 67.5
13．100 [60+（）2017×80]．
14．
15．或．
16．（1）等边三角形，如图2，理由如下：
根据题意，得：
同理，
∴
∴是等边三角形；
（2）如图3
在中，由三角形内角和定理，得
设
在和中，由三角形内角和定理，得：
，
在中，由三角形内角和定理，得：，即
解得
∴，
∴，同理∠DEF=，∠DFE=
∴∠DEF=，∠DFE=，∠EDF=；
（3）如图1
①在和中，由三角形内角和定理，得：
，
∵
∴
解得
∴，，；
②在直角三角形中，不存在反射三角形
当时，，得到
∴在直角三角形中，不存在反射三角形
在钝角三角形中，不存在反射三角形
当时，，得到
∴在钝角三角形中，不存在反射三角形．
17．解：（1）如图1中，
，，，
；
（2）①如图2中，
设，，
则有，
，
；
②设，，
则有，
，
；
（3）①如图3中，设，．
则有，
，
；
故答案为：；
②设，．
则有，
；
（4）如图4中，设，，则，，
则有，
，
，
故答案为．
（5）如图5中，延长交于，设，．
则有，
，
，
．
故答案为．
18．解：[经验发展]如图1，过作于，
，，
，即．
[结论应用]如图2，连接，
，
，
又，
，
，
又的面积为1，
的面积12．
[拓展延伸]如图3，是上任意一点，
，
是上任意一点，
，，
，
即．
[迁移应用]如图4，连接，
是的三等分点，
，
是的中点，
，
设，则，，，
，，
．
故答案为：．
19．解：（1）∵AB∥CD
∴∠KEH=∠AFH
∵∠AHE=∠AFH+∠FAH
∴∠AHE=∠KEH+∠FAH
故答案为： ∠AHE=∠KEH+∠FAH
（2）设∠BEF=x
∵∠BEF= ∠BAK，∠BEC=2∠BEF
∴∠BAK=∠BEC=2x
∵AK平分∠BAG
∴∠BAK=∠KAG=2x
由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x
∵AG⊥BE
∴∠G=90°
∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°
∴x=15°
∴∠AHE=5x=75°；
（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°
①当KH∥NG时
5°×t=60°-30°=30°
∴t=6
②当KE∥GN时
5°×t=60°
∴t=12
③当HE∥GN时
5°×t=45°+60°=105°
∴t=21
④当HK∥EG时，
5°×t=180°-30°-30°=120°
∴t=24
⑤当HK∥EN时，5t=150°
∴t=30
综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．
20．解：（1）∵∠BAD=∠ADC，
∴m∥n，
∴∠ABC=∠BCD；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠DEB=90°，
∵∠BAD与∠DEB的角平分线相交于点P，
∴∠DEP=∠BEP=∠DEB=45°，
∠BAP=∠PAD=∠BAD=α，
∵m∥n，
∴∠ABC=∠BCD=β，
设AP，BC交于N，
∵∠ANC=∠BAP+∠ABC=∠P+∠BEP，
∴α+β=∠P+45°，
∴∠P=α+β-45°；
（3）若点A在点B左侧，由（2）得：
∠APE=α+β-45°；
若点A在点B右侧，延长EP，交AD于Q，
∴∠APE=∠PAQ+∠AQP，
∵AP平分∠BAD，
∴∠PAQ=α，
由（2）得∠BEP=∠DEP=45°，
∴∠AQP=∠DEP+∠ADE=45°+∠ADE，
而∠EDC=90°-∠BCD=90°-β，
∴∠ADE=180°-（90°-β）-α=90°+β-α，
∴∠AQP=45°+90°+β-α，
∴∠APE=∠PAQ+∠AQP=α+45°+90°+β-α=135°+β-α.
21．（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．
∴∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC、∠PCB＝∠ACB、∠QCB＝∠BCE，
∵∠ABC+∠DBC＝180°、∠ACB+∠BCE＝180°，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，
∠PCQ＝∠PCB+∠QCB＝（∠ACB+∠BCE）＝90°，
故答案为：90°、90°；
（2）∵∠PBC＝∠ABC、∠PCB＝∠ACB，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝180°﹣（180°﹣70°）
＝125°；
∵∠QBC＝∠ABC、∠QCB＝∠ACB，
∴∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB
＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝（180°﹣70°）
＝55°．
（3）与（2）同理知∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α，
∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣α，
故答案为：90°+α、90°﹣α．
22．（1）如图1，①∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：
同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO
＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．
（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，
∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，
又∵∠BOA＝90°，
∴∠GAO＞90°，
①∵∠E＝∠EAF＝30°，
∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，
∴∠OAE＝15°，
∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）
∴∠ABO＝60°．
②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°
∴∠E+∠F=90°
∴∠E=22.5°
∴∠EFA=90-22.5°=67.5°
∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，
∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°
∴∠ABO=90°-45°=45°
23．证明：∵∠1＝∠2
∴DM∥BC
∴∠B＝∠ADM，∠MDE＝∠BED．
又∵∠DEC＝∠B+∠BDE=∠1+∠DEM
∴∠DEC＝∠ADM+∠BDE
又∵∠EDM＝∠ADM
∴∠DEC＝∠EDB+∠MDE
∴∠B+∠DEC=∠ADM +∠EDB+∠MDE =180°
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