安徽肥东县高级中学2021届高三上学期期中考试 数学（文） (含答案)

肥东县高级中学2021届高三上学期期中考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，若，则的值不可能为

A. B. C. D.3

2.若直线，．，与平行，则下列选项中正确的

A.p是q的必要非充分条件 B.q是p的充分非必要条件

C.p是q的充分非必要条件 D.q是p的非充分也非必要条件

3.设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是

A. B.或1 C.1 D.或2

4.当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象，在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约25%，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院，已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者，若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑”现象，只需要约

参考数据：.

A.7天 B.10天 C.13天 D.16天

5.已知函数的图象经过点，且将图象向左平移个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的，都有成立，则实数的最大值是

A. B. C. D.

6.已知平面向量，的夹角为，且，，若对任意的正实数，的最小值为，则

A. B. C. D.0

7.函数的图象大致为

A. B.

C. D.

8.偶函数对于任意实数，都有成立，并且当时，，则

A. B. C. D.

9.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置.若初始位置为，当秒针从（注此时）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为

A. B.

C. D.

10.已知函数的图像关于原点对称，对于任意的，，.若，则的最大值为

A. B.9 C.5 D.6

11.已知实数，满足，则的最大值是

A. B. C.4 D.

12.已知函数

命题①：对任意的是函数的零点；

命题②：对任意的是函数的极值点.

A.命题①和②都成立 B.命题①和②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立 D.命题①不成立，命题②成立

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最大值是____.

14.记数列的前项和为，已知，且．若对任意的，都有，则实数的取值范围为______．

15.奇函数满足，当时，，若，则___________.

16.已知关于x的方程有2个不相等的实数根，则k的取值范围是___________．

三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.

17.已知的内角，，的对边分别是，，，且.

（1）求角；

（2）若，，求的面积.

18.已知向量，其中，且

（1）若向量在向量方向上的投影不小于，求正数的最小值；

（2）若函数在上有零点，求的取值范围.

19.二次函数满足，且，

（1）求的解析式；

（2）在区间上的图象恒在图象的上方，试确定实数的范围．

20.等差数列的前项和为，，其中，，成等比数列，且数列为非常数数列.

（1）求数列通项；

（2）设，的前项和记为，求证：.

21.已知函数，.

（1）求函数在上的最值；

（2）若对，总有成立，求实数的取值范围.

22.漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚0.5元；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资．

（Ⅰ）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量（单位：粒， ）的函数解析式；

（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量（单位：粒），整理得下表：

以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．

（ⅰ）求该雕刻师这10天的平均收入；　

（ⅱ）求该雕刻师当天的收入不低于300元的概率.

参考答案

1.A

【解析】求出或，利用，得.

集合，或，

，

，

的值不可能为.故选：A.

2.C

【解析】根据与平行，得到或，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解.

因为与平行，所以或.

经检验，当或时，两直线平行.

设，或，

因为,

所以p是q的充分非必要条件.故选：C.

3.B

【解析】由题意结合导数可得函数的图象，数形结合可知，转化条件为在内有两个不等的实根，由二次函数的图象与性质即可得解.

当时，，则，

由得，即时，单调递减，

由得，即时，单调递增，

当时，取得极小值，，

作出的图象如图：

由图象可知当时，有三个不同的x与对应，

设，方程有六个不等的实数根，

所以在内有两个不等的实根，

设，

所以，

则实数a可能是或1.故选：B．

4.C

【解析】利用数列表示出题目的已知条件，由可求得的最小值，从而求得发生“医疗资源挤兑”现象的时间.

设，，，，即，.则，，即数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以. 令，化简得，根据参考数据可知时，发生“医疗资源挤兑”现象.故选：C

5.A

【解析】将点代入解析式，求出，然后再利用三角函数的平移变换求出，再由，结合正弦函数的性质即可求解.

函数的图象经过点，

可得，解得，

函数的图象向左平移

个长度单位可得，

根据两函数的图象重合，可知，

解得，

又因为，所以，

对任意的，都有成立，

则，

由，则，

若要实数取最大值，由，

只需，

所以，解得，

所以实数的最大值是.故选：A

6.B

【解析】先计算的平方，得出关于的二次函数，根据二次函数的最值，可得选项.

因为，

当时，取得最小值3，所以（负值舍去），故选：B.

7.D

【解析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可.

解：由得，且，

当时，此时，排除B,C

函数的导数，

由得，即时函数单调递增，

由得且，即或时函数单调递减，故选：D

8.C

【解析】推导出函数是以为周期的周期函数，可得出，代值计算可求得结果.

由于函数为上的偶函数，则，，

所以，函数是以为周期的周期函数，

当时，，所以，.

故选：C.

9.C

【解析】时刻，经过的圆弧角度为，则以轴正方向为始边，所在射线为终边，对应的角度为，则对应的角度为，

由可知在单位圆上，所以时刻的纵坐标，故选C

10.A

【解析】由关于原点对称及可得是奇函数,且在上单调递增,则,即,再利用均值不等式求得最值即可.

由题意知是奇函数,且在上单调递增,

又,

,

,,

,即,当且仅当=3时取等号,

的最大值为,故选:A

11.A

【解析】根据不等式画出可行域，令，求在直线上的切点，从而求得的最大值.

画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，解： 得：，解：得：.

设直线与曲线相切于第一象限，切点为．由，得，所以，解得，且，即切点在可行域内，所以的最大值为.故选：A．

12.C

【解析】根据零点和极值点的定义对两个命题进行判断．

，，即，命题①正确．

对，是可导函数，且，时，，

由得，因此曲线是椭圆的上半部分（满足的部分），

由得，因此曲线是圆的上半圆（满足的部分），

点始终是两曲线公共点，圆的圆心是，半径是，

当正数接近于0时，圆在椭圆内部，当逐渐增大时，圆半径增大，圆与椭圆的位置关系由相切（圆在椭圆内部）演变为相交再变为相切（椭圆在圆内部），

（注意两个曲线不相同，不可以重合，所以中间经过相交过渡），

两曲线在点相切时，在处取得极值，当两曲线相交时，在处不是极值．所以命题②错误．故选：C．

13.

【解析】利用任意性与存在性原命题可转化为有且仅有一个解，然后根据三角函数的性质和图像求解即可.

由，，

则，存在唯一的实数，使，

即有且仅有一个解，

作函数图像与直线，

当两个图像只有一个交点时，由图可知，，

故实数的最大值是.

故答案为：

14.

【解析】在已知式中用代得另一等式，两式相减可证得数列是等差数列，由求出，得公差，从而可得通项公式和前项和，令，求出后确定数列的最大值，得的取值范围．

依题意，，则，两式相减，可得，所以为等差数列，由，得，又，解得，所以，则,∴，令，，当时，，数列单调递减，而，，，故．

故答案为：．

15.

【解析】推导出函数是以为周期的奇函数，由可求得的值，由此可计算出的值.

由于函数为奇函数，且，即，

，所以，函数是以为周期的奇函数，

，解得.

，.

因此，.故答案为：.

16.

【解析】把关于x的方程有2个不相等的实数根，转化为与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解.

由题意，关于x的方程有2个不相等的实数根，

即函数与函数的图象有两个不同的交点，

设，则，令，解得，

所以函数的减区间为，增区间为，

所以函数的最小值为，

且当时，，当时，，

要使得有2个不相等的实数根，所以．

即实数的取值范围是.

故答案为：.

17.（1），（2）.

【解析】（1）根据正弦定理可得，再利用两角差的余弦公式变形可得，可得；

（2）根据正弦定理求出，根据诱导公式和两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式求出面积.

（1）因为，所以，

所以，所以，

所以，因为，所以.

（2）因为，所以，

由正弦定理得，

所以，

所以的面积为.

18.(1) ;(2)

【解析】解析：

（1）向量在向量方向上的投影

∵，∴∵，

即正数的最小值为；

(2) ，

∴，令，

在上递增，

∴，即，∴

19.（1） （2）

【解析】（1）设，代入，待定系数即得解；

（2）转换的图象恒在图象上方为，令，转化为二次函数在定区间的最小值即得解.

（1）由题设

∵ 　

∴　又

∴

∴

∴ 　∴

∴

（2）当时，的图象恒在图象上方

∴ 时恒成立，即恒成立

令，

时，

故只要即可，

实数的范围

20.（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为，，成等比数列，

由所以，

即，

解得得或（舍去），

所以.

（2）由（1）知：，

，

，

.

21.（1），；（2）.

【解析】（1），则，令，解得.

当时，；当时，.

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.

又，，所以，.

因此，，；

（2）因为，，等价于，

令，

因为，总有成立，

所以，函数在上单调递增.

问题化为对恒成立，即对恒成立.

令，则.

由得，.

当时，，函数递增，当时，，函数递减.

所以，，.

因此，实数的取值范围是：.

22.（1）（2）（ⅰ）309.1元；（2）0.7

【解析】（I）依题意得：

当时， ，

当时， ，

所以．

（II）（ⅰ）由（I）得

所以该雕刻师这10天的平均收入为

（元）

（ⅱ）该雕刻师当天收入不低于300元的雕刻量有250，270，和300.

概率分别是0.3，0.3和0.1.

所以该雕刻师当天收入不低于300元的概率为.