安徽适东县高级中学2021届高三上学期期中考试 数学（理） (含答案)

肥东县高级中学2021届高三上学期期中考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T等于
A． (－2,1] B． (－∞，－4] C． (－∞，1] D． [1，＋∞)
2.下列命题正确的是
A． 若x＝3，则x2－2x－3＝0的否命题是：若x≠3，则x2－2x－3≠0
B． ∃x0∈R，使得－1＜0的否定是：∀x∈R，均有x2－1＜0
C． 存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题
D． 若cosx＝cosy，则x＝y的逆否命题是真命题
3.已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)＜0恒成立，则当x＞3时，x2＋y2的取值范围是
A． (3,7) B． (9,25) C． (13,49) D． (9,49)
4.已知函数f(x)＝ln(x－2)－，(a为常数，且a≠0)，若f(x)在x0处取得极值，且x0∈[e＋2，e2＋2]，而f(x)≥0在[e＋2，e2＋2]上恒成立，则a的取值范围是
A．a≥e4＋2e2 B．a＞e4＋2e2 C． .a≥e2＋2e D．a＞e2＋2e
5.已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为
A． B． C． D．
6.如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与点Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则


A． {Sn}是等差数列 B． {}是等差数列
C． {dn}是等差数列 D． {}是等差数列
7.若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0等于
A． B． C． D．
8.若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25, 则f(x)可以是
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln
9.已知f(x)＝2－|x|，则dx等于
A． 3 B． 4 C． 3.5 D． 4.5
10.设函数f(x)＝若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，则F(x)的值域为
A． (－∞，1] B． [2，＋∞)
C． (－∞，1]∪[2，＋∞) D． (－∞，1)∪(2，＋∞)
11.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为，则a等于
A． B． C． 1 D． 2
12.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为
A． {x|x>0} B． {x|x<0} C． {x|x<－1或x>1} D． {x|x<－1或0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β＝________.
14.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
15.已知等差数列{an}的前三项为a,4,3a，其前n项和为Sn，则＋＋…＋＝________.
16.如图，边长为a＋b＋1(a>0，b>0)的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则＋＋的最小值是________．

三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.
17.（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应分别是a，b，c，c＝2，sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB.
(1)若sinC＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积；
(2)求AB边上的中线长的取值范围．
18.（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t).
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsinθ取最大值4时，求·.
19.（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n＋1，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝－，记数列的前n项和为Tn.求证：Tn＜，n∈N*.
20.（12分）已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围；
(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．
21.（12分）设函数f(x)＝lnx＋在内有极值．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)．求证：f(x2)－f(x1)>e＋2－.注：e是自然对数的底数．
22.（10分）如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tanθ＝t.

(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；
(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？

理 科 数 学
参考答案
题号
1
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8
9
10
11
12
答案
C
A
C
B
C
A
A
A
C
C
A
A
1.【答案】C
【解析】T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，S＝{x|x>－2}，∁RS＝{x|x≤－2}．
∴(∁RS)∪T＝{x|x≤1}＝(－∞，1]．故选C.
2.【答案】A
【解析】对于A：若x＝3，则x2－2x－3＝0的否命题是：若x≠3，则x2－2x－3≠0，故A正确．
3.【答案】C
【解析】函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数y＝f(x)关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，且在R上是增函数，故有f(x2－6x＋21)＜－f(y2－8y)恒成立，即f(x2－6x＋21)＜f(－y2＋8y)恒成立，即(x－3)2＋(y－4)2＜4恒成立，故以(x，y)为坐标的点在以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内，且直线x＝3右边的部分，而x2＋y2的几何意义恰好是圆内的点到原点(0,0)的距离的平方，故最大值是原点到圆心的距离加上半径的长的平方49，最小值是原点到(3,2)的距离的平方13，故选C.

4.【答案】B
【解析】f′(x)＝－，令f′(x)＝0，可得x0＝1±，
∴函数在(－∞，1－)上单调递减，在(1－，1＋)上单调递增，在(1＋，＋∞)上单调递减．
∵f(x)在x0处取得极值，且x0∉[e＋2，e2＋2]，
∴函数在区间[e＋2，e2＋2]上是单调函数．
∴或∴a＞e4＋2e2，
∴a的取值范围是a＞e4＋2e2.
5.【答案】C
【解析】因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，
所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.
又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝，
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
6.【答案】A
【解析】作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.
设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，
则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，
∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，
∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，
∴数列{Sn}是等差数列，故选A.
7.【答案】A
【解析】由题意得＝，T＝π，ω＝2.
又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－(k∈Z)，
而x0∈，所以x0＝.
8.【答案】A
【解析】f(x)＝4x－1的零点为x＝，f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1，
f(x)＝ex－1的零点为x＝0，f(x)＝ln的零点为x＝.
现在我们来估算g(x)＝4x＋2x－2的零点，
因为g(0)＝－1，g＝1，所以g(x)的零点x∈，
又函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，
只有f(x)＝4x－1的零点适合，故选A.
9.【答案】C
【解析】f(x)＝2－|x|＝dx＝dx＋dx＝dx＋dx＝＋＝3.5.
10.【答案】C
【解析】当x＞0时，F(x)＝＋x≥2；
当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，
F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．
11.【答案】A
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示．
由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，
平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小．
由解得即A(1，－)，
∵点A也在直线y＝a(x－3)上，∴－＝a(1－3)＝－2a，解得a＝.

12.【答案】A
【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，
因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，
所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．
又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，
解得x>0.故选A.
13.【答案】－
【解析】因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝<1，
所以0<α<，
又因为tan 2α＝＝＝<1，
所以0<2α<，
所以tan(2α－β)＝＝＝1.
因为0<β<π，所以－π<2α－β<，所以2α－β＝－.
14.【答案】
【解析】a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9，
b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8，
a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，
∴cosβ＝＝＝.
15.【答案】
【解析】∵等差数列{an}的前三项为a,4,3a，∴a＋3a＝2×4，解得a＝2，
∴等差数列{an}的首项为2，公差为2，
∴Sn＝na1＋＝2n＋n(n－1)＝n(n＋1)，∴＝＝－，
∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.
16.【答案】2
【解析】由图示可得＋＋＝＋＋＝＋，
当a＋b≥ab＋1时，即有原式≥＋＝，
由－2＝＝≥0，
可得原式≥2，当且仅当a＝b＝1时，取得等号；
当a＋b＋＝≥＝2.
综上可得，＋＋的最小值是2.
17.【答案】(1)由sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB，
利用正弦定理化简得：a2＋b2－c2＝ab，
∴cosC＝＝＝，即C＝，
∵sinC＋sin(B－A)＝sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，
∴sinBcosA＝2sinAcosA，
当cosA＝0，即A＝，此时S△ABC＝；
当cosA≠0，得到sinB＝2sinA，利用正弦定理得b＝2a，此时S△ABC＝.
即△ABC的面积为.
(2)设AB边的中点为D，
∵＝(＋)，∴|CD|2＝＝，
∵cosC＝，c＝2，∴由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即a2＋b2－ab＝4，
∴|CD|2＝＝＞1，且|CD|2＝≤3，
则CD的范围为(1，]．
18.【答案】(1)由题设知＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24,8)或＝(－8，－8).
(2)由题设知＝(ksinθ－8，t)，
∵与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，
tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2k(sinθ－)2＋.
∵k>4，∴0＜＜1，∴当sinθ＝时，tsinθ取得最大值.
由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4,8).
∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.
19.【答案】(1)解　由S1＝2a1－21＋1，得a1＝4，
由Sn＝2an－2n＋1，Sn－1＝2an－1－2n(n≥2)，
两式相减，得an＝2an－2an－1－2n，
即an－2an－1＝2n，∴－＝1，∴是以1为公差的等差数列，
∵＝2，∴＝2＋(n－1)＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n，n∈N*；
(2)证明　bn＝2n－，Tn＝＋＋…＋.
∵2n－＝2＞2，∴bn＞2bn－1，∴＜·(n≥2)．
当n≥2时，Tn＝＋＋…＋＜＋＜＋Tn，∴Tn＜＝.
当n＝1时，T1＝＝＜.
综上，Tn＜.
20.【答案】(1)∃x∈R，f(x)＜bg(x)⇒∃x∈R，
x2－bx＋b＜0⇒(－b)2－4b＞0⇒b＜0或b＞4.
故实数b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．
(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.
①当Δ≤0，即－≤m≤时，
则必需⇒－≤m≤0.
②当Δ＞0，即m＜－或m＞时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1＜x2)．
若≥1，则x1≤0，即⇒m≥2；
若≤0，则x2≤0，即⇒－1≤m≤－.
综上所述，实数m的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．
21.【答案】(1)解　易知函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，
f′(x)＝－＝＝.
由函数f(x)在内有极值，可知方程f′(x)＝0在内有解，
令g(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－α)(x－β)．
不妨设0<α<，则β>e，
又g(0)＝1>0，所以g＝－＋1<0，解得a>e＋－2.
(2)证明　由(1)知，f′(x)>0⇔0β，f′(x)<0⇔α 所以函数f(x)在(0，α)，(β，＋∞)上单调递增，在(α，1)，(1，β)上单调递减．
由x1∈(0,1)，得f(x1)≤f(α)＝lnα＋，
由x2∈(1，＋∞)，得f(x2)≥f(β)＝lnβ＋，所以f(x2)－f(x1)≥f(β)－f(α)．
由(1)易知，α·β＝1，α＋β＝a＋2，
所以f(β)－f(α)＝lnβ－ln＋a＝2lnβ＋a·＝2lnβ＋a·＝2lnβ＋β－.
记h(β)＝2lnβ＋β－(β>e)，则h′(β)＝＋1＋＝2>0，
所以函数h(β)在(e，＋∞)上单调递增，所以f(x2)－f(x1)≥h(β)>h(e)＝2＋e－.
22.【答案】(1)由题意得BP＝t，CP＝1－t,0≤t≤1.
∠DAQ＝45°－θ，DQ＝tan(45°－θ)＝，CQ＝1－＝，
所以PQ＝＝＝，
所以l＝CP＋CQ＋PQ＝1－t＋＋＝1－t＋1＋t＝2，是定值．
(2)S＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADQ＝1－t－·＝2－[(1＋t)＋]．
因为1＋t>0，所以S≤2－2＝2－，
当且仅当(1＋t)＝，即t＝－1时取等号．
所以探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为(2－)平方百米．