专题10：2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈椭圆的定义与标准方程解析版

             椭圆的定义与方程     

一、椭圆的定义

1、设定点、，动点满足，则点的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段

答案： D

解析： 详解：当时，由均值不等式的结论有：，当且仅当时等号成立.

当时，点的轨迹表示线段,

当时，点的轨迹表示以为焦点的椭圆,

本题选择D选项.

点睛：椭圆定义中的常数必须大于，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.

2、Q是椭圆上一点，为左、右焦点，过F1作外角平分线的垂线交的延长线于点，当点在椭圆上运动时，点的轨迹是（     ）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

答案： B

解析： 设从引的外角平分线的垂线，垂足为，中，是的平分线，，可得，根据椭圆的定义，可得，即动点到点的距离为定值，因此,点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，故选B.

3、椭圆上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于（    ）

A．2 B．4 C．6 D．1.5

答案： B

解析： 先利用椭圆定义得到，再利用中位线定理得|ON|即可.

详解：设椭圆另一焦点为,根据椭圆定义，故，

中N是MF1的中点，O是的中点，故ON是中位线，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查了椭圆定义的应用，属于基础题.

4、已知点，椭圆与直线交于点A，B，则的周长为（    ）

A． B．8 C．4 D．

答案： B

解析： 根据椭圆的性质确定与是椭圆的焦点，再由椭圆的定义得出的周长.

详解：设椭圆的左焦点为F，由题意得与是椭圆的焦点，则直线过椭圆的左焦点，且

的周长等于.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了椭圆的基本性质以及定义的应用，属于中档题.

5、设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，则的值为（    ）

A．7 B．10 C．12 D．15

答案： D

解析： 设和的夹角为，因为，所以，利用余弦定理可以求出.

详解：由椭圆标准方程知，，,

当点P为椭圆的左、右顶点时（不妨令P为右顶点），

，

则，故点P不为椭圆的左、右顶点，

设和的夹角为，因为，

所以，

在中，由余弦定理得，

即，

即，所以.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义及性质、平面向量数量积公式及余弦定理.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题的解答就是综合考虑椭圆的定义、几何性质以及余弦定理解答的

6、点是椭圆的左焦点，点是椭圆上一动点，则的最大值是___________．

答案：

解析： 首先将椭圆方程变形为标准式，利用椭圆定义将求的最大值转化为求的最大值问题即可.

详解：将变形为，设为椭圆的右焦点，则,由椭圆定义知,当且仅当为的延长线与椭圆的交点时取等号.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义，利用转化思想将动点到两定点的距离之和的最大值转化为动点到两定点的距离之差的最大值，属于基础题.

7、设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为（    ）

A．9,12 B．8,11 C．10,12 D．8,12

答案： D

解析： 椭圆的焦点恰好是两圆的圆心，利用椭圆的定义先求出点P到两焦点的距离|PF1|+|PF2|，然后|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成|PF1|+|PF2|减去两个半径和加上两个半径．

详解：∵两圆圆心F1（﹣4，0），F2（4，0）恰好是椭圆的焦点，

∴|PF1|+|PF2|＝10，两圆的半径r＝1，

∴（|PM|+|PN|）min＝|PF1|+|PF2|﹣2r＝10﹣2＝8.

（|PM|+|PN|）max＝|PF1|+|PF2|+2r＝10+2＝12.

故选D．

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义，解决本题的关键是把|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成与两圆的半径差与和问题．

8、（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（    ）

A．7 B．10 C．17 D．19

答案： ABC

解析： 右焦点为，求出的范围，利用椭圆定义，从而可得出的取值范围，可判断各选项．

详解：由题意可得，则，故．因为点P在椭圆E上，所以，所以，故，由于，所以，故的可能取值为7，10，17.

故选：ABC．

【点睛】

本题考查椭圆的定义，在涉及到椭圆上点到一个的焦点的距离时，可利用椭圆定义转化为到另一焦点的距离，从而得出相应范围．

9、（多选）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（    ）

A．的最大值大于3

B．的最大值为4

C．的最大值为60°

D．若动直线垂直于轴，且交椭圆于两点，为上满足的点，则点的轨迹方程为或

答案： BCD

解析： 由椭圆，可得，，，左、右焦点分别为，．

对于A，，即可判断出正误；

对于B，由，即可判断出正误．

对于C，当点取短轴的一个端点时，取得最大值，取，则，求出即可判断出正误．

对于D，设，，，，，由，可得，即，又，代入即可判断出正误．

详解：由椭圆方程得，

因此．

选项A中，，A错误；

选项B中，，当且仅当时取等号，B正确；

选项C中，当点为短轴的端点时，取得最大值，取，则，

的最大值为60°，C正确；

选项D中，设．

，

，即或．

又由题意知，

或，

化简得或，D正确．

故选：BCD．

【点睛】

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

一、椭圆的标准方程

1、焦点在轴上，长、短半轴长之和为，焦距为，则椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

答案： A

解析： 根据题意可得出关于、、的方程组，解出、的值，由此可求得椭圆的标准方程.

详解：由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为.

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求解，考查计算能力，属于基础题.

2、设椭圆长轴两端点为、，为椭圆上与、不重合的点，则与斜率之积为（    ）

A． B． C． D．

答案： A

解析： 求出点坐标，设出点坐标，直接计算，化简即得．

详解：由题意，设，则，，

∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，属于基础题．

3、“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（    ）

A．“” B．“”

C．“” D．“”且“”

答案： C

解析： 由椭圆的定义可列出满足的不等式组，从而求出的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件．

详解：因为方程的曲线是椭圆，

则由椭圆的定义可知：，解得：且，

所以“方程的曲线是椭圆”的充要条件为“且”，

“”推不出“且”，反之可推出，

所以“”是方程“的曲线是椭圆”的必要不充分条件．

所以“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“”．

故选：C．

【点睛】

本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.

4、在平面直角坐标系中，“”是“方程表示椭圆”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要“既不充分也不必要”）

答案： 必要不充分

解析： 根据充分条件和必要条件定义，即可求得答案.

详解：当时，表示的是圆，

“”不能推出方程表示椭圆

故“”是“方程表示椭圆”的不充分条件；

方程表示椭圆，则，

“”是“方程表示椭圆”的必要条件

综上所述，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分

故答案为：必要不充分.

【点睛】

解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义，及其椭圆定义，考查了分析能力和推理能力，属于基础题.

5、如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程是____．

答案：

解析： 设这条弦的两个端点分别为、，利用点差法可求得直线的斜率，再由点斜式可得出这条弦所在直线的方程.

详解：设这条弦的两个端点分别为、，则，得，

由于点、均在椭圆上，则，

两式相减得，可得，即，

所以，直线的斜率为，

因此，这条弦所在直线的方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，考查点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.

6、方程（，且）与方程表示的椭圆，那么它们（    ）

A．有相同的离心率 B．有共同的焦点

C．有等长的短轴、长轴 D．有相同的顶点

答案： A

解析： 求出两椭圆的离心率、焦点和顶点坐标以及短轴、长轴长，由此可得出合适的选项.

详解：对于椭圆（，且），，，，

则椭圆的离心率为，焦点坐标为，短轴长为，长轴长为，顶点坐标为和；

对于椭圆，离心率为，焦点坐标为，

短轴长为，长轴长为，顶点坐标为和.

因此，两椭圆有相同的离心率.

故选：A.

【点睛】

本题考查两椭圆离心率、焦点坐标、长轴长、短轴长以及顶点坐标的异同，考查计算能力，属于基础题.

二、轨迹方程

1、已知的两个顶点分别为的周长为18，则点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

答案： A

解析： 根据，利用椭圆的定义得到点的轨迹是以为焦点的椭圆求解.

详解：由题意得，

所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，

设其标准方程为，则，从而．

又三点不共线，

∴点不在轴上，

点的轨迹方程为．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义求方程，属于基础题.

2、一动圆过定点，且与定圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是_____________．

答案： ．

解析： 由两圆内切得出圆心距为半径之差，结合动圆过点，从而得，知轨迹为椭圆，根据椭圆的标准方程可得结论．

详解：圆的方程化为标准形式为，圆心，其半径为6.

设动圆圆心的坐标为， 半径为，

由题意，又，所以，即，所以由椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，线段的中点为中心的椭圆．设椭圆的方程为，则，所以所求圆心的轨迹方程是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求动点轨迹方程，解题关键是掌握椭圆的定义，根据两圆内切得出动圆圆心轨迹是椭圆，由椭圆标准方程得出结论．

3、已知两点、，直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为________.

答案：

解析： 设点，利用斜率公式结合题中条件得出等式，化简即可.

详解：设点，由直线、的斜率之积为，

整理得，即，

因此，点的轨迹方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，在涉及几何要素的关系时，一般设动点坐标为，根据题中条件列等式，化简计算即可得解，但同时要注意变量范围的求解，考查计算能力，属于基础题.

4、点是圆内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，如图，则圆心M的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

答案： B

解析： 求得圆的圆心，根据为定值判断出的轨迹是椭圆，并根据已知条件求得的轨迹方程.

详解：圆可化为，所以圆心为，半径，则.由于动圆M与已知圆相切，且过点P，所以，所以的轨迹是椭圆，且，所以的轨迹方程为.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查椭圆的定义和标准方程，属于基础题.

5、已知圆．

（1）求过点的圆C的切线的方程；

（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹．

答案： （1），（2）

试题分析：【详解】

（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为，

即；

由得，解得，

从而所求的切线方程为，．

（2）

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|．

又

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆．

且椭圆长轴长为焦距2c=2.

∴点N的轨迹是方程为

6、已知过点的椭圆与椭圆有相同的焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点为椭圆上的动点，且点的坐标为，求线段中点的轨迹方程.

答案：

（1）（2）

解析：

（1）设出椭圆的方程，利用条件解出即可

（2）设点，则可得出，然后代入椭圆的方程化简即可.

【详解】

（1）设椭圆的标准方程为

由题：①

又在椭圆上

∴②

联立①②有  ∴椭圆方程为

（2）设，因为是线段的中点，所以

∵在椭圆上，

∴，即

所以线段中点的轨迹方程：

【点睛】

本题考查的是代入法求点的轨迹方程，较简单.