安徽省皖南八校2021届高三上学期第二次联考 数学（文）(含答案) 试卷

“皖南八校”2021届高三第二次联考

数学（文科）

2020.12

考生注意：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选題目的题号涂黑．

一、选择题：本题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）

A．1    B．2    C．i     D．

3．已知，则（    ）

A．    B．    C．    D．

4．若等差数列各项都是正数，，且，则的值为（    ）

A．4    B．3    C．6    D．2

5．执行如下图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．如图所示，在边长为2的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．《海岛算经》第3题：今有南望方邑，不知大小．立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之．令东表与邑东南隅及东北隅参相直．当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半．又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相参合．问邑方及邑去表各几何？答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步．译文如下：现在要测量南边的一个长方形城市，不知道大小．在东西两个方向上树立两个标杆E和F，相距6丈，标杆和人眼一样高，用绳索连接．令东边的标杆E和城市的东南角C和东北角B平齐．面向标杆E退5步到达G处，从G处向城市西北角A看，视线交绳索于距离东端的标杆E2丈2尺6.5寸的H处．从G处再退到距离标杆E13步2尺的I处，再向城市西北角A望去，刚好和西边的标杆F重合．问城市的长和有多远？（1丈=10尺，1步=6尺，1尺=10寸）

A．5362.5尺和7270尺    B．5362.5尺和7470尺

C．5662.5尺和7270尺    D．5662.5尺和7470尺

8．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心O的距离等于球半径的一半，，则球O的表面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

9．已知函数，则函数的大致图像为（    ）

A．    B．    C．    D．

10．若过原点O的动直线l将圆分成的两部分面积之差最大时，直线l与圆E的交点记为A，B，则三角形的面积为（    ）

A．    B．    C．3    D．5

11．抛物线的焦点F恰好是双曲线的上焦点，且两条曲线的交点连线过F，则双曲线的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

12．已知函数与存在公切线，则实数a的最小值（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知x，y满足不等式组，则点所在区域的面积等于_________．

14．已知单位向量与的夹角为60°，若，且，则实数的值为_____．

15．函数的导数为，且，则______．

16．为公差不为0的等差数列，且恰为等比数列，其中，则为_______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．

（1）求角A的大小；

（2）若的外接圆半径为1，求的最大值．

18．（12分）为研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所将所研制的某型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到如下统计数据：

现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．

（1）能否有99.5%的把握认为注射此疫苗有效？

（2）在未感染病毒的小白鼠中，按木注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗的情况进行核实，求恰有1只为未注射过疫苗的概率．

附：下面的临界值表仅供参考．

参考公式：．

19．（12分）已知圆锥的侧面展开图为如图所示的半径为3，圆心角为的扇形，扇形中．圆锥中，E为线段上一点，且．

（1）求证：平面；

（2）求点O到平面的距离．

20．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若极大值大于2，求a的取值范围．

21．（12分）抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，，垂足为A，若直线的斜率为，且．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线与直线分别交于A，B两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，已知曲线（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为60°的直线m，直线m与直线l交于点A，求的取值范围．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

（1）设函数，若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；

（2）已知正数x，y，z满足，求的最小值．

“皖南八校”2021届高三第二次联考·数学（文科）

参考答案、解析及评分细则

1．B  ∵，∴故选B．

2．A  ∵，∴．∴z的虚部为1，故选择A．

3．D  ∵，∴，∵，∴，∴，∴．∴．故选择D．

4．B  ∵为等差数列，，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故选择B．

5．B  第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；第六次循环：，满足条件则输出S的值，而此时，因此判断框内应填入的条件是．故选B．

6．D  设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：，解得．故选：D．

7．D  依据题意尺，尺，尺，尺，

易知．

设，则

    ①

    ②

得

故选：D．

8．A  如图所示，O分别为的三角形外接圆圆心和球的球心，设三角形外接圆半径和球的球的半径分别为r，R，由正弦定理，∴，由图可知，∴，∴球的表面积．

9．B  ，得函数为奇函数，可排除C选项；且，，只有B选项符合条件．

10．D  动直线l将圆E分成的两部分面积之差最大，即过原点的弦最短，弦心距最大，则此时，则，故选D．

11．C  设抛物线与双曲线的两个交点分别为A，B．将代入得将代入得，∴即由两曲线共焦点，∴，∴．∴．∴．∴，故选C．

12．B  设和的切点分别为，则和切线方程分别为，

即与存在公切线，则方程有解，即，

在上递减，在递增，在处取到最小值，∴的最小值为，即a的最小值为．故选B．

13．  作出不等式表示的平面区域，如图内部（含边界），由边界的三条直线方程可得，

∴．

故答案为：．

14．  ∵，∴．∵，∴，即，∴，∴．

15．  ∵，∴，∴，∴，，∴．

16．  设数列为则，∵，∴即，∴，∴，∴，设的公比为q，则，∴即，∴．

17．解：（1）因为，           1分

所以，即，         3分

因为，所以，所以．         5分

（2）因为的外接圆半径为1，所以，       7分

则，          9分

即，当且仅当时取等号，            11分

故的最大值为．              12分

18．解：（1）依题意，由，得，

所以．             2分

所以，列联表如下表所示：

由，

所以有99.5%的把握认为注射此疫苗有效；           5分

（2）设“恰有1只为未注射过疫苗”为事件A，

由于在未感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取，

故抽取的5只小白鼠中有2只未注射疫苗，分别用1、2来表示，3只已注射疫苗的小白鼠用a、b、c来表示，                  7分

从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有：、、、、、、、、、，共10种，        9分

其中恰有1只为未注射过疫苗有：、、、、、，共6种，        11分

所以，即恰有1只为未注射过疫苗的概率为．                   12分

19．解：圆锥底面半径为1，高，∴，∴．

又∵，∴，∴平面，又∴平面，∴．

∵，且∴，∴．           2分

∵，∴，∴，∴．

∴，∴．           4分

又∵，∴平面．          5分

（2）因为是三棱锥的高，所以，

在中可求得此时．            7分

由已知可得，∵，∴，          8分

∵．

∴．

∴．                  12分

20．解：．              1分

（1）时单增，的单调递增区间为；

时，在和单增，的单调递增区间为和；

时，在单增，的单调递增区间为；

时，在和单增，的单调递增区间为和．        5分

（2）由（1），和时，无极大值，不成立．         7分

当时，极大值，解得，

由于，所以．       8分

当时，极大值，得，令，则．在取得极大值，且．

而，而在单增，所以解为，则．        11分

综上．               12分

21．解：（1）∵直线的斜率为，∴直线的方程为，当时，可得A点坐标为．

∵，A为垂足，∴P点纵坐标为，∵，∴P点横坐标为，∴P点坐标为代入抛物线方程得∴，∴．故抛物线C的方程为．    5分

（2）设直线的方程为，

联立，

整理得：，        7分

直线的方程为，

同理：直线的方程为，

令得，，

设中点T的坐标为，

则，

所以．              9分

．

圆的半径为．所以以为直径的圆的方程为．

展开可得，令，可得，解得或．

从而以为直径的圆经过定点和．        12分

22．解：（1）曲线C化为普通方程为：．             2分

由，得，

所以直线l的直角坐标方程为．            4分

（2）设点P到直线l的距离为d，

，∴．

∴．

∴．               8分

∴．          10分

23．解：（1）．

原命题等价于，∴或．               5分

（2）由于，所以．

当且仅当，即时，等号成立．

的最小值为．              10分