人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算优质学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算优质学案，共8页。

[A 基础达标]


1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))等于( )


A.eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(BC,\s\up6(→))


C.eq \(CD,\s\up6(→)) D.eq \(DA,\s\up6(→))


2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝( )





A.eq \(CD,\s\up6(→)) B.eq \(DC,\s\up6(→))


C.eq \(DA,\s\up6(→)) D.eq \(DO,\s\up6(→))


3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行eq \r(3) km ”，则向量a＋b表示( )


A．向东北方向航行2 km


B．向北偏东30°方向航行2 km


C．向北偏东60°方向航行2 km


D．向东北方向航行(1＋eq \r(3))km


4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|等于( )





A．1 B．2


C．3 D．2eq \r(3)


5．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )


A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向


B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向


C．若a与b同向，则a＋b与a同向


D．若a与b同向，则a＋b与b同向


6．化简(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝________．


7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝________．


8．已知平行四边形ABCD，设eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝a，且b是一非零向量，给出下列结论：


①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.


其中正确的是________．


9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD的形状：


(1)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))；


(2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|.














10．已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.














[B 能力提升]


11．已知有向线段eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))不平行，则( )


A．|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|>|eq \(AB,\s\up6(→))|


B．|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|≥|eq \(CD,\s\up6(→))|


C．|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|≥|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(CD,\s\up6(→))|


D．|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|<|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(CD,\s\up6(→))|


12．若P为△ABC的外心，且eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，则∠ACB＝______.





13．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是________．





①|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|；


②|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|；


③|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|eq \(BC,\s\up6(→))|2.


14．如图，已知向量a，b，c，d.





(1)求作a＋b＋c＋d；


(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．














[C 拓展探究]


15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？

















【参考答案】


[A 基础达标]


1．【解析】选A.因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→)).故选A.


2．【解析】选B.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).


3．【解析】选B.如图，易知tan α＝eq \f(1,\r(3))，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故选B.





4.【解析】选B.由正六边形知eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，


所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，


所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2.故选B.


5．【解析】选B.a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．


6．【解析】原式＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).


【答案】eq \(AC,\s\up6(→))


7．【解析】在菱形ABCD中，连接BD，


因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，


又因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝1，


所以|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|＝1.


【答案】1


8．【解析】因为在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．


【答案】①③


9．解：(1)因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以AD∥BC，AD＝BC，


所以四边形ABCD是平行四边形．


(2)因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|，所以四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD是菱形．


10．解：如图，因为|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝3，所以四边形OACB为菱形，


连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D.





因为∠AOB＝60°，所以AB＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3.


所以在Rt△BDC中，CD＝eq \f(3\r(3),2).


所以|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|＝eq \f(3\r(3),2)×2＝3eq \r(3).


[B 能力提升]


11．【解析】选D.由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号当且仅当a，b共线的时候取到，所以本题中，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|<|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(CD,\s\up6(→))|.


12．【解析】因为eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，则四边形APBC是平行四边形．


又P为△ABC的外心，所以|eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|.


因此∠ACB＝120°.


【答案】120°


13．【解析】①正确．以AB，AC为邻边作▱ABDC，





又∠A＝90°，所以▱ABDC为矩形，所以AD＝BC，


所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|.


②正确．|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|.


③正确．由勾股定理知|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|eq \(BC,\s\up6(→))|2.


【答案】①②③


14．解：(1)在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝c，eq \(CD,\s\up6(→))＝d，


则eq \(OD,\s\up6(→))＝a＋b＋c＋d.





(2)在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝e，则a＋e＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))，


因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，





由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，


|eq \(OB,\s\up6(→))|即|a＋e|最大，最大值是3.


[C 拓展探究]


15．解：如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，





则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.


设向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))分别表示两根绳子的拉力，


则eq \(CO,\s\up6(→))表示物体所受的重力，且|eq \(OC,\s\up6(→))|＝300 N.


所以|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|cs 30°＝150 eq \r(3)(N)，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|cs 60°＝150(N)．


所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq \r(3) N，


与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.