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初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试精品单元测试练习
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这是一份初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试精品单元测试练习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较小的内角是( B )
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是( D )
A.OE=eq \f(1,2)DC B.OA=OC C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE
3.如图，矩形ABCD的对角线AC=8 cm，∠AOD=120°，则AB的长为( D )
A.eq \r(3) cm B.2 cm C.2eq \r(3) cm D.4 cm
4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( D )
A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形
5.若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( C )
A.矩形 B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形
6.如图，已知点E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为( C )
A.20° B.25° C.30° D.35°
7.在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下结论正确的有( B )
①AC=5；②∠A＋∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD.
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
8.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB′=60°，则矩形ABCD的面积是( D )
A.12 B.24 C.12eq \r(3) D.16eq \r(3)
9.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( C )
A.1 B.eq \r(2) C.4－2eq \r(2) D.3eq \r(2)－4
10.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF 折叠，点D恰好落在BE上点M处，延长BC，EF交于点N.
有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF.
其中正确的结论是( B )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
二、填空题
11.如图，在▱ABCD中，AB=5，AC=6，当BD=__8__时，四边形ABCD是菱形.
12.如图，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__50°__.
13.在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件之一：①AB∥CD；②AB=CD；③∠A=∠C；④∠B=∠C.能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是__①或③__.
14.如图，∠ACB=90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=eq \f(1,4)CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，若BF=10，则AB的长为__8__.
15.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是__22.5__度.
16.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__12__.
17.已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是__5__.
18.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则eq \f(S正方形MNPQ,S正方形AEFG)的值等于__eq \f(8,9)__.
三、解答题
19.如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.
(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由；
(2)连接EF，若AE=8 cm，∠A=60°，求线段EF的长.
解：(1)菱形，理由：根据题意得AE=AF=ED=DF，
∴四边形AEDF是菱形
(2)∵AE=AF，∠A=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∴EF=AE=8 cm
20.如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，ED∥BC，EF∥AC.
求证：BE=CF.
解：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE=CF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CF
21.如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F.
(1)求证：△BEF≌△CDF；
(2)连接BD，CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD.
∵BE=AB，
∴BE=CD.
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，
∴△BEF≌△CDF(ASA)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，
∵AB=BE，
∴CD=EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF=CF，EF=DF，
∵∠BFD=2∠A，
∴∠BFD=2∠DCF，
∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
∴DE=BC，
∴四边形BECD是矩形
22.(9分)如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上，BE=DF.
(1)求证：AE=CF；
(2)当四边形AECF为矩形时，请求出eq \f(BD－AC,BE) 的值.
解：(1)由SAS证△ABE≌△CDF即可
(2)连接CE，AF，AC.
∵四边形AECF是矩形，
∴AC=EF，
∴eq \f(BD－AC,BE)=eq \f(BD－EF,BE)=eq \f(BE＋DF,BE)=eq \f(2BE,BE)=2
23.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)填空：当AB∶AD=__1∶2__时，四边形MENF是正方形，并说明理由.
解：(1)由SAS可证
(2)理由：∵AB∶AD=1∶2，
∴AB=eq \f(1,2)AD，
∵AM=eq \f(1,2)AD，
∴AB=AM，
∴∠ABM=∠AMB，
∵∠A=90°，
∴∠AMB=45°，
∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，∠DMC=∠AMB=45°，
∴∠BMC=90°，
∵E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，
∴EN∥CM，FN∥BM，EM=MF，
∴四边形MENF是菱形，
∵∠BMC=90°，
∴菱形MENF是正方形
24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)求证：四边形ADCF是菱形；
(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积.
解：(1)由AAS易证△AFE≌△DBE
(2)由(1)知，△AEF≌△DEB，则AF=DB，
∵DB=DC，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=eq \f(1,2)BC，
∴四边形ADCF是菱形
(3)连接DF，由(2)知AF//==BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∴S菱形ADCF=eq \f(1,2)AC·DF=eq \f(1,2)×4×5=10
25.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.
(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.
解：(1)PB=PQ.证明：连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD，∠BCD=90°，BC=CD，又
∵PC=PC，
∴△DCP≌△BCP(SAS)，
∴PD=PB，∠PBC=∠PDC，
∵∠PBC＋∠PQC=180°，∠PQD＋∠PQC=180°，
∴∠PBC=∠PQD，
∴∠PDC=∠PQD，
∴PQ=PD，
∴PB=PQ
(2)PB=PQ.证明：连接PD，
同(1)可证△DCP≌△BCP，
∴PD=PB，∠PBC=∠PDC，
∵∠PBC=∠Q，
∴∠PDC=∠Q，
∴PD=PQ，
∴PB=PQ.
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较小的内角是( B )
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是( D )
A.OE=eq \f(1,2)DC B.OA=OC C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE
3.如图，矩形ABCD的对角线AC=8 cm，∠AOD=120°，则AB的长为( D )
A.eq \r(3) cm B.2 cm C.2eq \r(3) cm D.4 cm
4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( D )
A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形
5.若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( C )
A.矩形 B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形
6.如图，已知点E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为( C )
A.20° B.25° C.30° D.35°
7.在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下结论正确的有( B )
①AC=5；②∠A＋∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD.
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
8.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB′=60°，则矩形ABCD的面积是( D )
A.12 B.24 C.12eq \r(3) D.16eq \r(3)
9.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( C )
A.1 B.eq \r(2) C.4－2eq \r(2) D.3eq \r(2)－4
10.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF 折叠，点D恰好落在BE上点M处，延长BC，EF交于点N.
有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF.
其中正确的结论是( B )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
二、填空题
11.如图，在▱ABCD中，AB=5，AC=6，当BD=__8__时，四边形ABCD是菱形.
12.如图，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__50°__.
13.在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件之一：①AB∥CD；②AB=CD；③∠A=∠C；④∠B=∠C.能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是__①或③__.
14.如图，∠ACB=90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=eq \f(1,4)CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，若BF=10，则AB的长为__8__.
15.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是__22.5__度.
16.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__12__.
17.已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是__5__.
18.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则eq \f(S正方形MNPQ,S正方形AEFG)的值等于__eq \f(8,9)__.
三、解答题
19.如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.
(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由；
(2)连接EF，若AE=8 cm，∠A=60°，求线段EF的长.
解：(1)菱形，理由：根据题意得AE=AF=ED=DF，
∴四边形AEDF是菱形
(2)∵AE=AF，∠A=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∴EF=AE=8 cm
20.如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，ED∥BC，EF∥AC.
求证：BE=CF.
解：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE=CF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CF
21.如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F.
(1)求证：△BEF≌△CDF；
(2)连接BD，CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD.
∵BE=AB，
∴BE=CD.
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，
∴△BEF≌△CDF(ASA)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，
∵AB=BE，
∴CD=EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF=CF，EF=DF，
∵∠BFD=2∠A，
∴∠BFD=2∠DCF，
∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
∴DE=BC，
∴四边形BECD是矩形
22.(9分)如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上，BE=DF.
(1)求证：AE=CF；
(2)当四边形AECF为矩形时，请求出eq \f(BD－AC,BE) 的值.
解：(1)由SAS证△ABE≌△CDF即可
(2)连接CE，AF，AC.
∵四边形AECF是矩形，
∴AC=EF，
∴eq \f(BD－AC,BE)=eq \f(BD－EF,BE)=eq \f(BE＋DF,BE)=eq \f(2BE,BE)=2
23.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)填空：当AB∶AD=__1∶2__时，四边形MENF是正方形，并说明理由.
解：(1)由SAS可证
(2)理由：∵AB∶AD=1∶2，
∴AB=eq \f(1,2)AD，
∵AM=eq \f(1,2)AD，
∴AB=AM，
∴∠ABM=∠AMB，
∵∠A=90°，
∴∠AMB=45°，
∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，∠DMC=∠AMB=45°，
∴∠BMC=90°，
∵E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，
∴EN∥CM，FN∥BM，EM=MF，
∴四边形MENF是菱形，
∵∠BMC=90°，
∴菱形MENF是正方形
24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)求证：四边形ADCF是菱形；
(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积.
解：(1)由AAS易证△AFE≌△DBE
(2)由(1)知，△AEF≌△DEB，则AF=DB，
∵DB=DC，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=eq \f(1,2)BC，
∴四边形ADCF是菱形
(3)连接DF，由(2)知AF//==BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∴S菱形ADCF=eq \f(1,2)AC·DF=eq \f(1,2)×4×5=10
25.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.
(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.
解：(1)PB=PQ.证明：连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD，∠BCD=90°，BC=CD，又
∵PC=PC，
∴△DCP≌△BCP(SAS)，
∴PD=PB，∠PBC=∠PDC，
∵∠PBC＋∠PQC=180°，∠PQD＋∠PQC=180°，
∴∠PBC=∠PQD，
∴∠PDC=∠PQD，
∴PQ=PD，
∴PB=PQ
(2)PB=PQ.证明：连接PD，
同(1)可证△DCP≌△BCP，
∴PD=PB，∠PBC=∠PDC，
∵∠PBC=∠Q，
∴∠PDC=∠Q，
∴PD=PQ，
∴PB=PQ.
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