人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程优秀导学案

这是一份人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程优秀导学案，共8页。

导学探究


阅读教材，回答下列问题:


1.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染3个人.


(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.


(2)在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.


2.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染x个人.


(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.


(2)在第二轮传染中，传染源是______人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.


3.回忆、类比:用一元一次方程解决问题有哪些步骤?关键是什么? 你能类比出用一元二次方程解决问题的步骤吗?





归纳梳理


1.列一元二次方程解应用题的步骤: 审、设 、找、列、解、检、答.


2.循环比赛问题:


(1)若n(n≥2)支球队进行单循环比赛(每两支球队之间只比赛一场)，一共需要进行_______场比赛;


(2)若n(n≥2)支球队进行双循环比赛(每两支球队之间主客场比赛两场)，一共需要进行________场比赛.





典例探究


【例1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，


（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？


（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？

















总结：


传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播.


解决此类问题的关键是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．


练1．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？

















21.3 实际问题与一元二次方程（第二课时）


导学探究


阅读教材，回答下列问题:


1.请根据你对“变化额”“变化率”的理解，填空:


(1)某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产______个，增长率是______;若三月份生产零件1140个，那么三月份比二月份减产____个，下降率是________.


(2)某厂今年一月份的总产量为100吨，设平均每月增长率是x，则二月份总产量为_____吨;三月份总产量为_________吨.(用含x的代数式表示).


(3)某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格是_____元;第二次降价后的价格是______元.(用含x的代数式)


2.我市前年有汽车3万辆，据统计平均每年的增长率为x.


(1)去年我市汽车有万_______辆; (用含x的代数式表示)


(2)今年我市汽车有万_______辆; (用含x的代数式表示)


(3)若我市今年有汽车12万辆，根据题意，可列出方程___________________________.


3.请你总结:


(1) 增长率问题: 若原来的量为a，平均增长率是x，则第一次增长后的量为________;第二次增长后的量为__________;若两次增长后的量为A，则可列方程__________________.


(2)下降率问题:若原来的量为a，平均下降率是x，则第一次下降后的量为__________;第二次下降后的量为___________;若两次下降后的量为A，则可列方程_________________.





归纳梳理


1.本节课我们将讨论平均变化率问题，变化率有增长率和________率.


2.有关变化率的公式:


(1)增长后的量 = 原来的量+_________= 原来的量× (1+________);


下降后的量 = 原来的量－________ = 原来的量× (1－_______).


(2)单位时间增长量＝增长后的量一_______=原来的量×__________;


单位时间下降量=原来的量一__________=原来的量×__________


(3)如果某个量原来的值是a，每次增长的百分率是x, 则增长1次后的值是________，增长2次后的值是_________，…，增长n次后的值是______________.


如果某个量原来的值是a，每次下降的百分率是x，则下降1次后的值是__________，下降2次后的值是_________，…，下降n次后的值是____________.


3.如果设平均每次增长(或下降)的百分数为x，则原来的量a, 经过两次增长(或下降)到A，可列方程为______________(或)_______________.


典例探究


【例1】随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）


A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20


C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8


总结：


增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率或平均降低率.


若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前基数为a，增长（或降低）n次后的最后产量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b，其中增长取“+”，降低取“-”，注意1与x的位置不能调换.


增长率问题中，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．


21.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）


导学探究:


阅读教材，回答下列问题：


1、探究3中有哪些数量关系？





2、中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，这个比是多少？ 上、下边衬与左、右边衬宽度之比是多少？





3.教科书是根据什么选取未知数的?又是利用怎样的数量关系列出方程的?





4.如果根据正中央的长方形的长、宽比为9，7，设正中央长方形的长、宽，并利用“中央长方形面积=封面面积的四分之三”列方程，间接求上、下边衬与左、右边衬宽可以吗?若可以，你试一试.





归纳梳理


1.列方程解应用题，一般直接设元，即问什么就设什么; 有时为了好理解，也采用间接设未知数的方法，列方程求解.


2.利用一元二次方程分析解决几何图形问题，要抓住图形的特征(如面积关系、图形性质等)，在分析题意的基础上建立方程，通过解方程来解决实际问题.


3一元二次方程解决实际问题，要回到实际问题中进行解释和________，看求出的解是否符合__________.


典例探究


【例1】在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．


（1）求这地面矩形的长；


（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？


























总结：


解决几何图形问题的关键是掌握常见几何图形的面积、体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积.


对于不规则图形的面积问题，往往通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形，运用规则图形的面积公式列出方程．





21.3 实际问题与一元二次方程 (第4课时)


导学探究：


1. 用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤：


（1）审题找等量关系；


（2）设元列方程；


（3）求解并检验；


（4）写出答案．


2. 数字问题中常用的数量关系有：


两位数表示为：十位数字×10+个位数字；


三位数表示为：百位数字×100+十位数字×10+个位数字；


三个连续整数可表示为：x-1,x,x+1;


三个连续奇数可表示为：2x-1,2x+1,2x+3;


三个连续偶数可表示为：2x-2,2x,2x+2.





典例探究：


一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）


每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解．


1．一元二次方程的应用——数字问题


【例1】一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数．











总结： 对于数字问题，首先要明确数的表示方法：


（1）如果是两位数，个位数字设为a，十位数字设为b，那么这个两位数可表示为10b+a；


（2）如果是三位数，个位数字设为a，十位数字设为b，百位数字设为c，那么这个三位数可表示为100c+10b+a；


（3）设x为整数，三个连续整数可表示为x-1,x,x+1，三个连续奇数可表示为2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2．





练1.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.























练2.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（ ）


A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1





2．一元二次方程的应用——营销问题


总结：


用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润.


用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”.


每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润×销售量=总利润.


每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.





3．一元二次方程的应用——动态几何问题


【例3】如图△ABC，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：


（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？


（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．























总结：


动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题. 解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动.


动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解.






































课堂小练


一、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x，则根据题意可得方程( )


A.10000(1+2x)=10926 B.10000(1+x)2=10926


C.10000(1+2x)2=10926 D.10000(1+x)(1+2x)=10926





LISTNUM OutlineDefault \l 3 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步."如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是( )


A.x(x+12)=864 B.x(x-12)=864 C.x2+12x=864 D.x2+12x-864=0





LISTNUM OutlineDefault \l 3 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是( )


A．2500(1+x)2=9100


B．2500(1+x%)2=9100


C．2500(1+x)+2500(1+x)2=9100


D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次.设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )


A.x(x-1)=10 B.x(x-1)=2×10 C.x(x+1)=10 D. x(x+1)=2×10





LISTNUM OutlineDefault \l 3 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是( )


A.x(x+1)=64 B.x(x﹣1)=64 C.(1+x)2=64 D.(1+2x)=64





LISTNUM OutlineDefault \l 3 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )


A.x(x-1)=2×45 B.x(x＋1)=2×45 C.x(x-1)=45 D.x(x＋1)=45


LISTNUM OutlineDefault \l 3 九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1190张卡片，设全班有x名学生，根据题意列出方程为( )


A.x(x-1)=2×1190 B.x(x+1)=2×1190


C.x(x+1)=1190 D.x(x-1)=1190


LISTNUM OutlineDefault \l 3 市工会组织篮球比赛庆五一，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为( )


A.11个 B.10个 C.8个 D.9个


LISTNUM OutlineDefault \l 3 毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为( )


A.5人 B.6人 C.7人 D.8人


LISTNUM OutlineDefault \l 3 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )


A.560(1+x)2=315 B.560(1﹣x)2=315 C.560(1﹣2x)2=315 D.560(1﹣x2)=315








二、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支.若主干、支干和小分支的总数是57，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为 .





LISTNUM OutlineDefault \l 3 某班x名学生，同学们两两互相赠送贺卡，共送贺卡1560张，则可列方程： ；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，若设参赛球队的个数是x，则列出方程为 .


LISTNUM OutlineDefault \l 3 某抗菌药原价30元，经过两次降价，现价格为10.8元，若平均每次降价率相同，且均为x，则可列出方程 ．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x，则根据题意可列方程为 ．





三、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？























参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 A.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 D.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 D.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x2+x+1=57.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x(x-1)=1560.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x(x-1)=2×28.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：30（1－x）2＝10.8；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：设小路的宽应是x米，则剩下草总长为(32﹣2x)米，总宽为(15﹣x)米，


由题意得(32﹣2x)(15﹣x)=32×15×(1﹣)


即x2﹣31x+30=0,解得x1=30 x2=1


∵路宽不超过15米


∴x=30不合题意舍去


答：小路的宽应是1米.