黄金卷08-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第八模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．（2020·河南高三月考（理））已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】

因为，所以

，

故复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，

故选：A．

2．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（理））已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由已知，得：，，

∴，

故选：C

3．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【详解】

充分性证明：取，明显地有，，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出，所以，充分性不成立；

必要性证明：，可得，所以，必要性成立；

故选B

4．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

,,,,

所以.

故选：A

5．（2020·四川省内江市第六中学高三其他模拟（文））某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）年数（年）的函数关系较为接近的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，

即，，，

对于A中，函数，当时，和0.78相差较大；

对于B 中，函数，当时，和0.39相差较大；

对于C中，函数，当时，和0.39相差较大；

对于D中，函数，当时，，当时，，与0.39相差0.01，

当时，和0.78相差0.02；

综合可得，选用函数关系较为近似．

故选：D.

6．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

函数，

将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，

因为函数是偶函数，

．

当时，．

故选：A

7．（2020·江西省临川第二中学高三二模（文））设等差数列的前项和为，且，则（    ）

A．45 B．50 C．60 D．80

【答案】C

【详解】

是等差数列，，，

故选：C

8．（2020·全国高三其他模拟）将一半圆沿半径剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角为，以这两个扇形为侧面围成一高一低两个圆锥（不计接缝处的损耗），则高圆锥与低圆锥的高之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：不妨设半圆的半径为1，

圆心角为的扇形的弧长为，

则该扇形围成的圆锥的底面圆周长为，

设圆锥底面圆的半径为，则，所以，

则该圆锥的高，

圆心角为的扇形的弧长为，

则该扇形围成的圆锥的底面圆周长为，

设该圆锥底面圆的半径为，则，所以，

则该圆锥的高，

所以高圆锥与低圆锥的高之比为.

故选：B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．（2020·江苏启东市·启东中学高三开学考试）下列命题正确的是（    ）

A．若随机变量，且，则

B．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为

C．已知，则“”是“”的充分不必要条件

D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则

【答案】BD

【详解】

对A，，，，，故A错误；

对B，函数是定义在上的偶函数，，，，故B正确；

对C，，“”推不出“”，而“”可以推出“”，“”是“”的必要不充分条件，故C错误；

对D，样本中心点为，，故D正确；

故选：BD.

10．（2020·全国高三其他模拟）已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线的渐近线方程为 B．直线的倾斜角为

C．圆的面积等于 D．与的面积之比为

【答案】ACD

【详解】

根据题意可得，，解得，

所以双曲线的方程为，

所以双曲线的渐近线方程为，故选项A正确；

因为以为直径的圆过点，所以，根据（1）渐近线为，可得渐近线倾斜角，易知，

所以，所以直线的倾斜角为或，故选项B错误；

根据双曲线的对称性，不妨设直线的倾斜角为，由可得直线的方程为，分别与渐近线方程和联立，解得或，则，，此时，

故圆的半径，其面积，故选项C正确；

因为为与的公共边，所以与的面积之比等于，故选项D正确.

故选：ACD

11．（2020·全国高三专题练习）如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．

【答案】AB

【详解】

，

故，共线，故，

即，，故，故.

，正确；数列是等比数列，正确；

，错误；，故错误.

故选：.

12．（2020·山东高三专题练习）设函数，则（    ）

A．在单调递增 B．的值域为

C．的一个周期为 D．的图像关于点对称

【答案】BC

【详解】

令，则，显然函数为增函数，

当时，为减函数，

根据复合函数单调性可知，在单调递减，

因为，

所以增函数在时，，

即的值域为；

因为，

所以的一个周期为，

因为，令，

设为上任意一点，

则为关于对称的点，

而，

知点不在函数图象上，

故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.

故选：BC

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2020·陕西莲湖区·西安一中高二期中（理））已知命题p：“，，使”．若命题是假命题，则实数m的取值范围为__________．

【答案】

【详解】

因为命题是假命题，

所以是真命题，

即关于的方程有实数解，

，

所以.

故答案为：.

14．（2020·山东高三其他模拟）的展开式中的系数为______.

【答案】-6480

【详解】

，展开式的通项为：，

取，则，

的展开式的通项为：，

取，得到，

故的系数为.

故答案为：.

15．（2020·四川遂宁市·高三零模（理））已知均为实数，函数在时取得最小值，曲线在点处的切线与直线平行，则_____

【答案】5

【详解】

∵，∴，

∴，当且仅当，即时等号成立，∴，

由得，时，，由平行线的性质得，

∴．

故答案为：5．

16．（2020·四川高三其他模拟（文））已知正方体的棱长为1，动点在正方体的表面上运动，且与点的距离为.动点的集合形成一条曲线，这条曲线在平面上部分的形状是__________；此曲线的周长是_______.

【答案】圆弧       

【详解】

由题意，此问题的实质是以A为球心、半径为的球在正方休各个面上交线的长度计算.

因为球半径小于1，所以球面只与平面ABCD、相交，

因平面ABCD、为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为，

故各段弧长为.

这条曲线周长为.

故答案为：圆弧；

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·全国高三其他模拟）在①，且，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

已知是公差不为的等差数列，其前项和为，______．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）若选①，设数列的公差为．

由，可得，解得，；

若选②，当时，，

当时，，满足．

所以；

若选③，设数列的公差为．

，即，则，

又，所以，，所以；

（2）因为，

所以．

则，

上式下式得，

所以，因此，．

18．（2020·上海徐汇区·高三一模）进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设∠POA=．

（1）用表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到）；

（2）当取何值时，矩形PGBF的面积S最大？并求出最大面积（精确到）．

【答案】（1），；1412（）；

（2）＝或时（）．

【详解】

【解】（1）如图所示，过P作PX⊥OA于X,PY⊥OC与Y,

则，PG=,FE=,

，，-

当矩形PGBF为正方形时，PG=FE,

，，

此时S=1412（）；

（2）

，

记t [，1]，则

对称轴为，∵1－－，

，即或时，（）

（注意：若令，则相应给分）

19．（2020·江西赣州市·高三其他模拟（理））三棱锥中，，，.记中点为，中点为

（1）求异面直线与的距离；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）；（2）

【详解】

三棱锥三组对棱相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中研究

设长方体的三维分别为、、且，即，解得：

因此以为坐标原点，长方体在处的三条棱的方向为正方向建立空间直角坐标系，则

，，，，，，

（1） ，，

设垂直于和，

所以，

令，，，所以 ，

而，因此所求距离为：

（2），，

设平面的一个法向量为，

则 ，令，则，，

所以，

设平面的一个法向量为，

则 ，令，则，，

所以，

所以，

所以所求角的余弦值为.

20．（2020·全国高三专题练习（文））已知点在抛物线：上，直线：与抛物线有两个不同的交点.

（1）求的取值范围；

（2）设直线与抛物线的交点分别为，，过点作与的准线平行的直线，分别与直线和交于点和（为坐标原点），求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】

解：（1）由抛物线：过点，得.

所以抛物线的方程为.

由得.

由题意，且，即，

因此的取值范围是且．.

（2）设，，显然，，均不为0.

由（1）可知①，②.

由题意可得，的横坐标相等且同为，

因为点的坐标为，所以直线的方程为，点的坐标为.

直线的方程为，点的坐标为.

若要证明，只需证，即证，

即证.

将代入上式，即证，

即证③，

将①②代入③得，此等式显然成立.

所以恒成立，故.

21．（2020·武汉外国语学校高三其他模拟（理））新冠抗疫期间，我们经历了太多悲恸，也收获了不少感动．某数学小组希望通过将所学的知识应用于我们的抗疫，决定以数学实验的方式探索新冠的传染和防控．过程如下：假设小盒中有个黑球，个红球．模型①：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球后，则放回小盒并往小盒里加入倍的红球．此模型可以解释为“传染模型”，即若发现一个新冠感染者，若不作任何处理，则会产生倍的新的感染者；模型②：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治．（注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，故用黑球代替红球）

（1）分别计算在两种模型下，取出一次球后，第二次取到红球的概率；

（2）在模型②的前提下：

（i）记在第次时，刚好抽到第二个红球，试用表示刚好第次抽到第二个红球对应的概率；

（ii）若规定无论第次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第次时，即停止抽球；记抽到第二个红球时所需要的次数为，求的数学期望．（精确到个位）

参考数据：，，，．

【答案】（1）在模型①下，所求概率为，在模型②下，所求概率为；（2）（i）；（ii）.

【详解】

（1）记在模型①下，取到红球的概率为，则；

记在模型②下，取到红球的概率为，则；

（2）（i）若第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球．

则对应地有：．

则两次红球都被取出的所有可能情况的概率和为：

利用等比数列求和公式即可得：

；

（ii）由题意可知，的取值依次是、、、、，

特别地，当时，对应的，

由参考数据可得：．

对应的数学期望为：

．

由参考数据可得：．

22．（2020·全国高三其他模拟）已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【详解】

（1）因为

所以

令，得，.

所以当时，时，，时，，时，，

所以在上单调递减，在，上单调递增；

当时在上恒成立，于是在上单调递增：

当时，时，，时，时，，

所以在上单调递减，在，上单调递增.

综上，当时，在上单调递减，在，上单调递增；

当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.

（2）解法一①当，即时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

依题意有，解得，所以.

②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

依题意有，解得，即，

又，故此时不存在满足题意；

③当，即时，在上单调递增，当时，，而，不成立，故此时的不满足题意；

④当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，依题意有，且，无解，此时不存在满足题意；

⑤当，即时，在上单调递增，在上单调递减，依题意有，且，

又，故此时不存在满足题意.

综上，实数的取值范围是

解法二由得，

即，易知，所以

设，，

则，

易知，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.

所以，所以，故实数的取值范围为.