黄金卷09-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第九模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））若复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【详解】

∵，∴，

则在复平面内对应的点的坐标为（），位于第三象限．

故选：C．

2．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知，条件：，条件：，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

，则，

，则，因为，

所以是的充分必要条件.

故选：C

3．（2020·全国高三其他模拟（文））在中，，，，为的中点，，都在线段上，且，则（    ）

A． B． C．-2 D．2

【答案】A

【详解】

如图，建立直角坐标系，则，，，

所以，，

所以，

故选：A

4．（2021·全国高三其他模拟（文））大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为（    ）

A．380 B．410 C．420 D．462

【答案】C

【详解】

由数列的前10项可知，数列的偶数项的通项公式，，

奇数项的通项公式，，

.

故选：C

5．（2020·江西赣州市·高三其他模拟（理））已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由可得出，再由，可得出，

，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.

故选：B.

6．（2020·河南郑州市·高三月考（文））三棱柱中，侧面与底面垂直，底面是边长为的等边三角形，若直线与平面所成角为，则棱柱的高为（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】C

【详解】

如图，绘出三棱柱，

取中点，连接、、，

因为三棱柱侧面与底面垂直，底面是边长为的等边三角形，

所以，平面，，，

由线面角的定义即可得出即直线与平面所成角，

则，，，

故选：C.

7．（2020·全国高三其他模拟）已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（    ）

A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.26

【答案】C

【详解】

由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为．

故选：C．

8．（2020·广西高三一模（理））已知椭圆上有相异的三点A，B，C，则S△ABC的最大值为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

首先证明一个结论，设（）是椭圆上的三个不同的点，直线，分别是在直线上的射影，则，

梯形梯形梯形

，

，

∵，∴，

令，则，

令

，

，

∴，当且仅当，即时等号成立．

∴．

本题中，，∴．

故选：C．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．（2020·广东广州市·高三月考）设函数(，)，，，且在上单调，则下列结论正确的是（    ）

A．是的一个对称中心

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在区间上的值域为

D．先将的图象的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得到的图象

【答案】ABD

【详解】

因为在上单调，所以，因为，，所以，所以，得，由，

得，，令，得，所以，

令，得，故A项正确；

令，得，故B项正确；

当时，，，故C项错误；

先将的图象的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得的图象，故D项正确.

故选：ABD

10．（2020·山东高三专题练习）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（    ）．

附：随机变量服从正态分布，则，，

A．该市学生数学成绩的期望为100

B．该市学生数学成绩的标准差为100

C．该市学生数学成绩及格率超过0.8

D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等

【答案】AC

【详解】

数学成绩服从正态分布，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确B错误；

及格率为，C正确；

不及格概率为，优秀概率，D错误.

故选：AC.

11．（2020·山东高三专题练习）已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（    ）

A．恒成立

B．若，则

C．面积的最小值为1

D．对每一个确定的，若，则的面积为定值

【答案】ABD

【详解】

设，代入得，①

显然，，即，

设，，则，是方程①的两个根，

有，，

设，，由得，

由，得；

所以，所以和的中点重合，

所以，所以恒成立．故A正确．

因为和的中点重合为，所以，

又，所以，

所以，故B正确．

设直线方程为，，

由得，由得，

，，，

，故C错误.

因为，所以，得

，即，

所以，，又，，，

所以是定值．故D正确．

故选：ABD.

12．（2020·海南高三一模）对于定义在上的函数和定义在上的函数，若直线同时满足：①，，②，，则称直线为与的“隔离直线”.若，，则下列为与的隔离直线的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【详解】

根据隔离直线的定义，函数的图象总在隔离直线的下方，的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，

由函数，可得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，，此时函数的点处的切线方程为，

且函数的图象在直线的下方；

又由函数，可得，单调递增，

因为，所以函数在点处的切线方程为，即，

此时函数的图象在直线的上方，

根据上述特征可以画出和的大致图象，如图所示，

直线和分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A，B都符合；

设过原点的直线与函数相切于点，

根据导数的几何意义，可得切线的斜率为，

又由斜，可得，解得，

所以，可得切线方程为，

又由直线与曲相交，故C不符合；

由直线过点，斜率为，曲线在点处的切线斜率为1，

明显不满足，排除D.

故选：AB.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2020·全国高三专题练习（文））如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为，拉力大小均为，若使身体能向上移动，则拉力的最小整数值为______N．（取重力加速度大小为，）

【答案】405

【详解】

设是两个拉力，合力为，由于，在菱形中知，所以，，所以的最小整数为405．

故答案为：405．

14．（2020·全国高三其他模拟）对任意的实数，表示不大于的最大整数，则函数的零点为______.

【答案】

【详解】

由题意得，.

令得，，

所以，解得或，

从而或.

当时，，解得，，与矛盾，故舍去；

当时，，，符合题意.

故函数的零点为.

故答案为：.

15．（2020·广西北海市·高三一模（理））曲线的一条切线的斜率为，该切线的方程为________.

【答案】

【详解】

的导数为，

设切点为，可得，

解得，即有切点，

则切线的方程为，

即.

故答案为：.

16．（2020·浙江高三其他模拟）如图，在中，，，，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．设，，，则的最大值是_______；的最小值是__________．

【答案】90       

【详解】

设为中点,

因为

，当点D在线段AC的延长线上取“=”；

所以的最大值是90

在线段AC上取一点M，使得，则

又因为

，当D，M，B三点共线时取“=”．

所以的最小值是

故答案为：90，

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·上海高三二模）据相关数据统计，2019年底全国已开通基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.

（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个）

（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？（精确到1万个）

【答案】（1）62.2万个，（2）2021年181万个，2022年547万个

【详解】

（1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，

所以今年一共建设基站万个，

所以今年底全国共有基站万个.

（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，

则，即，解得，

所以万个， 万个.

所以2021年至少新建万个基站，2022年至少新建万个基站オ能完成计划.

18．（2020·广西高三一模（理））在中，角、、的对边分别为、、，已知，且为钝角.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）或；（2）.

【详解】

（1），由正弦定理可得，

所以，，

即，

在中，由于角为钝角，则、均为锐角，可得，，

，可得，或，因此，或；

（2），，则，，则，，

，

由正弦定理可得，所以，，

为锐角，则，，

则，，

.

19．（2020·上海青浦区·高三一模）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点.

（1）证明：平面PAC；

（2）求异面直线与AP所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点.

连结PO，又因为P是的中点，所以.

又因为平面PAC，平面PAC

所以直线平面PAC.

（2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与AP所成的角或其补角.

因为，且，

所以.

又，所以

故异面直线与AP所成角的大小为.

20．（2020·广西高三其他模拟（理））某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．

（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；

（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

（3）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记，试比较与的大小．（只需写出结论）

【答案】（1）男员工3人，女员工2人；（2）分布列见解析，；（3）.

【详解】

(1)抽取的5人中男员工的人数为，

女员工的人数为.

(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人.

所以，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.

根据题意，，

，.

随机变量X的分布列是：

数学期望.

（3）.

21．（2020·云南昆明市·高三其他模拟）已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.

【详解】

(1)，，

又，，即，

则可得，又，，

故所求椭圆方程为；

(2)设直线，代入，有.

设，则，

若轴上存在定点满足题设，则，，

，

由题意知，对任意实数都有恒成立，

即对成立.

，解得，

在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.

22．（2020·全国高三其他模拟）已知函数，.

（1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数使得与曲线相切，求的值；

（2）设函数.

①若恒成立，求的取值范围；

②若函数仅有两个不同的零点，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）①；②.

【详解】

（1）由题意知，，，因而曲线在处的切线方程为，故，，

则.

曲线在点处的切线方程为，即.

令，，得，.

（2）①由已知得，，.

恒成立，即恒成立，

即恒成立.

设，则，单调递增，

因而恒成立，即恒成立.

令，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，从而.

②函数仅有两个不同的零点，即有两个不同的解，

即有两个不同的解，

根据①可知即有两个不同的解，即有两个不同的解.

因为当时，单调递增，当时，单调递减，，当时，，时，，所以.