黄金卷11-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第十一模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知复数，其中为虚数单位，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由于，

则.

故选：B

2．（2020·全国高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，，

由可得，.

因此，实数的取值范围是.

故选：A.

3．（2020·海南高三一模）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：因为函数在处没有意义一，排除A，且函数为偶函数，所以其图象关于轴对称，排除B，又，排除D，.

故选：C．

4．（2020·上海徐汇区·高三一模）方程的实数解的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

分别画出函数和的图象，

由图象可知两个函数的交点个数是3个，

所以方程程的实数解的个数是3个.

故选：B

5．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））在中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

.

故选：A

6．（2020·全国高三专题练习）设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为（   ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】B

【解析】

∵S4≥10，S5≤15
∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15
∴a5≤5，a3≤3
即：a1+4d≤5，a1+2d≤3
两式相加得：2（a1+3d）≤8
∴a4≤4
故答案是4

7．（2020·吉林洮北区·白城一中高二期末（理））2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为（）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”,

事件B：检测6个人确定为“感染高危户”,

∴,.

即

设,则

∴

当且仅当即时取等号,即.

故选：A．

8．（2020·江西赣州市·高三其他模拟（理））函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题，只需考虑函数最值即可，

，

所以当即时函数取得最大值，

，

考虑函数，，

所以必存在唯一零点，，

且递减，

递增，

记，由正弦函数单调性可得：

函数递增，函数递减，

所以函数

，解得，

所以.

故选：A

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．（2020·山东高三专题练习）某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（    ）

A．全国高考报名人数逐年增加

B．年全国高考录取率最高

C．年高考录取人数约万

D．年山东高考报名人数在全国的占比最小

【答案】BCD

【详解】

2016年的人数少于2015年人数，故错误；

2018年的录取率为，为最高，正确；

2019年高考录取人数为，故正确；

从2010—2019年山东高考报名人数在全国的占比分别为：

，故正确.

故选：.

10．（2020·全国高三其他模拟）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，短轴长为2，点，在上且，直线与交于另一个点，若，则下列说法正确的是（    ）

A．为等腰三角形

B．椭圆的离心率为

C．内切圆的半径为

D．面积的最大值为

【答案】BCD

【详解】

由题意知，所以点，，在以为圆心，为直径的圆上，所以.设，由于，所以，，故不是等腰三角形，故A错误.

根据椭圆的定义可知，，所以，所以，则.又，所以为等腰直角三角形，可得.由题意知，所以，，所以椭圆的标准方程为，离心率为，故B正确.

易知的面积，设的内切圆半径为，则，即，所以，故C正确.

不妨令，又，所以直线的方程为，设，则点到直线的距离，其中，所以，因为，所以面积的最大值为，故D正确.

故选：BCD

11．（2020·山东滕州市第一中学新校高三月考）设函数g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（    ）

A．f(x)的图象关于直线对称

B．f(x)在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2π)上有且只有2个极小值点

C．f(x)在上单调递增

D．ω的取值范围是[)

【答案】CD

【详解】

依题意得， ，如图：

对于，令，，得，，所以的图象关于直线对称，故不正确；

对于，根据图象可知，，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故不正确，

对于，因为，，所以，解得，所以正确；

对于，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故正确；

故选：CD.

12．（2020·山东高三专题练习）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为的液体，旋转容器，下列说法正确的是（    ）

A．当时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同

B．，液面都可以成正三角形形状

C．当液面与正方体的某条体对角线垂直时，液面面积的最大值为

D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为

【答案】ACD

【详解】

当时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分，根据对称性知两部分完全相同，A正确；

取，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，故B错误；

当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，， C正确；

当液面过时，截面为四边形，将绕旋转，如图所示：

则，当共线时等号成立，故周长最小值为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2020·河南高二月考（文））若“，”是真命题，则实数的最小值为______．

【答案】

【详解】

若“，”是真命题，

则当时，，

所以实数的最小值为.

故答案为：.

14．（2020·河北保定市·高一期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则不等式的解集是______．

【答案】

【详解】

因为是幂函数，

所以，解得或，

又因为的图象关于y轴对称，所以，

原不等式整理得，解得．

故答案为：

15．（2020·陕西安康市·高三三模（理））已知是定义在上的奇函数，当时，(a为常数)，则曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【详解】

解：由是定义在R上的奇函数，可得，

当时，，

当，即有，，

，

则导数为，，

又切点为，切线方程为，

即.

故答案为：.

四、双空题

16．（2020·山东高三专题练习）过点的直线与直线垂直，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为_______，离心率为_______.

【答案】，       

【详解】

过点的直线与直线垂直，

直线的方程为，

双曲线的两条渐近线方程为，

将两个方程联立，可得，，

的中点坐标为，

点满足，

点在线段的中垂线上，即

，

，

则，，

渐近线方程为，离心率为.

故答案为：，.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·全国高三专题练习）已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_____.（从①②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）

（1）求；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）选择①②、①③、②③条件组合,； （2）

【详解】

（1）①由，得，即；

②由，，成等比数列，得，，即﹔

③由，得，即；

选择①②、①③、②③条件组合，均得、，即﹔

（2）由（I）得，

 则

，

即

18．（2020·吉林高三其他模拟（文））已知函数．

（1）求的最小正周期及的图象的对称轴方程；

（2）若，，求的取值范围．

【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，；（2），．

【详解】

（1）

，

的最小正周期，

令，，可得，，即的图象的对称轴方程为，．

（2），，

，，

，，可得，．

19．（2020·云南昆明市·高三其他模拟）某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生参加三项活动，其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余三天的活动随机选择两项参加，乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加.

（1）求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；

（2）用X表示甲､乙､两三名同学选择周三活动的人数之和，求X的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）设表示事件“甲同学选周三的活动”， 表示事件“乙同学选周三的活动”，

则（A），（B），

事件，相互独立，

甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率为（A）；

（2）设表示事件“丙同学选周三的活动”，则（C），

的可能取值为0，1，2，3，则

；

；

；

．

的分布列

数学期望．

20．（2020·全国高三其他模拟）如图所示，三棱锥中，平面，，平面经过棱的中点，与棱，分别交于点，，且平面，平面.

（1）证明：平面；

（2）若，点在直线上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）因为平面，平面，平面平面，

所以，且为棱的中点.

因为，所以.

同理，因为平面，平面，平面平面，

所以.

因为平面，

所以，

所以，又，

所以平面，

即平面.

（2）如图所示，以点为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，，设，

则，设平面的一个法向量为，

则令，则，，

所以为平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为，

则

则，令，则，

所以为平面的一个法向量.

设平面与平面所成的锐二面角为，

则.

当时，；当时，

，

当且仅当，即时，取得最小值，

取得最大值，最大值为.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值为.

21．（2020·全国高三其他模拟）已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数只有1个零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间；（2）.

【详解】

（1）的定义域是，

当时，，，

易知单调递增，且当时，，

所以当时，，当时，，

因此的单调递减区间是，单调递增区间．

（2）由，得，

令，

若函数只有一个零点，则直线与函数的图象有且只有一个交点．

，

令，则，

所以在上单调递减，

易知，，

所以存在，使得，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减．

易知当时，；当时，．

作出直线与函数的大致图象如图所示，

由图可知，若，则直线与函数的图象有且只有一个交点．

若，则当直线与函数的图象相切时，有且只有一个交点，

设切点为，则，得，．

故实数的取值范围是．

22．（2020·安徽省太和中学高二期末（理））顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．

（1）求椭圆的方程；

（2），是椭圆上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（以为坐标原点），线段上有一点满足，连接并延长交椭圆于点，求椭圆的值.

【答案】(1) (2)

【详解】

（1）由题可知，，

解得，.

所以椭圆的方程为.

（2）设，，，，

∵，∴，

∴，.

又∵，∴，

即，.

∵点在椭圆上，∴，

即.

∵,在椭圆上，∴，①  .②

又直线，斜率之积为，∴，即，③

将①②③代入得，解得.