黄金卷14-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第十四模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．（2020·桃江县第一中学高三期中）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ）

A．的实部是1 B．的虚部是1

C． D．复数在复平面内对应的点在第四象限

【答案】C

【详解】

，

，

则的实部为2，故A错误；的虚部是，故B错误；

，故C正；

对应的点为在第一象限，故D错误.

故选：C.

2．（2020·全国高三专题练习）设集合，，则=（    ）

A．（-1，1） B．[-1，0] C．[-1，0） D．（-∞，0]

【答案】B

【详解】

由题意，，

，

所以，

故选：B．

3．（2020·河南高二月考（文））命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】

命题“，”的否定是“，”

故选：C

4．（2020·河南高三月考（理））若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，

所以，

两边平方化简得：，

所以，

故选：C

5．（2020·界首中学高二期中）已知，为单位向量，且，的夹角为，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【详解】

.

故选：C.

6．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三期中（理））已知，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，，，则，

当且仅当时取等号，

故选：C.

7．（2020·全国高三专题练习）武汉市从2020年2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等四类人员，强化网格化管理，不落一户､不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设事件：检测5个人确定为“感染高危户”，

事件：检测6个人确定为“感染高危户”，

∴，.

即，

设，则，

∴，

当且仅当，即时取等号，即，

故选：A

8．（2020·广西高三一模（理））已知＝，＝，＝，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

令，

则，

所以单调递减，，所以，

所以，

所以，即；

因为，所以，

又，所以，，所以，

所以；

所以.

故选：B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．（2020·湖北省孝感市第一高级中学高一期中）已知函数的图像如图所示，则（    ）

A．的单调增区间是

B．的解集是

C．的值域是

D．若，且，则

【答案】CD

【详解】

对于A，由图可知，的单调增区间是和，错误；

对于B，由图可知，的解集是，错误；

对于C，因为，

所以是偶函数，

由图可知时，，

因为的图象关于轴对称，

所以时，的值域为，故正确；

对于D，因为，且，

所以由图象可知，

由图象可知，故正确.

故选：CD.

10．（2020·桃江县第一中学高三期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的图象关于对称

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【详解】

对于A，若A成立，即，则是的对称中心，

当时，，不是的对称中心，A错误；

对于B，，其最小正周期为；

当时，，是的对称轴，即关于对称，B正确；

对于C，当时，，此时不单调递增，C错误；

对于D，当时，，此时，，

，，

，D正确.

故选：B D.

11．（2020·广东梅州市·高二期末）如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且，以下结论正确的有（    ）

A．

B．点A到所在平面的距离为定值

C．三棱锥的体积是正方体体积的

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

【答案】AB

【详解】

如图：

对于A，根据题意，，，平面，

所以，故A正确；

对于B，A到平面的距离是定值，所以点A到的距离为定值，故B正确；

对于C，三棱锥的体积为

，三棱锥的体积是正方体体积的，故C错误；

对于D，当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是，当在的中点时，F在的位置，异面直线AE，BF所成的角是，显然两个角不相等，命题D错误；

故选：AB

12．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线的右支上异于顶点的一个点，的内切圆的圆心为I，过作直线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则以下结论正确的是（    ）

A．的内切圆的园心I在直线上

B．

C．若，则的面积为

D．的内切圆与x轴的切点为

【答案】ABC

【详解】

解：设内切圆与边的切点为，与边的切点为，

与轴的切点为，

由切线长定理可得，，

，

又，

解得，则，即的横坐标为，即在直线上，故A正确；

延长交于，

可得为的垂直平分线，可得，且为的中点，

可得，而，可得，故B正确；

若，则，，

设，，，

△的面积为，

又，

可得，则，故C正确；

△的内切圆与轴的交点为，故D不正确．

故选：ABC．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2020·云南民族大学附属中学高三月考（理））检测600个某产品的质量（单位：g），得到的频率分布直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组所对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5~105.5之间的产品数为150，则质量在115.5~120.5的长方形高度为______.

【答案】

【详解】

由题意知产品质量在100.5～105.5之间的频率为，

则前3个矩形的面积和为，后两个矩形面积和为.

设中间矩形的面积为，则后两个矩形的面积为，，则，

所以，最后一个矩形的面积为，所以长方形高度为.

故答案为：.

14．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三期中（理））函数的零点个数为______________.

【答案】2

【详解】

令，可得，

所以函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题.

函数和的图象，如下图所示：

根据图象可得有两个交点，故原函数有两个零点.

故答案为：2.

15．（2020·湖南张家界市·高一期末）如图：某景区有景点A，B，C，D，经测量得，，，，，则__________. 现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A，D的视角，为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为__________.

【答案】       

【详解】

在中，，，，

由正弦定理得，即，得

在中，由，得为等边三角形，

可得；

以B为坐标原点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

由，得

在中，得，A点的坐标为，

，得D点的坐标为，

设，

， 由到角公式得

整理得：，

点在圆的一段圆弧上，以为圆心，以为半径，

长度的最小值：到圆心的距离减去半径，即

故答案为：；.

16．（2020·安徽合肥市·高三三模（文））已知长方体的棱，，点，分别为棱，上的动点.若四面体的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）

①存在点，使得；

②不存在点，使得；

③当点为中点时，满足条件的点有3个；

④当点为中点时，满足条件的点有3个；

⑤四面体四个面所在平面，有4对相互垂直.

【答案】①②④

【详解】

因为四面体的四个面都是直角三角形，所以为直角或为直角，

（若为直角，则为直角必为锐角三角形）

若为直角时，因为平面，则推得平面

因此平面平面，平面平面，平面平面，即仅有三对平面相互垂直，

同理，为直角时亦然，故⑤错误，

对①，在四面体中，有平面 ，

所以根据三垂线定理及其逆定理得，故存在，①正确；

对②，若，又因为，

则有平面，就有，

此时分别和重合，

则不是直角三角形，不符题意，故不存在，②正确；

对③，为中点时，若为直角，则满足条件的F只有一个，

若为直角，因为，即满足条件的F不存在，即③错；

对④，根据题意，若为直角， 因为,即满足条件的有2个，

若当为直角时有一解，故有1个，故④正确；

故答案为：①②④

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·江苏淮阴区·淮安田家炳中学高二期中）淮安市2019年新建住房面积为500万，其中安置房面积为200万.计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万.记2019年为第1年.

（1）我市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万？

（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.

【答案】（1）8年；（2）第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变，理由见解析.

【详解】

（1）设年内所建安置房面积之和首次不低于3000万，依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列，从而年内所建安置房面积之和为，则，整理得，，解得(舍去).

答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3000万.

（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1.1为公比的等比数列，

设第年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为，

则，

由得，，解得.

答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变.

18．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三期中（理））设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.

（1）求角的值；

（2）若，，求（其中）．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由题意得：，

即，，

，，，.

（2），，

又，，

由得：.

19．（2020·云南衡水呈贡实验中学高二期中（文））某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，…分成5组，制成如图所示频率分布直方图.

（1）求图中x的值；

（2）求这组数据的平均数；

（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率.

【答案】（1）0.01；（2）77；（3）.

【详解】

解：（1）由，解得；

（2）这组数据的平均数为；

（3）满意度评分值在内有人，男生数与女生数的比为3：2，故男生3人，女生2人，记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，

从5人中抽取2人有：，，，，，，，，， ，所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件：，，，，，，共6个，所以 .

20．（2020·天津市咸水沽第一中学高二期中）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）；

【详解】

（1）作于E，于D， 即，，在△中，由余弦定理知：，则，

∴在中，；在中，；而，，

∴，即，，又，

∴平面；

（2）构建以中点O为原点，为x，y轴正方向，垂直于且同方向作为z轴正方向，如下图示，

则，可令，

∴，

若为面的一个法向量，则，令，即，

∴，即直线与平面所成的角的正弦值为.

21．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）对于任意均有恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【详解】

（1），

时，，所以的单调增区间是；

时，令，解得（舍去），所以时，， 时，，

所以的单调减区间是，单调增区间是；

（2）由可得，

只需证明当时，恒成立，等价于，

令，则，设，对称轴，

故有.

记，，

所以在单调递增，且.故有，于是恒成立.

由此.

22．（2020·上海市七宝中学高三期中）已知双曲线过点，且右焦点为.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，，求证：为定值.

（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积；

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【详解】

（1）由题意，双曲线过点，且右焦点为.

可得且，又由，解得，

所以双曲线的方程为；

（2）设，

由题意得直线的斜率存在，所以设直线，所以，

由，得，

所以，

由，，可得，

所以

，

所以，为定值.

（3）由（2）知，可得，

则，

所以

，

因为直线与双曲线的右支交于两点，

所以，可得，

所以

，

因为，所以，所以，

所以，证毕.