期末卷03 备战2021年高三数学期末全真模拟卷（八省新高考地区专版） （解析版）

2021年高三数学期末全真模拟卷03

（新高考地区专用）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】

这是一个全称命题,写否命题时,””改成””,大于等于改成小于.

【详解】

命题，，则为: ，.

【点睛】

本题考查了命题的否定,关键是抓住全称量词和特称量词进行互化.属基础题.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

将表示为，然后利用两角差的正弦公式结合特殊角的三角函数值可得出结果.

【详解】

由两角差的正弦公式可得，故选D.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题时要利用特殊角配凑所求角，结合两角和与差的公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.

3．若对于任意，且，都有，则实数的最大值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

从条件，都有，构造函数，可得函数在是增函数，利用导数求的单调区间，得a的不等式关系可得.

【详解】

设，，因为对于任意，且，都有，，所以，所以在是增函数.，令，,所以在是增函数,所以，

故选B.

【点睛】

本题考查函数的单调性，利用导数求函数的单调区间，将不等式两边化为同一函数的两个函数值，构造新函数是解题关键，属于中档题.

4．已知集合，，则(   )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

算出后可得它们的关系.

【详解】

，故，选B.

【点睛】

本题考查集合的运算及关系，属于基础题.

5．指数函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(    )

A．6 B．3 C．1 D．

【答案】B

【分析】

根据指数函数的底数的不同的取值范围进行分类讨论,结合题意求出的值,然后利用一次函数的单调性求出函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值.

【详解】

当时,指数函数y＝ax是单调递增函数,因此当指数函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值分别是,由题意可知：,所以函数在[0,1]上的最大值为：

；

当时,指数函数y＝ax是单调递减函数,因此当指数函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值分别是,由题意可知：舍去.

故选：B

【点睛】

本题考查了指数函数的单调性和一次函数的单调性,考查了分类思想,考查了数学运算能力.

6．若椭圆M与双曲线N:x2y2=1的离心率互为倒数,则M的方程不可能为(    )

A．x2+=1 B．+=1

C．+=1 D．+=1

【答案】D

【分析】

由双曲线N的离心率为,可得椭圆中a2=2b2,利用排除法可得结果.

【详解】

由双曲线N的离心率为,得椭圆M的离心率为=,

则a2=2b2,选项A、B、C中的椭圆方程都满足，只有选项D中椭圆方程不满足，

故选：D.

【点睛】

排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.

7．已知，，为一个非零向量，且使成立的实数对记为，则对于，下列说法中正确的是（    ）

A．一定不存在 B．存在且唯一

C．有时存在，有时不存在 D．存在但并不唯一

【答案】B

【分析】

根据,不共线以及平面向量基本定理可得.

【详解】

因为,,且,

所以,不共线,

所以根据平面向量基本定理可知,对平面内任一非零向量,都存在唯一实数对使得成立,

故选.

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理以及向量共线的坐标表示,属于基础题.

8．已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时,.若,是函数图像上的两个动点，点，则当的最小值为0时，函数的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

首先根据数量积最小值为 0，得到相切且垂直，再利用切点导数为斜率， 入手求得值,问题得解 ．

【详解】

解：如图， 显然的模不为 0 ，

故当最小值为0时,只能是图中的情况，此时，，且,与函数图象相切，根据对称性， 易得，

设，，

当时，

，

，

，

即，

，

，

当时，，递增，

故其最小值为：，

根据对称性可知， 函数在上最小值为．

故选．

【点睛】

此题考查了数量积，导数,指数函数单调性等，综合性较强，难度适中 ．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）选错不得分，选对部分得3分，全对得5分

9．已知集合中有且仅有一个元素，那么的值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】BC

【分析】

若A中有且仅有一个元素，分a＝0，和a≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a的值，从而可得结果．

【详解】

解：∵集合A＝{x|x∈R|（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＝0}中有且仅有一个元素，

∴方程（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＝0有且只有一个实数根；

∴①当a2﹣1＝0，a+1≠0时，a＝1；

②当a2﹣1≠0，

（a+1）2﹣4×（a2﹣1）＝0

解得，a＝﹣1（舍去）或a；

∴a＝1或．

故选BC

【点睛】

本题考查一元二次方程根的分布，考查分类讨论思想，属于常考题型.

10．（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（    ）

A．2 B． C．1 D．0

【答案】AB

【分析】

根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.

【详解】

依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；

当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．

故选AB．

【点睛】

本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.

11．在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是()

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】

先得到的轨迹方程为圆，与直线有交点，得到的范围，得到答案.

【详解】

所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形

即

在直线上，圆心距

计算得到

故答案选AB

【点睛】

本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到的轨迹方程是解题的关键.

12．已知函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则的一个取值可以为

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】

【分析】

本题首先可以将转化为，然后可以利用推导出，再然后通过得出，最后根据题意可知，通过计算即可得出结果。

【详解】

由得，即，

因为，所以，即

因为，所以，

因为对于任意的，方程仅有一个实数根，

所以，解得，

因为四个选项仅有在内，故选AB。

【点睛】

本题考查三角函数的相关性质，主要考查余弦函数的相关性质，能否根据题意得出并利用余弦函数性质得出的取值范围是解决本题的关键，考查化归与转化思想，考查推理能力，是难题。

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．已知集合，，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据交集的运算可直接得出结果．

【详解】

解：集合，，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查集合交集的运算，是基础题．

14．角终边上有点，且，则____________

【答案】

【分析】

根据构造方程，求出，根据的定义求得结果.

【详解】

由题意得：   

本题正确结果：

【点睛】

本题考查三角函数的定义问题，属于基础题.

15．已知函数（且）在上的值域是.若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据对数型函数的单调性及值域可求出的值，再结合指数函数图象平移即可得的取值范围.

【详解】

函数（且）在上的值域是

当时，单调递减

∴，无解

当时，单调递增，

∴，解得，

∵的图象不经过第一象限，∴

解得，即的取值范围是，

故答案为.

【点睛】

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

16．如图，二面角的大小是60°，线段.，

与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是        .

【答案】

【解析】

试题分析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，

在β内过C作l的垂线．垂足为D，

连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，

故∠ADC为二面角α-l-β的平面角，为60°，

又由已知，∠ABD=30°，

连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角

设AD=2，则AC=，CD=1

AB==4

∴sin∠ABC==；

故答案为．

考点：本题主要考查二面角的计算．

点评：基础题，本解法反映了求二面角方法的“几何法”—“一作、二证、三计算”．

四、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知复数．

（1）求复数z的实部和虚部．

（2）若，求实数a，b的值．

【答案】（1）的实部和虚部都是；（2）.

【分析】

（1）由复数的乘法和除法运算法则，即可求解；

（2）利用复数相等的定义，即可求解.

【详解】

（1），

复数z的实部和虚部都为1；

（2），

，解得，

所以.

【点睛】

本题考查复数的代数运算，考查由复数相等求参数，属于基础题.

18．若集合，.

（1）若，写出的子集；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），，，，，，，；（2）.

【分析】

（1）由得或所以，当时，化简,求出，写出子集即可；（2）由知，对集合中的元素个数分类讨论即可.

【详解】

（1），

若，

则

此时，

其子集为：，，，，，，，；

（2）若，

则，

①若中没有元素即，

则，

此时；

②若中只有一个元素，

则，此时，

集合，故舍；

③若中有两个元素，

则，此时.

因为中也有两个元素，且，

则必有，

由韦达定理得，无解，故舍.

综上所述，当时，.

所以实数的取值范围：.

【点睛】

本题主要考查了集合的并集运算，子集的概念，考查了分类讨论的思想，属于中档题.

19．已知，函数

（Ⅰ）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设正实数，求证：对上的任意两个实数，，总有成立

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【分析】

（Ⅰ）将问题转化为在上恒成立，可得，令，可判断出在上单调递增，即，从而可得的范围；（Ⅱ）构造函数，，且；利用导数可判断出在上是减函数，得到，经验算可知，从而可得，从而可证得结论.

【详解】

（Ⅰ）由题意知：

函数在上为减函数，即在上恒成立

即：在上恒成立

设

当时，单调递减，单调递增

在上单调递增       

即的取值范围为：

（Ⅱ）设，令：，

则

，令，则

在上为减函数   

，即

在上是减函数    ，即

时，

【点睛】

本题考查利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式成立的问题.本题证明不等式的关键是能够通过构造函数，将问题转化为求解新函数单调性和最值的问题，根据最值可证得对应的结论.

20．已知函数，的值域为集合，关于的不等式的解集为，集合，集合．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）根据指数函数性质，先求出，解指数不等式，求出，根据得，由此列出不等式求解，即可得出结果；

（2）先解分式不等式，求出，根据，分别讨论，两种情况，即可得出结果.

【详解】

（1）由对数函数的单调性可得，在上单调递增，

所以其值域，

又由可得：，即：，所以，

所以，

又所以可得：，

所以，所以，即实数的取值范围为．

（2）因为，所以有，所以，所以，

对于集合有：

①当时，即时，满足；

②当时，即时，所以有：

，

又因为，所以，

综上：由①②可得：实数的取值范围为．

【点睛】

本题主要考查由并集的结果求参数，考查由集合的包含关系求参数，涉及指数函数与对数函数的性质，以及分式不等式解法，属于常考题型.

21．已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据二倍角公式化简得到，再根据简单的三角方程及正切函数的图象可得，即可得到数列的通项公式；（2）化简  ，再裂项求法和即可.

试题解析：（1），由及得 ，数列是首项，公差的等差数列，所以．

（2） ， ．

【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：

①；②；

③；

④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

22．已知曲线在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) ，(2)

【解析】

【分析】

(1)由题意利用切线与导函数的联系和切线所经过的点即可确定a,b的值；

(2)将原问题转化为函数在给定区间上单调性的问题，利用导函数研究函数单调性的方法即可确定实数的取值范围.

【详解】

（1）由得，，

由题意得即，又，，

解得，.

（2）由（1）知，，

即为 ，

由知，上式等价于函数 在为增函数，

，即，令，，，

时，；时，；时，

在上单调递减，在上单调递增，

，则，即，所以实数的范围为.

【点睛】

本题主要考查导数研究函数的切线方程，导数研究恒成立问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

23．如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=，,∠ADC=，PA⊥平面ABCD且PA=.

(1)求直线AD到平面PBC的距离；

(2)求出点A到直线PC的距离；

(3)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为.

【答案】（1）（2）（3）存在，证明见解析.

【分析】

（1）直线AD到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离，作于，可证明AH的长为点A到平面PBC的距离，求解即可（2）作于,则AE的长即为点A到PC的距离，利用三角形面积的等积法即可求解（3）假设存在点F，由（2）知只需平面，转化为是否存在即可求解.

【详解】

（1）    作于，

由面ABCD，

，

，又，

平面PAB,

，又，

面PBC,

即AH的长为点A到平面PBC的距离，也即直线AD到平面PBC的距离，

在等腰中，，

所以直线AD到平面PBC的距离为.

（2）作于,则AE的长即为点A到PC的距离.

在中， ，

,

即点A到直线PC的距离为.

（3）假设在线段AD上是存在一点F，使点A到平面PCF的距离为，

设

过C作于M，在中，,

可得,，

所以，

由（2）知，若存在F,使得平面即可,

由条件可知，只需,则平面

设，则，

在中，由余弦定理可得，

若，在中，

,

即，

解得，

即在AD上存在一点F，当时，

，

又,,

平面，

，又，,

平面,即点A到平面PCF的距离为，

此时满足条件.

【点睛】

本题主要考查了点到面的距离，线到面的距离，点到线的距离，涉及线线垂直，线面垂直的判定与性质，属于难题.