2021年九年级中考数学复习试卷十二（含答案）

2021年九年级中考数学复习试卷
一、选择题：
1．在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
2．如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的主视图应是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算结果为﹣a8的是（　　）
A．（﹣a）3+（﹣a）5 B．（﹣a）3•（﹣a）5 C．（﹣a3）5 D．（﹣a）10÷（﹣a2）
4．我市5月的某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：29，20，27，22，24，26，27，则这组数据的中位数与众数分别是（　　）
A．24，27 B．26，27 C．26，24 D．20，24
5．下列说法正确的是（　　）
（1）整式2xy﹣8x2y+8x3y因式分解的结果是2xy（1﹣4x+4x2）；
（2）要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3；
（3）“x的2倍与5的和”用代数式表示是一次式；
（4）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×108平方千米．
A．（1）（4） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（3）（4）
6．如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B． C． D．
7．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根


8．如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（　　）

A．（a﹣2，b） B．（a+2，b） C．（﹣a﹣2，﹣b） D．（a+2，﹣b）
9．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC于点O，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中错误的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：（1）b2﹣4ac＞0；（2）abc＞0；（3）8a+c＞0；（4）6a+3b+c＞0，其中正确的结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：
11．计算：﹣25+（）﹣1﹣|﹣8|+2cos60°=　　　　　　．
12．下面图形：四边形，三角形，正方形，矩形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为　　　　　　．

13．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为　　　　　　．

14．实数m，n满足2m﹣n2=4，则y=m2+2n2+4m+1的最小值是　　　　　　．
15．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE=　　　　　　．

16．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的是　　　　　　．（填序号）
①AC⊥DE；② =；③CD=2DH；④ =．

三、解答题：
17．先化简，再求值：÷（x﹣1﹣），其中x是方程x2+x﹣6=0的根．








18．为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；
（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．




19．阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ
tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan（45°﹣30°）
===
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：sin15°；




（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，）






20．为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：
农产品种类
A
B
C
每辆汽车的装载量（吨）
4
5
6
（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车？
（2）如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案．









21．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y=的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y=的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值．




22．如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．
（1）分别求出线段AP、CB的长；
（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果tan∠E=，求DE的长．






23．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．
（1）求证：PB=PD．
（2）若DF：FA=1：2
①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；
②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．




24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C（0，2）．直线DB交y轴于点D，交抛物线于点P（）．
（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）点E是抛物线上的动点，若以A，B，P，E为顶点的四边形仅有一组对边平行，求点E的坐标；
（3）连接AP，点F在直线AP上，设点F到直线DB的距离为m，点F到点D的距离为n，求m+n的最小值．

　
参考答案
一、选择题：
1．在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
【考点】实数大小比较．
【专题】常规题型．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：﹣2＜0＜2＜3，最小的实数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了实数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．
　
2．如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的主视图应是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个上底在下的梯形．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
　
3．下列运算结果为﹣a8的是（　　）
A．（﹣a）3+（﹣a）5 B．（﹣a）3•（﹣a）5 C．（﹣a3）5 D．（﹣a）10÷（﹣a2）
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
【解答】解：A、（﹣a）3与（﹣a）5不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（﹣a）3•（﹣a）5=（﹣a）8，故本选项错误；
C、（﹣a3）5=﹣a15，故本选项错误；
D、（﹣a）10÷（﹣a2）=﹣a8，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知合并同类项的法则、同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方法则是解答此题的关键．
　
4．我市5月的某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：29，20，27，22，24，26，27，则这组数据的中位数与众数分别是（　　）
A．24，27 B．26，27 C．26，24 D．20，24
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：20，22，24，26，27，27，29，
则中位数为：26，
众数为：27．
故选B．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
　
5．下列说法正确的是（　　）
（1）整式2xy﹣8x2y+8x3y因式分解的结果是2xy（1﹣4x+4x2）；
（2）要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3；
（3）“x的2倍与5的和”用代数式表示是一次式；
（4）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×108平方千米．
A．（1）（4） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（3）（4）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；科学记数法—表示较大的数；列代数式；函数自变量的取值范围．
【分析】（1）利用提取公因式法以及公式法分解因式得出即可；
（2）利用函数自变量的取值范围判断出x的取值范围；
（3）根据题意直接列出代数式即可；
（4）利用科学记数法的表示方法求出即可．
【解答】解：（1）2xy﹣8x2y+8x3y=2xy（1﹣4x+4x2）=2xy（2x﹣1）2，故此选项错误；
（2）要使y=有意义，则x应该满足x≤3，且x≠0，故此选项错误；
（3）“x的2倍与5的和”用代数式表示为：2x+5是一次式，故此选项正确；
（4）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×108平方千米，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式和科学记数法、列代数式、函数自变量的取值范围等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
　
6．如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．
【专题】计算题．
【分析】根据P为第四象限点，得到横坐标大于0，纵坐标小于0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，表示在数轴上即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：，
由①得：x＞﹣3；由②得：x＜4，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜4，表示在数轴上，如图所示：
．
故选C．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组，以及点的坐标，列出不等式组是本题的突破点．
　
7．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式；三角形三边关系．
【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．
能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．
【解答】解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），
根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．
∴△＜0．
∴该方程没有实数根．
故选A．
【点评】本题是方程与几何的综合题．
主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．
　
8．如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（　　）

A．（a﹣2，b） B．（a+2，b） C．（﹣a﹣2，﹣b） D．（a+2，﹣b）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】压轴题．
【分析】先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解．
【解答】解：由图可知，△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，
设点P′的坐标为（x，y），
所以， =﹣1， =0，
解得x=﹣a﹣2，y=﹣b，
所以，P′（﹣a﹣2，﹣b）．
故选C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是（﹣1，0）是解题的关键．
　
9．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC于点O，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中错误的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】根据折叠的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可．
【解答】解：①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误；
②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知）
∵OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL），
则全等三角形共有4对，故②正确；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，
∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD为三角形ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
易得∠BDF=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，故④正确；
⑤连接CF，∵△AOF和△COF等底同高，
∴S△AOF=S△COF，
∵∠AEF=∠ACD=45°，
∴EF∥CD，
∴S△EFD=S△EFC，
∴S四边形DFOE=S△COF，
∴S四边形DFOE=S△AOF，
故⑤正确；
故错误的有2个．
故选：B．

【点评】此题考查了由折叠得到的相关问题；注意由对称也可得到一对三角形全等；用到的知识点为：三角形的中线把三角形分成面积相等的2部分；两条平行线间的距离相等．
　
10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：（1）b2﹣4ac＞0；（2）abc＞0；（3）8a+c＞0；（4）6a+3b+c＞0，其中正确的结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】二次函数图象与系数的关系；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】推理填空题．
【分析】根据图象的开口向上，与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，交y轴的负半轴于一点，得到b2﹣4ac＞0，a＞0，c＜0，﹣ =1，推出b＜0，得出abc＞0；把x=4代入得到y=16a﹣8a+c=8a+c＞0；把b=﹣2a代入得到6a+3b+c=c＜0；根据所得的结论判断即可．
【解答】解：∵图象的开口向上，与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，交y轴的负半轴于一点，
∴（1）b2﹣4ac＞0，正确；
a＞0，c＜0，﹣ =1，
∴b=﹣2a，
∴b＜0，
∴abc＞0，∴（2）正确；
把x=4代入得：y=16a+4b+c=16a﹣8a+c=8a+c＞0，∴（3）正确；
把b=﹣2a代入得：6a+3b+c=c＜0，∴（4）错误．
故选B．
【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，根的判别式，抛物线与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．
　
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算：﹣25+（）﹣1﹣|﹣8|+2cos60°=　﹣33　．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣32+2﹣4+2×
=﹣32+2﹣4+1
=﹣33．
故答案为：﹣33．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
12．下面图形：四边形，三角形，正方形，矩形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为　　．
【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．
【分析】四边形，三角形，正方形，矩形，平行四边形，圆，中任取一个图形共有6个结果，且每个结果出现的机会相同，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的正方形，矩形，圆三个，从而得出答案．
【解答】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的是：正方形，矩形，圆，
则从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为： =．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正确认识轴对称图形和中心对称图形以及理解列举法求概率是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
13．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为　　．

【考点】锐角三角函数的定义；等腰直角三角形．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB2，BC2，AC2，再根据勾股定理逆定理可证明∠BCA=90°，然后得到∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数可得∠ABC的正弦值．
【解答】解：AB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC=22+12=5，
∴AC=CB，BC2+AC2=AB2，
∴∠BCA=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABC的正弦值为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数．
　
14．实数m，n满足2m﹣n2=4，则y=m2+2n2+4m+1的最小值是　13　．
【考点】二次函数的最值．
【分析】把2m﹣n2=4变形为n2=2m﹣4，代入函数关系式，运用配方法把解析式化为顶点式，求出最小值即可．
【解答】解：∵2m﹣n2=4，∴2m=n2+4，
∴m的最小值是2，
∵2m﹣n2=4，∴n2=2m﹣4，
∴y=m2+2n2+4m+1
=m2+4m﹣8+4m+1
=（m+4）2﹣23，
∴当m=2时，y的最小值是13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是二次函数的最小值的确定，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
　
15．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE=　5　．

【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
【分析】首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．
【解答】解：由圆周角定理可知，∠E=∠C，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠E=∠C，
∴△ABE∽△ACD．
∴AB：AD=AE：AC，
∵AB=4，AC=5，AD=4，
∴4：4=AE：5，
∴AE=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ADC∽△ABE．
　
16．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的是　①③④　．（填序号）
①AC⊥DE；② =；③CD=2DH；④ =．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．
【分析】在等腰直角△ADE中，根据等腰三角形三线合一的性质可得AH⊥ED，即AC⊥ED，判定①正确；进而可判定③；因为△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°所以EC=2EH，因为∠ECB=15°，所以EC≠4EB，所以不成立②错误；根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE为等边三角形，判定③正确；过H作HM⊥AB于M，所以HM∥BC，所以△AMH∽△ABC，利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之比即可判定④正确．
【解答】解：∵AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠BAD=90°，
又∵AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故①正确；
∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°，
∴EC≠4EB，
∴EH≠2EB；故②错误．
∵由证①中已知，∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，
，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，
∴∠CED=180°﹣∠BEC﹣∠AED=180°﹣75°﹣45°=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH，故③正确；
过H作HM⊥AB于M，
∴HM∥BC，
∴△AMH∽△ABC，
∴，
∵∠DAC=∠ADH=45°，
∴DH=AH，
∴，
∵△BEH和△CBE有公共底BE，
∴，故④正确，
故答案为：①③④．

【点评】此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．熟记各性质是解题的关键．
　
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．先化简，再求值：÷（x﹣1﹣），其中x是方程x2+x﹣6=0的根．
【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=，
由x2+x﹣6=0，得x=﹣3或x=2（原分式无意义，舍去），
则当x=﹣3时，原式=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
　
18．为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；
（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．
【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
【专题】计算题；图表型．
【分析】（1）根据留守儿童有6名的班级有4个，占20%，可求得有留守儿童的班级总数，再求得留守儿童是2名的班数；
（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列出树状图可得出来自一个班的共有4种情况，则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．
【解答】解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个），
只有2名留守儿童的班级个数为：20﹣（2+3+4+5+4）=2（个），
该校平均每班留守儿童的人数为：
=4（名），
补图如下：
；

（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，

由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班的共有4种情况，
则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为： =．
【点评】本题是一道统计题，考查了条形统计图和扇形统计图，及树状图的画法，是重点内容，要熟练掌握．
　
19．阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ
tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan（45°﹣30°）===
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）把15°化为45°﹣30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβcosasinβ计算，即可求出sin15°的值；
（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．
【解答】解：（1）sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=﹣=；

（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，
∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°．
∵tan75°=tan（45°+30°）===2+，
∴BE=7（2+）=14+7，
∴AB=AE+BE=1.62+14+7≈27.7（米）．
答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．
【点评】本题考查了：
（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．
（2）解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键．
　
20．为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：
农产品种类
A
B
C
每辆汽车的装载量（吨）
4
5
6
（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车？
（2）如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案．
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．等量关系：40辆车都要装运，A、B、C三种农产品共200吨；
（2）关系式为：装运每种农产品的车辆数≥11．
【解答】解：（1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则
，
解得．
答：装运A、B两种农产品各需13、14辆汽车；

（2）设装运A、B两种农产品各需a、b辆汽车．则
4a+5b+6（40﹣a﹣b）=200，
解得：b=﹣2a+40．
由题意可得如下不等式组：，
解得：11≤a≤14.5
因为a是正整数，
所以a的值可为11，12，13，14共4个值，因而有四种安排方案．
方案一：11车装运A，18车装运B，11车装运C
方案二：12车装运A，16车装运B，12车装运C．
方案三：13车装运A，14车装运B，13车装运C．
方案四：14车装运A，12车装运B，14车装运C．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装载的几种方案是解决本题的关键．
　
21．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y=的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y=的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=，可求出k的值；
（2）根据反比例函数得性质求解；
（3）P，Q关于原点对称，则PQ=2OP，设P（a，），根据勾股定理得到OP==，从而得到OP最小值为，于是可得到线段PQ长度的最小值．
【解答】解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=，
∴m=；
∴点A的坐标为（2，），
把A（2，）代入y=，得=
∴k=1；
（2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=，
又∵反比例函数y=，在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1；
（3）由图象可得：P，Q关于原点对称，
∴PQ=2OP，
反比例函数解析式为y=，设P（a，），
∴OP==，
∴OP最小值为，
∴线段PQ长度的最小值为2．

【点评】本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了三角形的面积公式以及代数式的变形能力．
　
22．如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．
（1）分别求出线段AP、CB的长；
（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果tan∠E=，求DE的长．

【考点】切线的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP=AB=2；
（2）易得OP为△ABC的中位线，则OP=BC=1，再计算出==，根据相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD=，然后根据平行线分线段成比例定理得=，再利用比例性质可计算出DE=．
【解答】（1）解：∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，
∴BC==2，
∵直径FG⊥AB，
∴AP=BP=AB=2；

（2）证明∵AP=BP，AO=OC
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP=BC=1，
∴=，
而==，
∴=，
∵∠EOC=∠AOP，
∴△EOC∽△AOP，
∴∠OCE=∠OPA=90°，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（3）解：∵BC∥EP，
∴∠DCB=∠E，
∴tan∠DCB=tan∠E=
在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，
∴BD=3，
∴CD==，
∵BC∥EP，
∴=，即=，
∴DE=．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．
　
23．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．
（1）求证：PB=PD．
（2）若DF：FA=1：2
①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；
②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；菱形的性质．
【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出即，即可得出答案；
②由（1）证得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根据平行线的性质，得到∠G=∠ABP，（Ⅰ）若DG=PG根据△DGP∽△EBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=，于是得到结论；
（Ⅱ）若DG=DP，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，求得FH=，得到tan∠DAB==．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC平分∠DAB，
∴∠DAP=∠BAP，
在△APB和△APD中，
，
∴△APB≌△APD，
∴PB=PD；
（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AFP∽△CBP，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知PB=PD，
∴，
∴PF=PD．
②由（1）证得△APB≌△APD，
∴∠ABP=∠ADP，
∵GC∥AB，
∴∠G=∠ABP，
∴∠ADP=∠G，
∴∠GDP＞∠G，
∴PD≠PG．
（Ⅰ），若DG=PG，
∵DG∥AB，
∴△DGP∽△EBP，
∴PB=EB，
由（2）知，设PF=2a，
则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，
由△DGP∽△EBP，得DG=a，
∴AB=AD=2DG=9a，
∴AF=6a，
如图1，作FH⊥AB于H，设AH=x，

则（6a）2﹣x2=（5a）2﹣（9a﹣x）2，
解得x=a，∴FH=，
∴tan∠DAB=；
（Ⅱ）若DG=DP，如图2，

设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，
AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，
设AH=x，
∴（4m）2﹣x2=（5m）2﹣（6m﹣x）2，
解得x=m，
∴FH=，
∴tan∠DAB==．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
　
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C（0，2）．直线DB交y轴于点D，交抛物线于点P（）．
（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）点E是抛物线上的动点，若以A，B，P，E为顶点的四边形仅有一组对边平行，求点E的坐标；
（3）连接AP，点F在直线AP上，设点F到直线DB的距离为m，点F到点D的距离为n，求m+n的最小值．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y=ax2+1，然后把点P的坐标代入进行计算即可得解；求出抛物线与x轴的交点A、B，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线DB的解析式，令x=0求出y的值即可得到点D的坐标；
（2）根据四边形仅有一组对边平行，分①AP∥BE，求出直线AP的解析式，再根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BE的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标；②AB∥PE，根据抛物线的对称性可得点E与点P关于y轴对称；③BP∥AE，根据平行直线的解析式的k值相等求出AE的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标；
（3）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据点A、B、P的坐标可以求出∠APM=60°，∠BPM=30°，∠APN=30°，然后求出PA是∠BPN的平分线，过点F作FH⊥PN于点H，连接DF、DH，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FH=m，根据三角形的三边关系可得当点D、F、H三点共线时，m+n的值最小，此时，点F为直线AP与y轴的交点，m+n=PN，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点为C（0，2），
∴设抛物线的解析式是y=ax2+2，
又∵点P（4，﹣6）在抛物线上，
∴a（4）2+2=﹣6，
解得a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2；
令y=0，则﹣x2+2=0，
解得x1=﹣2，x2=2，
∴点A（﹣2，0），点B（2，0），
设直线DP的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线DP的解析式为y=﹣x+6，
令x=0，则y=6，
所以，点D的坐标为（0，6）；

（2）①AP∥BE时，设直线AP的解析式为y=ex+f，
则，
解得，
所以，直线AP的解析式为y=﹣x﹣2，
设直线BE的解析式为y=﹣x+g，
则﹣×2+g=0，
解得g=2，
所以，直线BE的解析式为y=﹣x+2，
解得，（为点B的坐标），
所以点E的坐标为（0，2）；
②AB∥PE时，∵抛物线关于y轴对称，
∴点E为点P（4，﹣6）关于y轴的对称点，
∴点E（﹣4，﹣6）；
③BP∥AE时，∵直线DP的解析式为y=﹣x+6，
∴设直线AE的解析式为y=﹣x+h，
则﹣×（﹣2）+h=0，
解得h=﹣6，
∴直线AE的解析式为y=﹣x﹣6，
解，得，（为点A坐标），
所以，点E坐标为（8，﹣30），
综上所述，点E坐标为（0，2），（﹣4，﹣6），（8，﹣30）；

（3）如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵A（﹣2，0），B（2，0），P（4，﹣6），
∴tan∠APM===，
tan∠BPM===，
∴∠APM=60°，∠BPM=30°，
∴∠APB=∠APM﹣∠BPM=60°﹣30°=30°，
又∵PN∥AM，
∴∠APN=∠PAM=90°﹣60°=30°，
∴∠APB=∠APN，
点F在直线AP上，过点F作FH⊥PN于点H，根据角平分线的性质可得FH=m，
连接DF、DH，根据三角形的三边关系，DF+FH＞DH，
即m+n＞DH，
所以，当点D、F、H三点共线时，m+n的最小值，
此时，点F为直线AP与y轴的交点，点H、N重合，
最小值m+n=6﹣（﹣6）=6+6=12．

【点评】本题是二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求函数解析式（二次函数与直线解析式），梯形的对边平行的性质，解直角三角形求锐角的度数，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，以及三角形的三边关系，（1）利用顶点式解析式求解比较简单，（2）要注意分底边的不同进行讨论，（3）根据求出的角度的相等的角，利用角平分线的性质是解题的关键．