2021年九年级中考数学复习试卷八（含答案）

2021年九年级中考数学复习试卷
一、选择题
1．给出四个数﹣1、0、3、﹣4，最大的数是（　　）
A．﹣1B．0C．3D．﹣4
2．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移3个长度单位，那么平移后对应的点A′的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，6）C．（1，3）D．（﹣2，1）
4．下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2=a5B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．a6b÷a2=a3bD．（﹣ab3）2=a2b6
5．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（　　）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．32 B．24 C．40 D．20
7．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q值分别是（　　）
A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，2
8．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）

A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）

A．CM=DMB． =C．∠ACD=∠ADCD．OM=MD
10．如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0解集是（　　）

A．x＞3B．﹣2＜x＜3C．x＜﹣2D．x＞﹣2
二、填空题
11．使分式有意义的x的取值范围是　　　　　　．
12．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约51 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为　　　　　　千克．
13．从某班全体学生中任意选取一名男生的概率为，则该班男、女学生的比为　　　　　　．
14．分解因式：3m2﹣3n2=　　　　　　．
15．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，A、B、P是⊙O上的点，则tan∠APB=　　　　　　．

16．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t≤8），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为　　　　　　．

三、解答题
17．解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7．



18．如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）用尺规作图作∠ABC的平分线交AD于E（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）
（2）求证：AB=AE．




19．先化简：（﹣）÷（x+1），然后从﹣1≤x≤2中选择一个合适的数代入求值．








20．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）九（1）班的学生人数为　　　　　　，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m=　　　　，n=　　　　，表示“足球”的扇形的圆心角是　　　　度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．




21．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．
（1）求k和m的值；
（2）求当x≥1时函数值y的取值范围．






22．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．





23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若sin∠BAD=，⊙O的半径为5，求DF的长．









24．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于　　　　　　，线段CE1的长等于　　　　　　；（直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；
（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）




25．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣3x+m经过点C（﹣2，6），与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D．
（1）求点A的坐标；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：△AEC是等腰直角三角形；
（3）连接AD交BC于点F，试问当﹣4＜x＜1时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABF相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


　
参考答案
一、选择题
1．给出四个数﹣1、0、3、﹣4，最大的数是（　　）
A．﹣1B．0C．3D．﹣4
【考点】有理数大小比较．
【分析】根据负数小于0，正数大于0，可得答案．
【解答】解：﹣4＜﹣1＜0＜3，
最大数是3，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．
　
2．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】四个几何体的左视图：球是圆，圆锥是等腰三角形，正方体是正方形，圆柱是矩形，由此可确定答案．
【解答】解：由图示可得：球的左视图是圆，圆锥的左视图是等腰三角形，正方体的左视图是正方形，圆柱的左视图是矩形，
所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体．
故选B．
【点评】本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
　
3．如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移3个长度单位，那么平移后对应的点A′的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，6）C．（1，3）D．（﹣2，1）
【考点】坐标与图形变化-平移．
【专题】探究型．
【分析】根据在平面直角坐标系中，左减右加，上加下减的特点，可以得到点A（﹣2，3）向右平移3个长度单位后对应的点A′的坐标．
【解答】解：点A（﹣2，3）向右平移3个长度单位后对应的点A′的坐标是（1，3），
故选C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是明确坐标平移的特点﹣左减右加，上加下减．
　
4．下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2=a5B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．a6b÷a2=a3bD．（﹣ab3）2=a2b6
【考点】整式的混合运算．
【分析】根据合并同类项判定选项A；根据完全平方公式判定选项B；根据单项式的除法法则判定选项C；根据积的乘方法则判定选项D；依此即可求解．
【解答】解：A、a3，a2不是同类项，不能合并，故选项错误；
B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故选项错误；
C、a6b÷a2=a4b，故选项错误；
D、（﹣ab3）2=a2b6，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，合并同类项，完全平方公式，单项式的除法以及积的乘方，一定要记准法则和公式才能做题．
　
5．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（　　）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
【考点】统计量的选择．
【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
　
6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．32B．24C．40D．20
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=8，BD=6，由菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB==5，
故菱形的周长为20，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，以及菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
　
7．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（　　）
A．1，﹣2B．﹣1，﹣2C．﹣1.2D．1，2
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，
所以p=﹣1，q=﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
　
8．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）

A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据折叠可得AD=BD，再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．
【解答】解：根据折叠可得：AD=BD，
∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm，
∴AD+DC=17﹣5=12（cm），
∵AD=BD，
∴BD+CD=12cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
　
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）

A．CM=DMB． =C．∠ACD=∠ADCD．OM=MD
【考点】垂径定理．
【专题】计算题．
【分析】由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
B为的中点，即=，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选：D
【点评】此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
　
10．如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞3B．﹣2＜x＜3C．x＜﹣2D．x＞﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】压轴题．
【分析】看在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：∵直线y=kx+b交x轴于A（﹣2，0），
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，
故选：D．
【点评】此题主要考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值大于0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
　
二、填空题(本题共6题，每小题4分，共24分)
11．使分式有意义的x的取值范围是　x≠3　．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解．
【解答】解：分式有意义，则x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
　
12．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约51 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为　5.1×1010　千克．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将51 000 000 000万用科学记数法表示为：5.1×1010．
故答案为：5.1×1010．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
13．从某班全体学生中任意选取一名男生的概率为，则该班男、女学生的比为　　．
【考点】概率公式．
【分析】设男生x人，女生y人，根据概率的计算公式列式求得x与y的比值即可．
【解答】解：设男生x人，女生y人，
∵任意选取一名男生的概率为，
∴
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中，易错点是得到该班男生占全班同学的份数．
　
14．分解因式：3m2﹣3n2=　3（m+n）（m﹣n）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：3m2﹣3n2=3（m2﹣n2）=3（m+n）（m﹣n）．
故答案为：3（m+n）（m﹣n）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练运用平方差公式是解题关键．
　
15．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，A、B、P是⊙O上的点，则tan∠APB=　1　．

【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．
【专题】网格型．
【分析】先根据圆周角定理得到∠APB=∠AOB=45°，然后根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：∵∠AOB=90°，
∴∠APB=∠AOB=45°，
∴tan∠APB=tan45°=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了锐角三角函数的定义．
　
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t≤8），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为　2或6或3.5或4.5　．

【考点】三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．
【专题】动点型；分类讨论．
【分析】先求出AB的长，再分①∠BDE=90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED=90°时，利用∠B的余弦列式求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=BC÷cos60°=2÷=4，
①∠BDE=90°时，
∵D为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE=AB=×4=2，
点E在AB上时，t=2÷1=2秒，
点E在BA上时，点E运动的路程为4×2﹣2=6，
t=6÷1=6；
②∠BED=90°时，BE=BD•cos60°=×2×=0.5，
点E在AB上时，t=（4﹣0.5）÷1=3.5，
点E在BA上时，点E运动的路程为4+0.5=4.5，
t=4.5÷1=4.5，
综上所述，t的值为2或6或3.5或4.5．
故答案为：2或6或3.5或4.5．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解直角三角形，难点在于分情况讨论．
　
三、解答题（17～19每小题6分，20～22每小题6分，23～25每小题6分，共66分）
17．解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】探究型．
【分析】先去括号、移项、再合并同类项，化系数为1即可．
【解答】解：去括号得，5x﹣10+8＜6x﹣6+7，
移项得，5x﹣6x＜﹣6+7+10﹣8，
合并同类项得，﹣x＜3，
化系数为1得，x＞﹣3．
故此不等式的解集为：x＞﹣3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤，要根据各不等式的特点灵活应用．
　
18．如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）用尺规作图作∠ABC的平分线交AD于E（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）
（2）求证：AB=AE．

【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AB，BC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在△ABC内交于一点O，作射线BO，交AD于点E即可；
（2）利用角平分线的性质以及平行线的性质求出∠ABE=∠AEB即可得出答案．
【解答】（1）解：如图所示：

（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE．

【点评】本题考查了三角形的角平分线的画法以及角平分线的性质以及平行线的性质等知识，利用角平分线的性质得出解题关键．
　
19．先化简：（﹣）÷（x+1），然后从﹣1≤x≤2中选择一个合适的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=[﹣]•=•=，
由﹣1≤x≤2，可以取x=2，
则原式=．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
20．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）九（1）班的学生人数为　40　，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m=　10　，n=　20　，表示“足球”的扇形的圆心角是　72　度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可；
（2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到m、n的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以360°即可；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%=40（人），
喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16=40﹣32=8（人），
补全统计图如图所示；

（2）∵×100%=10%，
×100%=20%，
∴m=10，n=20，
表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°；
故答案为：（1）40；（2）10；20；72；

（3）根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P（恰好是1男1女）==．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
　
21．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．
（1）求k和m的值；
（2）求当x≥1时函数值y的取值范围．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=，可求出k的值；
（2）求出x=1时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【解答】解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=，
∴m=，
∴点A的坐标为（2，），
把A（2，）代入y=，得k=1；

（2）∵当x=1时，y=1，
又∵反比例函数y=在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥1时，y的取值范围为0＜y≤1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力．
　
22．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．
【解答】解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．
在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，
∴tan∠PAC=，
∴CP=AP•tan∠PAC=x．
在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，
∴BP=AP=x．
∵PC+BP=BC=30×，
∴x+x=15，
解得x=，
∴PB=x=，
∴航行时间：÷30=（小时）．
答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
　
23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若sin∠BAD=，⊙O的半径为5，求DF的长．

【考点】切线的判定；勾股定理；圆周角定理．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）根据AD∥OC可得∠A=∠COB，从而判定=；
（2）连接OD，只要证明∠CDO=90°即可；
（3）在△ADG中用勾股定理求解．
【解答】（1）证明：连接OD；
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB；
∵∠A=∠BOD，
∴∠BOC=∠BOD；
∴∠DOC=∠BOC；
∴，
则点E是的中点；

（2）证明：如图所示：
由（1）知∠DOE=∠BOE，
∵CO=CO，OD=OB，
∴△COD≌△COB；
∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°；
∴CD是⊙O的切线；

（3）解：在△ADG中，∵sinA=，
设DG=4x，AD=5x；
∵DF⊥AB，
∴AG=3x；
又∵⊙O的半径为5，
∴OG=5﹣3x；
∵OD2=DG2+OG2，
∴52=（4x）2+（5﹣3x）2；
∴x1=，x2=0；（舍去）
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×．

【点评】本题考查了圆周角的性质，切线的判定和勾股定理的运用．
　
24．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于　2　，线段CE1的长等于　2　；（直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；
（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）

【考点】几何变换综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；
（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；
（3）首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．
【解答】（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），
∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，
∴BD1==2，E1C==2；
故答案为：2，2；

（2）证明：当α=135°时，如图2，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，
∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，
在△D1AB和△E1AC中
∵，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS），
∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，
记直线BD1与AC交于点F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90°，
∴BD1⊥CE1；

（3）解：如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2，
故∠ABP=30°，
则PB=2+2，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．


【点评】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．
　
25．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣3x+m经过点C（﹣2，6），与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D．
（1）求点A的坐标；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：△AEC是等腰直角三角形；
（3）连接AD交BC于点F，试问当﹣4＜x＜1时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABF相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将点C（﹣2，6）代入解析式求出m的值，令y=0，求出A的坐标；
（2）根据两点间的距离公式求出AE、CE的长度，再根据股定理的逆定理判断出△AEC是等腰直角三角形；
（3）求出AD、BC的解析式组成方程组，解出F的坐标，根据三角形相似求出P点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣3x+m经过点C（﹣2，6），
∴﹣（﹣3）2﹣3×（﹣3）+m=6，
∴m=4，
∴y=﹣x2﹣3x+4，
∴当y=0时，﹣x2﹣3x+4=0，
∴x1=﹣4，x2=1，
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得，，
解得，；
∴直线BC的解析式为y=﹣2x+2，
∴点E的坐标为（0，2），
∴AE===2，CE==2；
∴AE=CE，
又∵AC2=（﹣2+4）2+（6﹣0）2=40，
AE2+CE2=（2）2+（2）2=40，
∴AC2=AE2+CE2，
∴△AEC为等腰直角三角形．

（3）设BC解析式为y=kx+b，
将（1，0），（﹣2，6）代入解析式得，
解得，，解析式为y=﹣2x+2；
设AD解析式为y=mx+n，
将A（﹣4，0），D（0，4）代入解析式得，
解得，，解析式为y=x+4；
将y=﹣2x+2和y=x+4组成方程组得，
解得，
则BF==，AF==；
又∵AB=5，BC==3；
∴=， =，
∴=，
∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA，
∴当点P与点C重合时，以A、B、P为顶点的三角形与△ABF相似．
又∵抛物线关于直线x=﹣对称，
当点P与点C的对称点重合时，以A、B、P为顶点的三角形也与△ABF相似．
∴当点P的坐标为（﹣1，6）或（﹣2，6）时，以A、B、P为顶点的三角形也与△ABF相似．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、两点间的距离公式、相似三角形等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．