2021年高考数学一轮复习夯基练习：等差数列及其前n项和(含答案)

夯基练习 等差数列及其前 n 项和一 、选择题1.若等差数列{an}中，已知a1=，a2＋a5=4，an=35，则n=(　　)A．50         B．51         C．52          D．53  2.在等差数列{an}中，an<0，a32＋a82＋2a3·a8=9，那么S10等于(　　).A.－9          B.－11            C.－13         D.－15  3.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=3a4，且S9=λa4，则λ的值为(　　)A．18          B．20            C．21          D．25  4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=S3=3，则S4的值为(　　)A．－3          B．0           C．3                D．6  5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则为(　　)A.        B.        C.        D.  6.如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有(　　)A．a1＋a8<a4＋a5 B．a1＋a8=a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5 D．a1a8=a4a5  7.已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则等于(      )A.           B.          C.－        D.－8.在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=(　　)A．-1         B．0         C．1          D．6  9.一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于(          )A.5              B.6               C.7                   D.810.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am-1＋am＋1-a=0，S2m-1=38，则m=(　　)A．38           B．20          C．10           D．9  11.若方程(x2-2x＋m)(x2-2x＋n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=(　　)A．1         B.         C.         D.  12.已知等差数列{an}中，a1=11，a5=－1，则{an}的前n项和Sn的最大值是(　　)A．15            B．20          C．26            D．30   二 、填空题13.在数列{an}中，a1=2,2an＋1=2an＋1(n∈N*)，则a101的值为________．14.已知数列{an}的通项公式为an=2n-30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10=________．  15.已知{}是等差数列，且a4=6，a6=4，则a10=____________.16.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4=1，S5=10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．   三 、解答题17.在等差数列{an}中，a3＋a1=8，且a=a2a9，求{an}的首项、公差及前n项和.   18.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，且S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．             19.在等差数列{an}中，已知d=2，an=11，Sn=35，求a1和n.     20.已知数列{an}，an∈N*，Sn是其前n项和，Sn=(an＋2)2.(1)求证{an}是等差数列；(2)设bn=an-30，求数列{bn}的前n项和的最小值．                 
参考答案1.答案为：D；解析：依题意，a2＋a5=a1＋d＋a1＋4d=4，将a1=代入，得d=.所以an=a1＋(n-1)d=＋(n-1)×=n-，令an=35，解得n=53.  2.答案为：D；解析：∵(a3＋a8)2=9，an<0，∴a3＋a8=－3.∴S10=－15. 3.答案为：A解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由a6=3a4，得a1＋5d=3(a1＋3d)，所以a1=－2d．由S9=λa4，得9a1＋36d=λ(a1＋3d)，代入a1=－2d，得λ=18．故选A．  4.答案为：B；解析：由S3=3a2=3，得a2=1，又a1=3，则公差d=－2，故S4=a1＋a2＋a3＋a4=3＋1＋(－1)＋(－3)=0，故选B．  5.答案为：A；解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因为S3=1，S6－S3=3－1=2，所以S9－S6=3，S12－S9=4.所以S12=S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)=1＋2＋3＋4=10.所以=.  6.答案为：B；解析：由等差数列的性质有a1＋a8=a4＋a5，故选B.  7.答案为：B；解析：设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1=d=－1，b2=－2，故知=.8.答案为：B；解析：由等差数列的性质得a6=2a4-a2=2×2-4=0，选B.  9.答案为：C；解析：由S3=S11及首项为正可知，d＜0，故知Sn=na1＋d=n2＋(a1-)n，是一个开口向下的抛物线，S3=S11告诉我们，抛物线的对称轴n=，故知数列的前n项和最大时的n等于7.10.答案为：C；解析：由等差数列的性质，得am-1＋am＋1=2am，∴2am=a.由题意得am≠0，∴am=2.又S2m-1===2(2m-1)=38，∴m=10.  11.答案为：C；解析：设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4=a2＋a3=2，再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d=2，因为a1=，所以d=，所以a2=＋=，a3=＋1=，a4=＋=，所以|m-n|=|a1a4-a2a3|==.  12.答案为：C；设数列{an}的公差为d，则d==－3，所以an=a1＋(n－1)d=－3n＋14，由⇒解得≤n≤，即n=4，所以{an}的前4项和最大，且S4=4×11＋×(－3)=26，故选C.   二 、填空题13.答案为：52；14.答案为：190；解析：an=2n-30，令an＜0，得n＜15，即在数列{an}中，前14项均为负数，所以S10=-(a1＋a2＋a3＋…＋a10)=-(a1＋a10)=-5[(-28)＋(-10)]=190.  15.2.4；解析： 16.答案为：4或5；解析：由解得所以a5=a1＋4d=0，所以S4=S5同时最大．所以n=4或5.   三 、解答题17.解：设{an}的公差为d，前n项和为Sn，则2(a1+d)=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d). ⇒a1+d=4,d(d-3a1)=0⇒a1=4,d=0或a1=1,d=3∴Sn=4n或.18.解：(1)因为a3=12，所以a1=12－2d，因为S12＞0，S13＜0，所以即所以－＜d＜－3.(2)因为S12＞0，S13＜0，所以所以所以a6＞0，又由(1)知d＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．  19.解：，得解得:n=5,a1=3或n=7,a1=-1. 20.解：(1)证明：当n=1时，a1=S1=(a1＋2)2，解得a1=2.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an＋2)2-(an-1＋2)2，即8an=(an＋2)2-(an-1＋2)2，整理得，(an-2)2-(an-1＋2)2=0，即(an＋an-1)(an-an-1-4)=0.∵an∈N*，∴an＋an-1>0，∴an-an-1-4=0，即an-an-1=4(n≥2)．故{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．(2)设{bn}的前n项和为Tn，∵bn=an-30，且由(1)知an=2＋(n-1)×4=4n-2，∴bn=(4n-2)-30=2n-31，故数列{bn}是单调递增的等差数列．令2n-31=0，得n=15，∵n∈N*，∴当n≤15时，bn<0；当n≥16时，bn>0，即b1<b2<…<b15<0<b16<b17<…，当n=15时，Tn取得最小值，最小值为T15=×15=-225.