2021年高考数学一轮复习夯基练习：二项分布及正态分布(含答案)

夯基练习 二项分布及正态分布

一 、选择题

1.设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)

A.μ1<μ2，σ1<σ2               B.μ1<μ2，σ1>σ2

C.μ1>μ2，σ1<σ2               D.μ1>μ2，σ1>σ2

2.设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)=，则P(η≥2)的值为(　　)

A.            B．         C.             D．

3.若随机变量X的密度函数为f(x)=·e－，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为(　　)

A.p1>p2             B.p1<p2                C.p1=p2             D.不确定

4.2018年1月某校高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N(100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为(　　)

A．80          B．100         C．120          D．200

5.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为0.683,0.955和0.997.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布N(165,52)，则适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制(　　)

A．683套           B．955套         C．972套           D．997套

6.经检测，有一批产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P(ξ=k)取得最大值时，k的值为(　　)

A．5           B．4          C．3           D．2

7.已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)=(　　)

A.            B．         C．4            D．

8.设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(　　)

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

D.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)

9.关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是(　　)

A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件

B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件

C.随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件

D.随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件

10.某厂生产的零件外径ξ～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm，则可认为(　　)

A.上午生产情况正常，下午生产情况异常

B.上午生产情况异常，下午生产情况正常

C.上午、下午生产情况均正常

D.上午、下午生产情况均异常

11.已知随机变量X，Y满足X＋Y=8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是(　　)

A．6和2.4          B．2和2.4         C．2和5.6          D．6和5.6

12.某种电路开关闭合后会随机出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率为，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，则开关在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次闭合后出现红灯闪烁的概率为(　　)

A.              B．              C.               D．

二 、填空题

13.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)=________.

14.设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量X(单位为：元)，经统计得X～N(520,14 400)，从该城市私家车中随机选取容量为10 000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有________辆.

15.设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<1)=，P(X>2)=p，则P(0<X<1)=_______.

16.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每个人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)=________.

三 、解答题

17.已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在[80，＋∞)上是减函数，且f(80)= .

(1)求概率密度函数；

(2)估计尺寸在72 ～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？

18.某班级准备从甲、乙两人中选一人参加某项比赛，已知在一个学期的10次考试中，甲、乙两人的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示.

(1)你认为选派谁参赛更合适？并说明理由．

(2)若从甲、乙两人10次的成绩中各随机抽取1次，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

19.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．

(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；

(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．

20.现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．

(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；

(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；

(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ=|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．

参考答案

1.答案为：A；

解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x=μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大， 越分散， 曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”， 由图可知σ1<σ2.

2.答案为：C.

解析：∵ξ～B(2，p)，P(ξ≥1)=，∴P(ξ≥1)=1－P(ξ＜1)=1－Cp0(1－p)2=，∴p=，

∴P(η≥2)=1－P(η=0)－P(η=1)=1－C×0×3－C×1×2=1－－=，故选C.

3.答案为：C；

解析：由正态曲线的对称性及题意知：μ=0，σ=1，所以曲线关于直线x=0对称，所以p1=p2.

4.答案为：D.

解析：∵X～N(100，σ2)，∴其正态曲线关于直线X=100对称，

又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，

由对称性知成绩不低于120分的学生人数约为总人数的×=，

∴此次考试成绩不低于120分的学生人数约为×1 600=200.故选D.

5.答案为：B.

设学生的身高为随机变量ξ，

则P(155＜ξ＜175)=P(165－5×2＜ξ＜165＋5×2)=P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)=0.955.

因此适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制1 000×0.955=955(套)．故选B.

6.答案为：B.

解析：根据题意得，P(ξ=k)=Ck5－k，k=0,1,2,3,4,5，

则P(ξ=0)=C0×5=，P(ξ=1)=C1×4=，P(ξ=2)=C2×3=，

P(ξ=3)=C3×2=，P(ξ=4)=C4×1=，P(ξ=5)=C5×0=，

故当k=4时，P(ξ=k)最大．

7.答案为：B.

解析：由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X=3)==，P(X=4)==，

P(X=5)==，所以E(X)=3×＋4×＋5×=.

8.答案为：D；

解析：由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)=，P(Y≥μ1)＞，

故P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A错；

因为σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；

对任意正数t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错；

对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选D.

9.答案为：D；

解析：∵P(μ－3σ<X<μ＋3σ)=0.997 4.

∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)=1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)=1－0.997 4=0.002 6.

∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件.

10.答案为：A；

解析：因测量值ξ为随机变量，又ξ～N(10,0.04)，所以μ=10，σ=0.2，

记I=(μ－3σ，μ＋3σ)=(9.4,10.6)，9.9∈I,9.3∉I，故选A.

11.答案为：B.

解析：∵随机变量X，Y满足X＋Y=8，X～B(10，0.6)，

∴E(X)=10×0.6=6，D(X)=10×0.6×0.4=2.4，

则E(Y)=E(8－X)=8－E(X)=8－6=2，D(Y)=D(8－X)=D(X)=2.4.故选B.

12.答案为：C.

解析：设“开关第一次闭合后出现红灯闪烁”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯闪烁”为事件B，

则“开关两次闭合后都出现红灯闪烁”为事件AB，

“开关在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次闭合后出现红灯闪烁”为事件B|A，

由题意得P(A)=，P(AB)=，∴P(B|A)==，故选C.

二 、填空题

13.答案为：；

解析：由题意知曲线关于x=2对称，因此P(X<2)=.

14.答案为：6 826；

解析：由已知得：μ=520，σ=120，∴P(400<X<640)=P(520－120<X<520＋120)=0.682 6，∴每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有：0.682 6×10 000=6 826.

15.答案为：－p；

解析：∵随机变量X～N(μ，σ2)，

∴随机变量服从正态分布，x=μ是图象的对称轴，∵P(X<1)=，∴μ=1.

∵P(X>2)=p，∴P(X<0)=p，则P(0<X<1)=－p.

16.答案为：；

解析：甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙两人从另外两个景点中选择，

所以甲独自去一个景点的可能情况共有3×2×2=12(种)．

因为三个人去的景点不同的可能情况共有3×2×1=6(种)，所以P(A|B)==.

三 、解答题

17.解：

(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在[80，＋∞)上是减函数，

所以正态曲线关于直线x=80对称，且在x=80处取得最大值，

因此得μ=80，

因为=，所以σ=8.

故概率密度函数解析式是φμ，σ(x)=e－.

(2)由μ=80，σ=8，得μ－σ=80－8=72，

μ＋σ=80＋8=88，

∴零件尺寸X位于区间(72,88)内的概率是0.682 6，

因此尺寸在72～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.

18.解：

(1)根据茎叶图可知，甲的平均成绩甲==89.4，

乙的平均成绩乙==89，

甲的平均成绩略大于乙的平均成绩．

又甲的成绩的方差s=[(79－89.4)2＋(85－89.4)2＋(86－89.4)2＋(88－89.4)2＋(88－89.4)2＋(88－89.4)2＋(94－89.4)2＋(95－89.4)2＋(95－89.4)2＋(96－89.4)2]=27.24，

乙的成绩的方差s=[(74－89)2＋(78－89)2＋(85－89)2＋(86－89)2＋(88－89)2＋(92－89)2＋(93－89)2＋(97－89)2＋(98－89)2＋(99－89)2]=64.2，

故甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，

因此选派甲参赛更合适．

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==.

随机变量X的分布列为

数学期望E(X)=0×＋1×＋2×=.

19.解：(1)P(A)==.

因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．

所以P(B)==.

当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)=.

(2)由(1)知P(B|A)===.

20.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为，去参加乙项目联欢的概率为.

设“这4个人中恰好有i人去参加甲项目联欢”为事件Ai(i=0,1,2,3,4)，

则P(Ai)=Ci·4－i.

(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)=C2×2=.

(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B，

则B=A3∪A4，故P(B)=P(A3)＋P(A4)=C3×＋C4=.

所以，这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为.

(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.

P(ξ=0)=P(A2)=，P(ξ=2)=P(A1)＋P(A3)=，P(ξ=4)=P(A0)＋P(A4)=.

所以ξ的分布列为