2021年高考数学一轮复习夯基练习：坐标系与参数方程(含答案)

夯基练习 坐标系与参数方程

一 、选择题

1.已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是(　　)

A．(1,0,0)      B．(0,1,0)      C．(0,0,1)      D．(1，π，0)

2.下列各点中，在圆的摆线(φ为参数)上的是(　　)

A．(π，0)         B．(π，1)         C．(2π，2)      D．(2π，0)

3.点P(x，y)是椭圆2x2＋3y2=12上的一个动点，则x＋2y的最大值为(　　)

A．           B．22          C．          D．4

4.点M的球坐标为，则它的直角坐标为(　 　)

A．(－3，，2)   B．(3，，4)  C．(－3，－，2)  D．(－3，，－2)

5.已知摆线的参数方程是(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度和高度分别是(　　)

A．2π，2       B．2π，4         C．4π，2          D．4π，4

6.在极坐标系中与点A重合的点是(　　)

A．           B．       C．        D．

7.已知点M的极坐标为，那么将点M的极坐标化成直角坐标为(　　)

A．        B．      C．         D．

8.双曲线(θ为参数)的渐近线方程为(　　)

A．y=±x         B．y=±x      C．y=±x         D．y=±2x

9.曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是(　　)

A．(x－1)2(y－1)=1(y<1)         B．y=(y<1)

C．y=－1(y<1)          D．y=－1(y<1)

10.曲线C: (α为参数)的离心率为(　　)

A．              B．              C．              D．

11.极坐标方程ρ=cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)

A．圆、直线       B．直线、圆         C．圆、圆          D．直线、直线

12.已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为(　　)

A．P(5,1,1)，B

B．P(1,1,5)，B

C．P，B(1,1,5)

D．P(1, 1,5)，B

二 、填空题

13.将曲线ρ2(1＋sin2θ)=2化为直角坐标方程为_____________．

14.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin  θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为                 .　

15.曲线(α为参数)与曲线(β为参数)的离心率分别为e1和e2，则e1＋e2的最小值为________．

16.以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为Oxy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为Ozx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．

三 、解答题

17.已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y=0上的动点．

(1)求2x＋y的取值范围；

(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．

18.求直线(t为参数)被曲线ρ=cos(θ＋)所截的弦长．

19.求4x2－9y2=1经过伸缩变换后的图形所对应的方程．

20.设点M的直角坐标为(1,1，)，求点M的柱坐标与球坐标．

参考答案

1.答案为：A；

解析：设点M的球坐标为(γ，φ，θ)，则r==1，φ=0，θ=0，故选A．

2.答案为：B；

3.答案为：A；

解析：椭圆方程为＋=1，设P(cos θ，2sin θ)，

则x＋2y=cos θ＋4sin θ=sin(θ＋φ)，

故x＋2y≤.x＋2y的最大值为.

4.答案为：A；

解析：由x=4sin   cos  =－3，y=4sin   sin   =，z=4cos  =2，

得点M的直角坐标为(－3，，2)．故选A．

5.答案为：D；

解析：由摆线的参数方程可知，产生摆线的圆的半径r＝2，又由摆线的产生过程可知，

摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4，故选D．

6.答案为：C；

解析：在极坐标系中与点A重合的点是，故选C．

7.答案为：D；

解析：由点M的极坐标为，得xM=5cos π=-，yM=5sin =，

∴M点的直角坐标为.　

8.答案为：D；

解析：把参数方程化为普通方程得－x2=1，渐近线方程为y=±2x.

9.答案为：B；

解析：由x=1－，得t=，故y=1－=，又y=1－t2，t≠0，故y＜1，

因此所求的普通方程为y=(y＜1)．

10.答案为：A；

解析：由题设得＋=1，∴a2=9，b2=5，c2=4.∴e==.故选A．

11.答案为：A；

解析：由ρ=cos θ，得x2＋y2=x，∴ρ=cos θ表示一个圆．由得到3x＋y=－1，

表示一条直线．

12.答案为：B；

解析：设点P的直角坐标为(x，y，z)，则x=cos=×=1，y=sin=1，z=5.

设点B的直角坐标为(x′，y′，z′)，则

x′=sincos=××=，

y′=sinsin=××=，

z′=cos=×=.

所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为.

二 、填空题

13.答案为：＋y2=1；

解析：

将ρ2=x2＋y2，y=ρsin θ代入ρ2＋ρ2sin2θ=2中得x2＋y2＋y2=2，即＋y2=1.

14.答案为：x2＋y2－4x－2y=0.

解析：由ρ=2sin θ＋4cos θ得ρ2=2ρsin θ＋4ρcos θ，

又x=ρcos θ，y=ρsin θ，所以该曲线的直角坐标方程为x2＋y2－4x－2y=0.

15.答案为：2；

解析：曲线(α为参数)的离心率e1=，

曲线(β为参数)的离心率e2=，

∴e1＋e2=≥=2.

当且仅当a=b时取等号，所以最小值为2.

16.答案为：；

解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.

三 、解答题

17.解：

方程x2＋y2－2y=0变形为x2＋(y－1)2=1，

其参数方程为(θ为参数)．

(1)2x＋y=2cos θ＋sin θ＋1=sin(θ＋φ)＋1(其中φ由tan φ=2确定)，

所以1－≤2x＋y≤1＋.

(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R恒成立．

因为－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1，

所以当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．

18.解：

将方程ρ=cos (θ＋)分别化为普通方程

3x＋4y＋1=0，x2＋y2－x＋y=0，

圆心C(，－)，半径为，圆心到直线的距离d=，

弦长=2=2=.

19.解：

由伸缩变换得

将其代入4x2－9y2=1，

得4·(x′)2－9·(y′)2=1.

整理得：x′2－y′2=1.

∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′2－y′2=1.

20.解：由坐标变换公式，可得ρ==，tan θ==1，θ=.

(点(1,1)在平面xOy的第一象限)，r===2.

由rcos φ=z=，得cos φ==，φ=.

故点M的柱坐标为，点M的球坐标为.