2021年高考数学一轮复习夯基练习：正弦定理和余弦定理(含答案)

夯基练习 正弦定理和余弦定理

一 、选择题

1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B等于(　　)

A.             B．          C.             D．

2.在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)

A.          B.          C．2          D．2

3.在△ABC中，a=bsin A，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形       B．直角三角形       C．钝角三角形       D．等腰三角形

4.在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=(　　)

A．1          B．2          C．3          D．4

5.在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是(　　)

A．a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C

B．a=b⇔sin 2A=sin 2B

C.=

D．正弦值较大的角所对的边也较大

6.已知三角形面积为0.25，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　)

A.1          B.2            C.0.5           D.4

7.已知三角形的三边长分别是a，b，，则此三角形中最大的角是(　　)

A．30°        B．60°          C．120°         D．150°

8.在△ABC中,若,则∠B的值为(　　)

A.30°        B.45°       C.60°        D.90°

9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2=bc，sinC=2sinB，则A=(　　)

A.30°        B.60°          C.120°       D.150°

10.以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是(　　)

A．在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C

B．在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则a=b

C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B都成立

D．在△ABC中，=

11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，a=，b=1，则c等于(　　)

A.1         B.2        C.－1      D.

12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a=2b，则的值为(　　)

A.            B.             C．1               D.

二 、填空题

13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=5，B=，△ABC的面积为，则cos 2A=________．

14.在△ABC中，若B=30°，b=2，则=________.

15.已知△ABC的三个内角为A、B、C，所对的三边分别为a、b、c，若三角形ABC的面积为S=a2－(b－c)2，则tan等于________.

16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若且则△ABC的面积等于________.

三 、解答题

17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.

(1)求sin Bsin C；

(2)若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长．

18.在△ABC中，已知sin2 B－sin2 C－sin2 A=sin Asin C．求B的度数．

19.在△ABC中，已知sin2 B－sin2 C－sin2 A=sin Asin C，求B的度数．

20.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且acosB＋bsinB=c．

(1)求C的大小；

(2)若B=，延长线段AB至点D，使得CD=，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．

参考答案

1.答案为：C.

解析：根据正弦定理===2R，得==，

即a2＋c2－b2=ac，得cos B==，又0＜B＜π，所以B=，故选C.

2.答案为：B；

解析：S=×AB·ACsin 60°=×2××AC=，所以AC=1，

所以BC2=AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°=3，所以BC=.

3.答案为：B；

解析：由正弦定理得：==2R，由a=bsin A得：2Rsin A=2Rsin B·sin A，

所以sin B=1，所以B=.

4.答案为：A；

解析：由余弦定理得13=9＋AC2＋3AC⇒AC=1，选A.

5.答案为：B；

解析：在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，

则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C，故a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C，故A正确．

当A=30°，B=60°时，sin 2A=sin 2B，此时a≠b，故B错误．

根据比例式的性质易得C正确．大边对大角，故D正确．

6.答案为：A

7.答案为：C；

解析：因为＞a，＞b，所以最大边是，

设其所对的角为θ，则cos θ==－，θ=120°.

8.答案为：B

9.答案为：A；

10.答案为：B；

解析：对于A：a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C，∴A正确．

对于B：∵sin 2B=sin(π－2B)，∴sin 2A=sin(π－2B)也成立，

此时2A=π－2B，∴A＋B=，∴A=B不一定成立，∴a=b不一定成立．∴B不正确．

对于C：①若A，B均为锐角，结论显然成立．②若A，B中有一钝角，

则A>B时，B<π－A<90°，∴sin B<sin(π－A)=sin A，

∵sin A>sin B时，sin(π－A)>sin B，∴C正确．由等比定理知：D正确．

11.答案为：B

12.答案为：D；

解析：因为=，所以=.因为3a=2b，所以=，所以=，

所以=2－1=2×－1=－1=.

二 、填空题

13.答案为：；

解析：由三角形的面积公式，得S△ABC=acsin B=×a×5×sin=××5a=，

解得a=3.由b2=a2＋c2－2accos B=32＋52－2×3×5×=49，得b=7.

由=⇒sin A=sin B=sin =，

∴cos 2A=1－2sin2A=1－2×=.

14.答案为：4；

解析：===4.

15.答案为：0.25；

16.答案为： 

三 、解答题

17.解：

(1)由题设得acsin B=，即csin B=.

由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.

(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C=－，即cos(B＋C)=－.

所以B＋C=，故A=.由题设得bcsin A=，a=3，即bc=8.

由余弦定理得b2＋c2－bc=9，即(b＋c)2－3bc=9，由bc=8，得b＋c=.

故△ABC的周长为3＋.

18.解：因为sin2 B－sin2 C－sin2 A=sin A·sin C.

由正弦定理得：b2－c2－a2=ac，

由余弦定理得：cos B==－.

又0°＜B＜180°，

所以B=150°.

19.解：因为sin2 B－sin2 C－sin2 A=sin Asin C，

由正弦定理得：b2－c2－a2=ac，

由余弦定理得：cos B==－，

又0°＜B＜180°，所以B=150°.

20.解：

(1)由已知及正弦定理可得sinAcosB＋sin2B=sinC．

因为sinC=sin(A＋B)=sinAcosB＋cosAsinB，

所以sin2B=cosAsinB．

因为B∈0，，所以sinB>0，所以sinB=cosA，

即cos－B=cosA．

因为A∈(0，π)，－B∈0，，

所以－B=A，即A＋B=，所以C=．

(2)设BD=m，CB=n．因为B=，C=，

所以A=，∠DBC=，且AC=n，AB=2n，AD=2n＋m．

所以S△ACD=AC·AD·sinA=×n×(2n＋m)×=，即n(2n＋m)=3　①，

在△BCD中，由余弦定理得CD2=BC2＋BD2－2BC·BDcos∠DBC，即m2＋n2＋mn=3　②，

联立①②解得m=n=1，即BD=1．