2021年高考数学一轮复习夯基练习：直线、平面垂直的判定及其性质(含答案)
展开夯基练习 直线、平面垂直的判定及其性质
一 、选择题
1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )
A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部
2.如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的( )
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
3.直线与平面内的两条直线都垂直，则直线与平面的位置关系是 （ ）
A、平行 B、垂直 C、在平面内 D、无法确定
4.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )
A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1，m⊥l2 C．m⊥l1，n⊥l2 D．m∥n，l1⊥n
5.下列命题中正确的是（ ）
A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个
B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个
C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条
D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个
6.a∥，则a平行于内的( )
A、一条确定的直线 B、任意一条直线
C、所有直线 D、无数多条平行线
7.直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是 （ ）
A、平行 B、垂直 C、在平面内 D、无法确定
8.已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，γ，给出下列四个命题，错误的命题是( )
A．若a∥α，a∥β，α∩β=b，则a∥b
B．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b
C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥α
D．若α∥β，a∥α，则a∥β
9.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部
10.若两直线a⊥b，且a⊥平面，则b与的位置关系是 （ ）
A、相交 B、b∥ C、b D、b∥，或b
11.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC
12.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
二 、填空题
13.过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.
14.过一点可作________个平面与已知平面垂直.
15.设斜线与平面所成角为θ，斜线长为l，则它在平面内的射影长是 .
16.如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD=________.
三 、解答题
17.在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=CD=1,现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直，如图2.
（1）求证：平面BDE⊥平面BEC;
(2)求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小.
18.如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若PC=，求三棱锥CPAB的高．
19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB=AD=1,AB//CD,AB⊥AD，点E为PC的中点.平面ABE交侧棱PD于点F，四边形ABEF为平行四边形.
（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（2）若二面角A-PB-C的余弦值为，求PD与平面PAB所成角的正弦值.
20.如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．
求证：BE不可能垂直于平面SCD．
参考答案
1.答案为：B；
解析：如图，连接AC1.∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B，∴AC⊥平面ABC1，
又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，
则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．
故选B.
2.答案为：D；
解析：如图，O是点P在平面ABC内的投影，连接OA，OB，OC，
∵PA，PB，PC两两垂直，
∴PA⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC，
而PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC，
又PA∩PO=P，∴BC⊥平面PAO．
又AO⊂平面PAO，∴BC⊥AO．
同理可知AC⊥BO，AB⊥CO．
∴O为△ABC的垂心．故选D．
3.D；
4.答案为：B；
解析：由m⊥l1，m⊥l2及已知条件可得m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β；反之，α⊥β时未必有m⊥l1，m⊥l2，故“m⊥l1，m⊥l2”是“α⊥β”的充分不必要条件，其余选项均推不出α⊥β，故选B.
5.D；
6.D；
7.D；
8.答案为：D；
解析：
构造一个长方体ABCD－A1B1C1D1．对于D，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
A1B1∥平面ABCDA1B1∥平面A1B1C1D1．
9.答案为：A；
解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1．
又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．
∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．
10.D；
11.【答案】C；
【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE，
∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面PAE成立，平面PAE⊥平面ABC也成立.
12.A 设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF,由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.
在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=.
二 、填空题
13.一个
14.无数
15.
16.答案:2;解析:取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB ∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC
可知DE⊥CE.由已知可得DE=，EC=1，在Rt△DEC中，CD==2.
三 、解答题
17.【解析】（1）因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
又在正方形ADEF中，ED⊥AD,所以，ED⊥平面ABCD.
而BC平面ABCD,所以，ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，CD=2,
所以，BD2+BC2=CD2,所以，BC⊥BD.
又ED,BD包含于平面BDE,ED∩BD=D,所以，BC⊥平面BDE.
而BC平面BEC,所以，平面BDE⊥平面BEC.
(2)因为EF∥AD,EF平面ABCD,AD平面ABCD,所以,EF∥平面ABCD.
因为平面EFB与平面ABCD有公共点B，所以可设平面EFB∩平面ABCD=BG,G∈CD.
因为EF∥平面ABCD,EF平面EFB,平面EFB∩平面ABCD=BG,所以EF∥BG.
从而，BG∥AD,又AB∥DG,且AB=1,CD=2,所以G为CD中点，ABGD也为正方形.
易知BG⊥平面ECD,所以BG⊥EG,BG⊥DG.
所以，∠EGD是平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的平面角，而∠EGD=45°,
所以平面ABCD与平面EFB所成锐二面角为45°.
18.解：
(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC.
因为AB=2，AD=CD=1，所以AC=BC=，
所以AC2＋BC2=AB2，故AC⊥BC.
又BC∩PC=C，所以AC⊥平面PBC.
因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.
(2)由PC=，PC⊥CB，得S△PBC=×()2=1.
由(1)知，AC为三棱锥APBC的高．
易知Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，则PA=AB=PB=2，于是S△PAB=×22sin 60°=.
设三棱锥CPAB的高为h，
则S△PAB·h=S△PBC·AC，×h=×1×，
解得h=，故三棱锥CPAB的高等于.
19.解：
20.解：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，
∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．
∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．
∴ BE不可能垂直于平面SCD
