中考数学复习：八年级数学上册知识点总结期末复习

分解因式的常用方法


　　一、本节学习指导

　　本节较为复杂，因式分解大多讲究技巧，于是我们要多做练习，慢慢总结。本节有配套学习视频

　　二、知识要点

　　1、 因式分解的思路与解题步骤：

　　（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；

　　（2）再看能否使用公式法；

　　（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；

　　（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；

　　（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。

　　2、 提公共因式法

　　（1）、 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　 如：ab+ac=a（b+c）

　　（2）、概念内涵：

　　（1）因式分解的最后结果应当是“积”;

　　（2）公因式可能是单项式，也可能是多项式；

　　（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即： ma+mb-mc=m（a+b-c）

　　（3）、易错点：

　　（1）注意项的符号与幂指数是否搞错；

　　（2）公因式是否提“干净”;

　　（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1,不漏掉。

　　3、 运用公式法

　　（1）、如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。

　　（2）、主要公式：

　　（1）平方差公式：

　　（2）完全平方公式：

　　（3）、易错点： 因式分解要分解到底。如就没有分解到底。

　　4、怎样选择公式

　　（1）、平方差公式：

　　    ①应是二项式或视作二项式的多项式；

　　    ②二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方；

　　    ③二项是异号。

　　（2）、完全平方公式：

　　     ①应是三项式；

　　     ②其中两项同号，且各为一整式的平方；

　　     ③还有一项可正负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍。

　　5、 分组分解法：

　　（1）、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

　　  如：

　　（2）、概念内涵：

　　分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提，并且可继续分解，分组后是否可利用公式法继续分解因式。

　　（3）、 注意： 分组时要注意符号的变化。

　　5、十字相乘法

　　有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

　　简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

　　注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：
      
　　分析：

　　第一步：观察常数项-7和二次项系数1以及一次项系数6我们可以得出：因为-7=7×-1

　　所以把-7列竖式表示为7、-1,如上图；二次项系数1=1×1,所以列竖式 1、1我们把它们交叉相乘然后相加得到7-1=6,我们发现刚好是一次项系数于是决定用十字相乘法。这一步也是能不能使用十字相乘法的条件。

　　第二步：我们把横着的第一排1、7用括号括起来写成（1x+7），1为x的系数，把第二排1、-1也用括号括起来（1x-1），最后把两个括号括起来的相乘就得到最终结果。

　　第三步：写出分解结果得：（1x+7）×（1x-1）

　　注意：我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。我们在分解常数项和二次项系数时变化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次项系数，如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。十字相乘法在对系数分解时易出错，因此我们要小心；分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。

　　易错点：

　　（1）十字相乘法在对系数分解时易出错；

　　（2）分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。

　　三、经验之谈：

通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再应用公式法，或者其他方法。进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。
整式的除法


　　一、本节学习指导

　　本节中我们要记住平方差公式、完全平方差公式，并且要会逆运算的运用，这点在因式分解中经常用到。本节同学们要多看，不要忘记常见的公式。本节有配套免费学习视频。

　　二、知识要点

　　1、整式乘法

　　（1）、单项式除法单项式

　　单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

　　（2）、多项式除以单项式

　　多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

　　2、平方差公式

　　（1）、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即 。

　　其结构特征是：

　  　①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

　　  ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

　　3、完全平方公式

　　（1）、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即 ；

　　口诀：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

　　（2）、结构特征：

　   　 ①公式左边是二项式的完全平方；
   
　    　②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

　　（3）、在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错误。

　　添括号法则：添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样

　　4、同底数幂的除法

　　（1）、 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （a≠0,m、n都是正数，且m>n）。

　　（2）、 在应用时需要注意以下几点：

　    　①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数，所以法则中a≠0.

　    　②任何不等于0的数的0次幂等于1,即a0=1(a≠0)，100=1，（-2.5）0=1.而00无意义
　　    ③任何不等于0的数的-p次幂（p是正整数），等于这个数的p的次幂的倒数，即 （ a≠0,p是正整数）， 而0-1,0-3都是无意义的；当a>0时，a-p的值一定是正的； 当a0时，y随x增大而增大

　　k0,图像“向上爬”,k0,图像和y轴的焦点在y的正半轴，如果b