中考数学数学创新题

1.选择题(3分)

如图，将四边形ABCD沿对角线BD折叠，C点恰好落在AB上的C’处，测量得AC’= 6 , B C’=3,且∠A=∠CDB.则折痕BD的长是（  B ）。

A.  4.5        B.

C.    3        D.

2.填空题（4分）

如图，在一块矩形草地ABCD，已知AB=8米，AD=4米，E、F分别是AB、CD的中点，曲线EF=8米，现在曲线EF的中点P处系有一只羊，则羊的运动范围是  平方米。

分析：羊的运动范围在为以AB、CD为直径的两个半圆内。

解：根据题意作图，得分别以AB、CD为直径的两个半圆交于点M、N，连结四边形FNEM及线段MN、EF,可得：四边形FNEM是边长为4的菱形， ∠FEM=60°，OM=2，∴∠MEB=30°,NM=4.同理：∠DFN=∠AEN=∠CFM=30°. ∴

3.阅读理解题（10分）。

如图，凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，分别记△AOD,△AOB,△BOC,△COD 的面积为S1,S2,S3,S4.则有S1·S3=S2·S4.证明过程如下：

∵ 

∴    ∴

(1)          探索：任意凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别记△AOD,△AOB,△BOC,△COD 的面积为S1,S2,S3,S4.等式S1·S3=S2·S4是否仍然成立？请说明理由。（4分）

(2)          运用(1)中探索得出的性质解决问题：

如图，在△ABC中， D、E分别是AB、AC的中点，BD、CE相交于点O，

①   若S△BOD = 4,S △COE = 3,S△OBC= 6,

则S△ABC     =           .（2分）

②若S△BDE = 7,S △DEC = 12,S△EBC= 21,

则S△BOD=           .（4分）

解：（1）等式S1·S3=S2·S4仍然成立。  （1分）

理由：（3分）如图，作AE⊥BD于E,CF⊥BD于F ,

∵

∴     ∴

（2）①S△ABC  =    20   .（2分）

由（1）得：S△BOD ·S △COE =S△OBC·S△DOE

           ∴S△DOE = = 2.      ∴S四边形DBCE=4+3+6+2=15.

         又∵D、E是AB、AC的中点，

∴S△ADE = , S四边形DBCE =

∴S△ABC  = 15÷=20.

②S△BOD=    12   .（4分）

设△BOD,△DOE,△EOC,△BOC 的面积为S1,S2,S3,S4.

∵S△BDE = S1+S2  =7,S △DEC = S2+S3 =12,S△EBC = S3+S4 =21,

       由（1）中性质可得：S1·S3=S2·S4

∴

∴

∴

∴

由S2+S3 =12得：S3=9，由S3+S4 =21得：S4 =12.  即：S△BOD=12.

4.（12分）

如图1，直线y=-与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，将△AOB绕点B顺时针旋转至A的对应点C落在x轴上。

（1） 求出过A、B、C三点的抛物线的解析式。

（2） 求出△AOB在旋转过程中扫过的面积。

（3） 如图2，将△BDC向左平移，点C运动到O点时停止运动。设B点的运动距离为x,△AOB和△BDC重叠部分面积为S,求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

         图1                            图2

解：（1）由题意得：A(0,),B(1,0),AB=.所以OC=3，C(3,0)。

设所求抛物线解析式为(a≠0),A、B、C三点坐标代入得： ，解得：a= ，b=- ， c=。所求抛物线解析式为y=.                    （3分）

（2）∵A(0,),B(1,0) ,∴.∴∠ABO=60°

       ∴∠ABC=120°,即△AOB旋转了120°。

S=

=

                 （3分）

（3）①如图1，当B’点在线段OB上运动时，两三角形的重叠部分是△BEE’。 y=，x的取值范围为0≤x≤1.      （1.5分）

   ②如图2，D点在三角形内部时，设DB’与AO交于点F，DC与AB交于点G, 两三角形的重叠部分是五边形DFOBG.由 =60°，得FO=，作GH⊥x轴于点H,由∠DCB’=30°可得GH=,又BG=BC=,所以GH=。y=， x的取值范围为1＜x＜.                          （1.5分,）

        图1                         图2

③如图3，D点运动至y轴左侧，C点在B点右侧时，设DC与AO交于点K，与AB交于点G, 两三角形的重叠部分是四边形KOBG.作GH⊥x轴于点H, 得GH=，同理得OC=3-x,KO=。y=， x的取值范围为≤x＜2.              （1.5分）

     图3                              图4

④如图4， C点在线段OB上运动时，设DC与AO交于点K，两三角形的重叠部分是△KOC. OC=3-x, KO=。y=， x的取值范围为2≤x≤3.

                                            （1.5分）