2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（14）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（14） 一、单选题（每小题5分，共40分）1. 已知集合，，则的子集共有（    ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】B【解析】【分析】先由已知条件求出集合，再求的子集即可知子集个数.【详解】因为或且，所以所以的子集共有个.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算以及集合子集的个数，涉及求函数的定义域，属于基础题.2. 已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数的几何意义可得，复数在复平面内对应的点在以（2，3）为圆心，1为半径的圆上，根据图像即可得答案.【详解】设复数，则，所以，即，则复数在复平面内对应的点在以（2,3）为圆心，1为半径的圆上， 所以在复平面内对应的点在第一象限. 故选A.【点睛】本题考查复数的几何意义，需熟练掌握复数的加减及求模运算法则，属基础题.3. 已知向量，，若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.【详解】解：根据题意得：，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.4. 已知函数对任意，都有，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由赋值法，先求出；，；记，得到数列是以为首项，以为公比的等比数列，求出通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】因为函数对任意，都有，且，令，，则，所以；令，，，则，所以，；记，则，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，；所以.故选：D.【点睛】本题主要考查求等比数列的前项和，涉及赋值法求函数值，属于跨章节综合题.5. 设为第二象限角，若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】将展开可得的值，再由同角三角函数基本关系结合为第二象限角，可的值，即可得答案.【详解】,即可得：，解得：由可得：所以.故选：A【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，以及同角三角函数基本关系，属于基础题6. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由函数，知是奇函数，又因为正实数，满足，所以，利用基本不等式求得结果．【详解】解：由函数，设，知，所以是奇函数，则，又因为正实数，满足，，所以，，当且仅当，时取到等号．故选：C．【点睛】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式应用，属于简单题．7. 已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】恰有个零点，即函数的 图像与的图像有三个交点，先求出与函数相切时的值，然后数形结合得出答案.【详解】由恰有个零点，即方程恰有个实数根.即函数的 图像与的图像有三个交点，如图.与函数的 图像恒有一个交点，即函数与有两个交点.设与函数相切于点，由所以，得，所以切点为，此时，切线方程为将向下平移可得与恒有两个交点，所以故选：D【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，考查数形结合的思想应用，属于中档题.8. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为（    ）A. 猴 B. 马 C. 羊 D. 鸡【答案】B【解析】【分析】根据六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是60，则2086年与2026年一样，再根据2020年是“干支纪年法”中的庚子年推理结果.【详解】六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是60，2086年与2026年一样，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，午对应属相为马则2086年出生的孩子属相为马.故选：B【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是(    )A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B. 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）=0.5【答案】BD【解析】【分析】对A，方差应变为原来的a2倍；对B，x增加1个单位时计算y值与原y值比较可得结论；线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；根据正态曲线关于x=1对称即可判断.【详解】对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍，故错误.对于选项B：若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确.对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误.对于选项D：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），由于正态曲线关于x=1对称，则P（ξ＞1）=0.5，正确.故选：BD【点睛】本题考查样本数据方差的计算、线性回归方程的相关计算、正态分布的概率问题，属于基础题.10. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ABCD【解析】【分析】根据余弦定理列方程得出a，c的关系，再计算离心率.【详解】由双曲线的定义知：，由可得，在中，由余弦定理可得：，解得或，或，或，又，可得或故选：ABCD【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于基础题．11. 已知函数，，则以下结论错误的是（    ）A. 任意的，且，都有B. 任意的，且，都有C. 有最小值，无最大值D. 有最小值，无最大值【答案】ABC【解析】【分析】根据与的单调性逐个判定即可.【详解】对A, 中为增函数,为减函数.故为增函数.故任意的,且,都有.故A错误.对B,易得反例,.故不成立.故B错误.对C, 当因为为增函数,且当时,当时.故无最小值无最大值.故C错误.对D, ,当且仅当即时等号成立. 当时.故有最小值,无最大值.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.12. 如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（    ）A.  B. 平面C. 存在点E，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值【答案】ABD【解析】【分析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明再证明平面即可.对C,根据与平面有交点判定即可.对D,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.【详解】在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;在B中,因为,,故,故.故,又有,所以平面,故B正确；在C中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故C错误.在D中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得,利用两角和的正切公式可得,然后相除可得.【详解】因为,所以,,所以.故答案为: 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式,两角和的正切公式,属于中档题.14. 甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口硫导交通,每个路口有1名或2名志原者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数________(用数字作答).【答案】【解析】【分析】甲、乙两人在同一路口时，根据题意可知:另外两人在同一路口，剩下一个在第三个路口,即可求解.【详解】解： 甲、乙两人在同一路口分配方案，故答案为.【点睛】本题考查排列组合基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.【答案】    (1).     (2). 9【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求得准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义把转化为，再转化为，从而得出结论．【详解】解：抛物线：的焦点．
过作准线交准线于，过作准线交准线于，过作准线交准线 于，
则由抛物线的定义可得．
再根据为线段的中点，，∴，
故答案为：焦点坐标是，．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，其中不要忽略中位线的性质，梯形的中位线是上底与下底和的一半，属于中档题．16. 在直三棱柱中，且,，设其外接球的球心为，且球的表面积为，则的面积为__________.【答案】【解析】【分析】先计算球的半径为，确定球心为的中点，根据边角关系得到，计算面积得到答案.【详解】球的表面积为如图所示：为中点，连接 ，故三角形的外心在中点上，故外接球的球心为的中点.在中：，故；在中：，，故，故 故答案【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.