2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（18）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（18） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中只有一项符合题目要求.）1.已知集合，，则（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合,根据交集定义即可得出结果.【详解】，，.故选:B.【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.2.在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】分析】由复数z求得点Z的坐标，得到向量的坐标，逆时针旋转，得到向量的坐标，则对应的复数可求.【详解】解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1），
∴＝(0，1)，将绕原点O逆时针旋转得到，
设＝(a，b)，，则，即，
又，解得：，∴，对应复数为.故选：A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3.已知向量是单位向量，，且，则（    ）A. 11 B. 9 C. 11或9 D. 121或81【答案】C【解析】【分析】根据题意，由，可知两向量的夹角为0或π，利用向量数量积求模长，计算可求解.【详解】由题意，因为，则两向量的夹角为0或π，则有，则或9.故选：C.【点睛】本题主要考查向量数量积以及向量模长的运算，属于基础题.4.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用特殊元素及捆绑法得“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,利用古典概型求解即可【详解】“仁义礼智信”排成一排,任意排有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,故概率故选：A【点睛】本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题5.已知直线与平面，且，则是（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件定义说明两个命题的真假．【详解】在时，则，若，则有或，不充分，若，设过作一平面与相交于直线，则，从而，所以，必要性成立，因此就在是必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查线面平行与面面垂直的关系，掌握线面间的位置关系和面面垂直的判定定理是解题关键．6.若函数在上单调递增，则的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，求出正弦函数的单调增区间，即可得出的最大值.【详解】由题意可得，令得，令，得，所以的最大值为.故选：D【点睛】本题主要考查了利用正弦型函数的单调性求参数的范围，属于中档题.7.已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，是底面圆上的弦，为等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，找出异面直线与所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.【详解】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，则，，所以为异面直线与所成的角，在三角形中，，，所以.故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值的计算，一般通过平移直线的方法找到异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.8.已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（   ）A. 或 B. 1或 C. 或2 D. 或1【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出和都关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.【详解】解：已知，①且，分别是上的偶函数和奇函数，则，得：，②①+②得：，由于关于对称，则关于对称，为偶函数，关于轴对称，则关于对称，由于有唯一零点，则必有，，即：，解得：或.故选：A.【点睛】本题考查函数基本性质的应用，涉及函数的奇偶函数，对称性和零点，考查函数思想和分析能力.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法正确的是（    ）A. 该市总有15000户低收入家庭B. 在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C. 在该市失无业人员中，低收入家庭有4350户D. 在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户【答案】ABC【解析】【分析】直接根据图表依次判断每个选项得到答案.【详解】该市总有户低收入家庭，A正确；在该市从业人员中，低收入家庭共有户，B正确；在该市失无业人员中，低收入家庭有户，C正确；该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有户，D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查了图表的理解和应用，属于简单题.10.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ）A. 当时，B. 函数有3个零点C. 的解集为D. ，都有【答案】BCD【解析】【分析】设，则，则由题意得，根据奇函数即可求出解析式，即可判断A选项，再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D选项．【详解】解：（1）当时，，则由题意得，∵ 函数是奇函数，∴ ，且时，，A错；∴ ，（2）当时，由得，当时，由得，∴ 函数有3个零点，B对；（3）当时，由得，当时，由得，∴ 的解集为，C对；（4）当时，由得，由得，由得，∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数在上有最小值，且，又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，∴当时，函数的值域为，由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，∴ 对，都有，D对；故选：BCD．【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题．11.已知圆方程为：与直线x+my-m-2=0，下列选项正确的是（    ）A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切【答案】AC【解析】【分析】求出直线经过的定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案．【详解】解：由题意，圆的圆心，半径，直线变形得，得直线过定点，∵，∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为，故C对；故选：AC．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题．12.对于定义城为R的函数，若满足：①；②当，且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论．【详解】解：经验证，，，，都满足条件①；，或；当且时，等价于，即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；A中，，，则当时，由，得，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；B中，，，当时，，，当时，，，则当时，都有，符合条件②，∴函数在上单调递减，在上单调递增，由单调性知，当时，，∴，令，，，当且仅当即时，“”成立，∴在，上是减函数，∴，即，符合条件③，故是“偏对称函数”；C中，由函数，当时，，当时，，符合条件②，∴函数在上单调递减，在上单调递增，有单调性知，当时，，设，，则，在上是减函数，可得，∴，即，符合条件③，故是“偏对称函数”；D中，，则，则是偶函数，而 （），则根据三角函数的性质可知，当时，的符号有正有负，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；故选：BC．【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为__________．（用数字作答）【答案】【解析】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，
故不同的选派方案种数为C12•C34+C22•C24=2×4+1×6=14；法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，
故至少有1名女生的选派方案种数为C46-C44=15-1=14．故答案为14点睛：本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．14.点，，，，为坐标原点，则与的夹角的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据向量得模的几何意义可得点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，再利用圆的切线可求得答案.【详解】因为，，所以，所以，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图：由图可知，当与圆相切时，最大，也就是与夹角最大，此时，，所以，所以与夹角的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的减法法则和向量的模的几何意义，考查了向量的夹角，考查了数形结合思想，属于基础题.15.的展开式中，的系数为______.【答案】30【解析】【分析】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案.【详解】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，故含的项系数是 故答案为：30【点睛】本题考查的是利用分步计数原理处理多项式相乘的问题，较简单.16.我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积可得，即可得，进而可得，求出的最小值后，利用对数函数的性质即可得解.【详解】由题意可得，当时，，，，，当且仅当时，等号成立，，由可得，，解得，综上，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量、数列及对数函数的综合应用，考查了运算求解能力和恒成立问题的解决，属于中档题.