2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（20）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（20） 一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，集合 ，则 等于（    ）A. (1,2) B. (1,2] C. [1,2) D. [1,2]【答案】B【解析】【分析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.2. 复数的共轭复数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先将复数化简，再利用共轭复数的定义即可求得正确答案.【详解】,所以共轭复数为，故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，属于基础题.3. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，即可求得的值，再利用二倍角公式即可求得的值.【详解】因为，且，所以，即，或（舍）所以，故选：D【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式以及同角三角函数基本关系，属于基础题.4. 已知等比数列中，，，则（  ）A. 12 B. 10 C.  D. 【答案】A【解析】由已知，∴，∴，故选A.5. 在中，，．若点满足，则（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：，故选A．  6. 已知函数满足：①对任意、且，都有；②对定义域内任意，都有，则符合上述条件的函数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得：是偶函数，在单调递增. 对于，是偶函数， 在递增，符合题意；对于，函数是奇函数，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数在无单调性，不合题意.【详解】由题意得：是偶函数，在单调递增，对于，，是偶函数，且时，，对称轴为，故在递增，符合题意；对于，函数是奇函数，不合题意；对于，由，解得：，定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数，不合题意；对于，函数在无单调性，不合题意；故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7. 已知为等差数列，为其前项和，若，则（  ）A. 49 B. 91 C. 98 D. 182【答案】B【解析】∵，∴，即，∴，故选B．8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项的值为（　　）A. 992 B. 1022 C. 1007 D. 1037【答案】C【解析】【分析】首先将题目转化为即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出的通项公式，算其中间项即可.【详解】将题目转化为即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.即，当，，当，，故……，数列共有项．因此数列中间项为第项，.故答案为：C．【点睛】本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.下列命题中假命题是（    ）A. 若随机变量服从正态分布，，则；B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；C. 若，则在方向上的正射影的数量为D. 命题的否定【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据正态分布概率的性质，计算即可；对于B，判断充分性与必要性是否成立即可；对于B，根据向量数量积的几何意义即可判断；对于D，利用特称命题的否定变换原则即可判断D.【详解】对于A，随机变量服从正态分布，所以图像关于对称，根据，可得，所以，故A正确；对于B，直线平面，直线平面，若，则是真命题；若，则是假命题，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；对于C，若，则在方向上的正射影的数量为或，故C错误；对于D，命题的否定，故D错误；故选：BCD【点睛】本题主要考查了正态分布概率的性质、充分性与必要性的定义、向量数量积的几何意义、特称命题的否定变换原则，属于基础题.10.已知向量，，，则下列结论正确的有（    ）A.  B. 若∥，则C. 的最大值为2 D. 的最大值为3【答案】AC【解析】分析】根据模长公式判断A；根据向量平行的坐标表示判断B；根据数量积公式以及正弦函数的性质判断C；利用模长公式以及正弦函数的性质判断D.【详解】对于，，正确；对于，若，则，，错误；对于，，最大值为2，正确；对于， 因为，所以，则，即，错误.故选：AC【点睛】本题考查平面向量的基本运算和三角函数的性质，属于中等题.11.如图，四棱锥中，平面底面，是等边三角形，底面是菱形，且，为棱的中点，为菱形的中心，下列结论正确的有（    ）A. 直线与平面平行 B. 直线与直线垂直C. 线段与线段长度相等 D. 与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】连接，利用线面平行的判定定理判断A；设的中点为，连接，，利用线面垂直的判定定理以及性质判断B；根据面面垂直的性质得出为直角三角形，求出的长度，利用余弦定理得出与所成角的余弦值，证明不是直角，从而得出不是等腰三角形，从而判断CD.【详解】如图，连接，易知，由线面平行的判定定理得面，正确.在菱形中，，为等边三角形.设的中点为，连接，，则，，由线面垂直的判定定理得出平面，，B正确.平面平面，由面面垂直的性质可得为直角三角形设，则，，.在中，，，可得故异面直线与所成角的余弦值为在中，则不是直角，则不是等腰三角形，即与长度不等，故C错误，D正确故选：ABD【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题.12.已知函数，其中，，则下列选项中的条件使得仅有一个零点的有（    ）A. 为奇函数 B. C. ， D. ，【答案】BD【解析】【分析】利用导数得出函数的极值点结合奇函数的性质，即可得出有三个零点，错误；由，得出，从而得出函数单调递增，则B正确；取，利用导数得出的极大值为，极小值为，从而得出有两个零点，错误；得出函数的极大值和极小值，并判断其正负，即可得出仅有一个零点，正确.【详解】由题知.对于，由是奇函数，知，因为，所以存在两个极值点，由知，有三个零点，错误；对于，因为，所以，，所以单调递增，则仅有一个零点，正确；对于，若取，，则的极大值为，极小值为，此时有两个零点，错误；对于，，易得的极大值为，极小值为.可知仅有一个零点，正确.故选：BD【点睛】本题考查利用导数研究函数性质，属于中等题.三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.【答案】【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出.【详解】的二项展开式的通项公式：，令，解得.∴，解得.故答案为：-2.【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.14.已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最大值是____.【答案】【解析】【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为有且仅有一个解，然后根据三角函数的性质和图像求解即可.详解】由，，则，存在唯一的实数，使，即有且仅有一个解，作函数图像与直线，当两个图像只有一个交点时，由图可知，，故实数的最大值是.故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质，属于较为基础题.15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块，某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种.【答案】432【解析】【分析】根据分类计数原理，结合排列数和组合数的计算公式进行求解即可.【详解】根据题意学习方法有二类：一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块，这样的学习方法数为：；另一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间不间隔一个答题板块，这样的学习方法数为：，因此某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法数为：.故答案为：432【点睛】本题考查了分类计算原理的应用，考查了排列数与组合数的计算，考查了数学运算能力和数学阅读能力.16.三棱锥中，，且平面平面，则__________；若球与该三棱锥除以外的5条棱均相切，则球的半径为__________.【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】设为的中点，利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的性质得出，再由勾股定理得出，从而得出；设，分别为对应面的内心，分别过，作，的平行线，交于点，即为所求的球心，根据题意得出是正方形，得出内切圆的半径，即可得出球的半径.【详解】如图，设为的中点，因为，所以，又因为平面平面，所以由面面垂直的性质定理得平面，所以因为，所以从而可得，.设，分别为对应面的内心，分别过，作，的平行线，交于点即为所求的球心，易知是正方形设内切圆的半径为，球的半径为，由图可知，而，所以.故答案为：；【点睛】本题主要考查了面面垂直性质的应用以及几何体的切接问题，属于中档题.