2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（23）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（23） 一、单项选择题：.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则=（    ）A. （-1，1） B. [-1，0] C. [-1，0） D. （-∞，0]【答案】B【解析】【分析】解指数不等式得集合，求函数值域得集合，再由补集、交集定义计算．【详解】由题意，，，所以，故选：B．【点睛】本题考查集合的综合运算，考查指数函数与二次函数的性质．本题属于基础题．2.设，则复平面内对应的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式、复数的几何意义即可求得.【详解】解：因为，所以，所以，即所以在复平面对应的点位于第四象限，故选：D【点睛】此题考查了复数的运算法则，共轭复数的定义，模的计算，复数的几何意义，考查了推理能力，属于基础题.3.展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（    ）A. 120 B. -120 C. 60 D. -60【答案】C【解析】【分析】由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．【详解】由题意，解得，展开式通项公式为，令，，所以常数项为．故选：C．【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数和问题，掌握二项展开式通项公式是解题关键．4.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米·度），为室内外温度差，值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）型0.43型0.34型0.53型0.44  则保温效果最好的双层玻璃的型号是（    ）A. 型 B. 型 C. 型 D. 型【答案】D【解析】【分析】依题意可得，所以转化为求的最大值即可得到答案.【详解】，固定，可知最大时，最小，保温效果最好，对于型玻璃，，对于型玻璃，，对于型玻璃，，对于型玻璃，，经过比较可知， 型玻璃保温效果最好.故选：D.【点睛】本题考查了函数的应用，考查了求函数的最值，属于基础题.5.设函数，若，，，则，，的大小为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由于是偶函数，且在上为增函数，所以只需利用这些性质将变量转化到上即可比较出大小.【详解】解：函数的定义域为，因为，所以，所以为偶函数，所以，因为，，所以 ，因为在上为增函数，所以，所以，故选：A【点睛】此题考查函数的单调性，奇偶性，指数式和对数式比较大小，属于中档题.6.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（    ）A  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数，其中宫、羽不相邻的基本事件有，由此可求出所求概率.【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数，其中宫、羽不相邻的基本事件有，则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为，故选：C【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等知识，考查运算求解能力，属于基础题.7.将函数图象向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法中正确的是（    ）A. 的周期为 B. 是偶函数C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增【答案】D【解析】【分析】首先利用三角恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，再利用图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数 的关系式，然后再利用正弦函数的性质对各选项进行判断，即可得到结果．【详解】函数， 把函数图象向右平移个单位，得到， 再把各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)， 得到． ①故函数的最小正周期为，故选项A错误； ②函数，不为偶函数，故选项B错误；③当时，，故选项C错误；④由于，所以，故函数 单调递增，故选项D正确． 故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．8.已知是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，的中点为，过作抛物线准线的垂线交准线于，若的中点为，则=（    ）A. 4 B. 8 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由的中点的坐标可得，两点的横坐标之和与纵坐标之和，设直线的方程与抛物线联立求出两根之和，进而可得的值.【详解】解：因为的中点为，所以，所以，设直线的方程为，代入抛物线的方程得，，所以 所以，解得，故选：B 【点睛】此题考查抛物线的性质及中点坐标的应用，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下列判断正确的是（    ）A. 若随机变量服从正态分布，，则；B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件；C. 若随机变量服从二项分布：,则；D. 是的充分不必要条件.【答案】ABCD【解析】【分析】由随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则曲线关于x＝1对称，即可判断A；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．可判断B；运用二项分布的期望公式Eξ＝np，即可判断C；可根据充分必要条件的定义，注意m＝0，即可判断D．【详解】A．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x＝1对称，可得P（ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P（ξ≤﹣2）＝P（ξ＞4）＝0.21，故A正确；B．若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立．若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故B对；C．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（4，），则Eξ＝4×0.25＝1，故C对；D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“am2>bm2”，比如m＝0，故D对；故选：ABCD．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查随机变量的二项分布的期望公式及正态分布的对称性，属于基础题．10. 由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（    ）A. 5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】C【解析】【分析】由柱状图观察信息服务商逐年增长并后续2029年开始超过设备制造商GDP.【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．故选：C【点睛】本题考查观察柱状图得出相关信息，属于基础题.11. 关于函数，下列判断正确的是（    ）A. 是的极大值点B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得成立D. 对任意两个正实数，且，若，则.【答案】BD【解析】【分析】根据导数解决函数的的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A错误；对于B选项，，∴，∴ 函数在上单调递减，又∵ ，，∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.综上，故正确的是BD.故选：BD．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，零点，不等式等问题，考查数学运算能力与分析解决问题的能力，是难题.12. 已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是（    ）A. 函数的值域与的值域不相同B. 把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象C. 函数和在区间 上都增函数D. 若为是函数的极值点，则是函数的零点【答案】CD【解析】【分析】求导得解析式，利用辅助角公式化简整理成形式，利用函数求值域、单调性逐一判断选项即可.【详解】，函数的值域与的值域均为，故A错误；函数的图象向右平移个单位长度，得，不是的图像，故B错误；时，是单调递增函数，，是单调递增函数，故C正确；为是函数的极值点，则，即是函数的零点，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的性质，属于常考题.三、填空题：本题共4小题.13. 若非零向量、,满足,,则与的夹角为___________.【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，由题意得，由此求得的值，即可得到与的夹角的大小.【详解】设与的夹角为，由题意,,，可得，所以，再由可得，，故答案是.【点睛】该题考查的是有关向量夹角的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量垂直的条件为向量的数量积等于零，向量数量积的运算公式，向量夹角余弦公式，特殊角的是哪家函数值，正确应用公式是解题的关键.14. 双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.【答案】【解析】【分析】根据切线长定理求出MF1﹣MF2，即可得出a，从而得出双曲线的离心率．【详解】设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQ，又c＝2，∴双曲线的离心率为e．故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键．15. 设．（1）当时，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．【答案】    (1).     (2). [0，]【解析】【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.【详解】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，即实数a的取值范围是[0，]【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16. 已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．【详解】因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立.令，，则，再令，，则，故在上为减函数，于是，从而，于是在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要，综上，若函数在上无零点，则的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题．