2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（30）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（30） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1. 已知集合=，=，，则等于（    ）A. （1,2） B.  C.  D. 【答案】D【解析】分析】分析两个集合中元素的类型可得.【详解】因为集合是数集,集合是点集,两个集合没有公共元素,所以两个集合的交集为空集.故选.【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2. 设,则在复平面内对应的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】分析】先由已知条件求得，再确定在复平面内对应的点位于的象限即可.【详解】解：由题意知,即，故在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题.3. 己知向量，.若，则m的值为(     )A.  B. 4 C. - D. -4【答案】B【解析】【分析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题.4. 的展开式中，项的系数为（    ）A. 280 B. 280C. 560 D. 560【答案】C【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得结果．【详解】在的展开式中，通项公式为Tr+1(﹣1）r，令144，求得r＝3，可得x4项的系数为＝﹣560，故选C．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式及系数的求解，属于基础题．5. 把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度（）．A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角．【详解】解析：由题意，设切线为，∴.∴或.∴时转动最小．∴最小正角为.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．6. 如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（    ）A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C. 丙是甲的充要条件D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义来对各选项的正误进行判断.【详解】因为甲是乙的充要条件，所以乙甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙．综上，丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，考查逻辑推理能力，属于基础题.7. 菱形的边长为2，现将沿对角线折起使，求此时所成空间四面体体积的最大值（　　）A.  B.  C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】在等腰三角形中，取的中点为，则有，通过，根据面面垂直的性质定理，可以证明出，设，，在中，，由题意可知：，这样可以求出空间四面体体积的表达式，通过换元法，利用导数，可以求出空间四面体的体积的最大值.【详解】设的中点为，因为，所以， 又因为，，所以，设，，在中，，由题意可知：，设，则，且，∴，∴当时，，当时，，∴当时，取得最大值，∴四面体体积的最大值为．故选．【点睛】本题考查了空间四面体体积最大值问题，正确求出体积的表达式，利用同角的三角函数关系、二倍角的正弦公式、换元法、导数法是解题的关键.8. 己知函数有两个零点，，则有（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】将函数有两个零点，,转化为: 函数，则与的图象有两个交点,作出图象,根据图像可得: ,由此去绝对值,利用可得.【详解】解：因为函数有两个零点，故方程有两个解，.设函数，函数，则与的图象有两个交点，如图所示: 由图象知，，所以,,所以，，因为且，所以，得，，即， 整理得，.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点,数形结合思想,指数函数的单调性与对数的运算,属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.对于不同直线，和不同平面，，有如下四个命题，其中正确的是（    ）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则【答案】BC【解析】【分析】根据线面的平行、垂直的判定定理和性质定理，对选项进行逐一的判断,即可得出答案.【详解】选项A.  若，，，则与可能相交可能平行，故A不正确.选项B. 若，，则，又，所以，故B正确选项C. 若，，则，又，所以，故C正确选项D. 若，，则或，故D不正确.故选：BC【点睛】本题考查平面与平面的平行垂直的判断，直线与平面的平行与垂直的判断，属于基础题.10.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则（    ）A. B. 若，则直线的斜率为C. 若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为D. 若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】通过设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，，选项均可转化为坐标的运算，代入根与系数的关系，得到结果，C选项可直接根据焦半径公式，计算并判断.【详解】设，，设直线，与抛物线方程联立 ，，，，A.,故A正确；B.根据焦半径公式可知，， ，由条件可知，，解得：，直线的斜率，故B不正确；C.由题意可知，解得：，则抛物线方程是，故C正确；D.由题意可知，所以，由圆的几何性质可知，是点到轴的距离 ，，由分析可知，，且，，得， ，所以，当时，取得最小值,此时直线：，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，转化求值，属于中档题型.11.南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合中所有的数从小到大排列的数列，即…下列结论正确的是（    ）A. 第四行的数是 B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】采用逐一验证的方法，利用来表示每一项，寻找规律，可得结果.【详解】利用来表示每一项，由题可知：第一行：第二行：第三行：第四行：故A正确表示第行的第项，则，故B正确由表示第行的第1项，则故C错又表示第14行的第9项，所以故D正确故选：ABD【点睛】本题考查合情推理，考验对问题的分析判断能力以及归纳能力，审清题意，耐心计算，属中档题.12.已知函数，函数，下列选项正确的是（    ）A. 点是函数的零点B. ，使C. 函数的值域为D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】利用求导的方法，确定函数的单调区间、求出函数极值、零点，分别画出和的图像，进而可以确定选项AD不正确，BC为正确答案.【详解】    图像                                 图像对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误.对于选项B，当时，，可得，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时， 当时，，可得，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时， ，综上可得，选项B正确.对于选项C，，选项C正确.对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有一个非零的实数根函数与有一个交点，且当时，当变化时，，的变化情况如下：00极大值极小值 极大值，极小值当时，当变化时，，的变化情况如下： 12  0 极小值 极小值综上可得，或，取值范围是，D不正确.【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数研究原函数的变化情况，对选项做出判断，考查了数学运算、逻辑推理、数形结合能力，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数是实数，复数是纯虚数，则实数的值为______【答案】【解析】【分析】先根据复数是实数求出，再根据复数是纯虚数求出的值.【详解】由题得因为复数是实数，所以.所以，因为复数纯虚数，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.（）的展开式中的系数为9，则______.【答案】1【解析】【分析】通过分类讨论结合二项展开式的通项公式进行求解即可．【详解】解：的通项公式，若第一括号是1，则第二个括号必须是相乘，若第一括号是，则第二个括号必须是相乘，则项系数，即，得，得或（舍，故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定义的应用，注意要对系数进行分类讨论，属于中档题．15.已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则________.【答案】【解析】【分析】因为函数满足：，且函数是偶函数，可知函数是周期为4的周期函数；然后再根据周期性可得，在根据题意可知，即可求出结果.【详解】因为函数满足：，且函数是偶函数，所以，且，可得，即所以…①，…②②-①，可得 ，即是周期为4的周期函数；，又，所以 .故答案为：.【点睛】本题考查了函数周期性，利用，且函数是偶函数得到函数是周期为4的周期函数是本题的解题关键，本题属于中档题.16.将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则的解析式为_______；若方程在的解为、，则______.【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】利用三角函数图象变换可求得函数的解析式为，由计算得出的值，并求出的取值范围，由此可求得的值.【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则，当时，，由题意可得，即，令，得，可得函数的图象关于直线对称，，所以，，且，，，，，，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用二倍角的余弦公式、两角差的余弦公式，考查计算能力，属于中等题.