2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（36）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（36） 一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】分析:先化简集合B,再求A∩B得解.详解：由题得，所以.故答案为D点睛：本题主要考查集合和集合的交集运算，意在考查学生集合基础知识的掌握能力.要注意集合A和集合B的交集是有限集，不要写成了不等式. 2. 已知复数满足，为虚数单位，则等于（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】因为，所以应选答案A．3. 若向量满足：则A. 2 B.  C. 1 D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意易知：即，，即.故选B.考点：向量的数量积的应用. 4. 已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p=（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，，在抛物线上，代入抛物线方程可得，即可求出的值．【详解】解：由题意，，在抛物线上，代入抛物线方程可得，，，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．5. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则“Sn＞nan对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和前项和公式将等价转化为，将等价转化为，由此可得答案.【详解】设等差数列的公差为，当时，因为等价于等价于等价于等价于，等价于等价于，所以等价于，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.6. 函数（且）的图象可能为（ ）A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数是上的奇函数，求出的解析式，画出的图象易得在上单调递增，最后根据的单调性求解不等式即可.【详解】解：当时，，，因为是定义在上的奇函数，所以，即.因此，作出的图象如下：在上单调递增，又，由得：，解得：.故选：A.【点睛】本题考查解不等式，关键是判断函数的单调性，属于中档题.8. 如图，在三棱锥A—BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】连接，取的中点，连接，根据异面直线所成角的定义，结合等腰三角形的性质、勾股定理、余弦定理进行求解即可.【详解】如图，连接，取的中点，连接，因为是中点，则，所以（或其补角）就是异面直线所成角，因为AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，所以,因此有，同理，，，.故选：C【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，关键是根据定义作出异面直线所成的角，即平移其中一条直线与另一条相交，通过解三角形求出相交直线的夹角，可得异面直线所成角，要注意异面直线所成角的范围是．二､多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数 性别甲专业录取率乙专业录取率男100400 男女300100 女   A. 甲专业比乙专业的录取率高 B. 乙专业比甲专业的录取率高C. 男生比女生的录取率高 D. 女生比男生的录取率高【答案】BC【解析】【分析】根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；甲专业的录取率为，乙专业的录取率为，所以乙专业比甲专业的录取率高.男生的录取率为，女生的录取率为，所以男生比女生的录取率高.故选：BC.【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.10.已知函数，将的图像上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图像. 若为偶函数，且最小正周期为，则（    ）A. 图像关于点对称 B. 在单调递增C. 在有且仅有个解 D. 在有且仅有个极大值点【答案】AC【解析】【分析】根据题意求得，，进而求得，，然后对选项逐一判断即可.【详解】解：将的图像上所有点向左平移个单位后变为：，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的后变为：，所以.因为的最小正周期为，所以，解得：.所以，又因为为偶函数，所以，所以.因为，所以.所以，.对于选项，因为，所以图像关于点对称，故正确.对于选项，因为时，，设，则，因为在不是单调递增，所以在不单调递增，故错误.对于选项，，，画出在图像如图所示:从图中可以看出：在图像有三个交点，所以在有且仅有个解，故正确.对于选项，在的图像如图所示：从图中可以看出在有且仅有2个极大值点，故选项错误.故选：AC【点睛】本题主要考查正弦型函数、余弦型函数的周期、对称中心、奇偶性、单调性等，考查学生数形结合的能力，计算能力等，属于中档题.11.已知抛物线上三点，，，为抛物线的焦点，则（    ）A. 抛物线的准线方程为B. ，则，，成等差数列C. 若，，三点共线，则D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】把点代入抛物线即可得到本题答案；根据抛物线的定义，以及，可得，从而可证得；由A，F，C三点共线，得，结合，化简即可得到本题答案；设AC的中点为，由，结合，即可得到本题答案.【详解】把点代入抛物线，得，所以抛物线的准线方程为，故A正确；因为，所以，，，又由，得，所以，即，，成等差数列，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以直线斜率，即，所以，化简得，，故C不正确；设AC的中点为，因为，，所以，得，即的中点到轴距离的最小值为2，故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.12.已知函数的定义域为，导函数为，，且，则（    ）A.  B. 在处取得极大值C.  D. 在单调递增【答案】ACD【解析】分析】根据题意可设，根据求，再求判断单调性求极值即可.【详解】∵函数的定义域为，导函数为，即满足∵∴∴可设（为常数）∴∵，解得∴∴，满足∴C正确∵，且仅有∴B错误，A、D正确故选：ACD【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.三､填空题13.的展开式中的系数为________．【答案】【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】，故它的展开式中的系数为，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知是平面，外的直线，给出下列三个论断，①；②；③．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【解析】【分析】利用空间直线与平面的位置关系进行判断，，时，与可能平行或者相交.【详解】因为，时，与可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③；因为，所以内存在一条直线与平行，又，所以，所以可得，即①③作为条件，可以得出②；因为，，所以或者，因为是平面外的直线，所以，即即②③作为条件，可以得出①；故答案为：若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，稍微具有开放性，熟悉空间的相关定理及模型是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15.已知双曲线过左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，以，为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为，则双曲线的离心率为________．【答案】【解析】【分析】首先求两点的坐标，代人圆心到直线的距离，由已知条件建立等式求得，最后再求双曲线的离心率.【详解】设，当，代人双曲线方程，解得：，设， 根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是，则两点到渐近线的距离，，上式去掉绝对值为，即，那么.双曲线的离心率.故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为米峡谷拐入宽为米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点、的连线恰好经过拐角内侧顶点（点、、在同一水平面内），设与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则的长为________（用表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】分别计算出、，相加可得的长；设，利用导数求得的最小值，即可得解.【详解】如下图所示，过点分别作，，则，在中，，则，同理可得，所以，令，则，令，得，得，由，解得，当时，；当时，.则.故答案为：；.【点睛】本题考查导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.