2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（40）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（40） 一、单项选择题：1. 已知集合，集合，则＝（    ）A.  B. {﹣1，0，1，2，3} C. {0，1，2，3} D. {1，2}【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式，根据代表元所满足的条件，求得集合A和集合B，之后利用补集和交集的定义求得结果.【详解】集合或， ，故 故选：C．【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有解一元二次不等式求集合，集合的补集和交集的运算，属于简单题目.2. 设，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性以及特殊角的余弦函数值即可判断.【详解】，由，即，，所以.故选：C【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较式子的大小，属于基础题.3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则一定是（    ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得到，计算得到答案.【详解】，则，即.故或，即.故选：.【点睛】本题考查了根据正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的应用能力.4. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】平面内三点共线的充要条件为：存在实数，使，且.求得，从而可得结果.【详解】由，可得，所以，又三点共线，由三点共线定理，可得：，，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.5. 将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为A.  B. 1 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先化简的表达式，平移后得到的解析式，再求出的解析式，然后利用的单调减区间列不等式组，求得的取值范围，进而求得正数的最大值.【详解】依题意，，向左平移个单位长度得到.故，下面求函数的减区间：由，由于故上式可化为，由于函数在上单调递减，故，解得，所以当时，为正数的最大值.故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数图像变化的知识，考查三角函数的单调区间的求法，综合性较强，需要较强的运算能力.是不能够直接合并起来的，需要通过运用降次公式两次，才能化简为的形式.求解三角函数单调区间时，要注意是正数还是负数.6. 函数在上的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，证明当时，，即，从而当时，，排除B，C，D，即可得解.【详解】记，，，在上单调递增，又，当时，，即，又，当时，，故排除B，C，D.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的判断以及利用导数证明不等式，考查了转化能力，属于中档题.7. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是(    )A. 2 B.  C. 4 D. 【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】解：的导数为，由切线的方程可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为，所以切点为，代入，得，、为正实数，则．当且仅当时，取得最小值．故选：C【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．8. 已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】构造新函数，求导后易证得在上单调递减，从而有，，，故而得解．【详解】设，则，，，即在上单调递减，，即，即，故选项A不正确；，即，即，故选项D不正确；，即，即．故选项B不正确；故选：C．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合要求.9. 已知，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则（    ）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】BC【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】若，，，则或异面，A错误；若，，则或，当时，因为，所以；当时，由结合线面垂直的性质得出，B正确；若，，则，又，则，C正确；若，，则，又，则或，D错误；故选：BC【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.10. 某校计划在课外活动中新増攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（    ）参考公式：，.0.050.013.8416.635  A. 参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B. 参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C. 若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D. 无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关【答案】AC【解析】【分析】由于参加调查的男女生人数相同，则设为人，从而可求出男女生中喜欢攀岩的人数和不喜欢攀岩的人数，再代入公式中计算，可得结论.【详解】解：由题意设参加调查的男女生人数均为人，则 喜欢攀岩不喜欢攀岩合计男生女生合计 所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，A对B错；，当时，，所以当参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，C对D错，故选：AC【点睛】此题考查了独立性检验，考查了计算能力，属于基础题.11. 已知，是双曲线：的焦点，为左顶点，为坐标原点，是右支上一点，满足，，则（    ）A. 的方程为B. 的渐近线方程为C. 过作斜率为的直线与的渐近线交于，两点，则的面积为D. 若点是关于的渐近线的对称点，则为正三角形【答案】ABD【解析】【分析】由，，可得，，及，再由，，之间的关系求出，的值，进而求出双曲线的方程及渐近线的方程，可得，正确；求过作斜率为的直线方程，与的渐近线方程求出交点，的坐标，求出的值，再求到直线的距离，进而求出的面积可得不正确；求出关于渐近线的对称点的坐标，进而求出，，的值，可得为正三角形，所以正确．【详解】解：由，可得，即，由，可得，将代入双曲线的方程可得，由题意可得解得，，所以双曲线的方程为：，渐近线的方程：，所以，正确；中：过作斜率为的直线，则直线的方程为：，则解得：，，即，，则，解得：，，即，，所以，到直线的距离为，所以所以不正确；中：渐近线方程为，设，的关于渐近线的对称点，则解得：，，即，，所以，，，所以为正三角形，所以正确；故选：ABD．【点睛】本题考查由向量的关系线段的长度及位置关系，及点关于线的对称，和三角形的面积公式，属于中档题．12. 已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（    ）A. 是周期为2的函数B. C. 的值域为[-1，1]D. 的图象与曲线在上有4个交点【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由为R上的奇函数，为偶函数，得，则是周期为4的周期函数，可判断A；
对于B，由是周期为4的周期函数，则， ，可判断B．
对于C，当时，，有，又由为R上的奇函数，则时，，可判断C．
对于D，构造函数，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D．【详解】根据题意，
对于A，为R上的奇函数，为偶函数，所以图象关于对称，即则是周期为4的周期函数，A错误；
对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；
当时，，则，则，
则；故B正确．
对于C，当时，，此时有，又由为R上的奇函数，则时，，
，函数关于对称，所以函数的值域．故C正确．
对于D，，且时，，，，，是奇函数，，的周期为，，，，设，当，，设在恒成立，在单调递减，即在单调递减，且，存在，单调递增，单调递减，，所以在有唯一零点，在没有零点，即，的图象与曲线有1个交点，当时，，，则，，则，所以在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在单调递减，，，在单调递增，又，所以，又，所以在上有一个唯一的零点，在上有唯一的零点，所以当时，的图象与曲线有2个交点，，当时，同，的图象与曲线有1个交点，当，的图象与曲线没有交点，所以的图象与曲线在上有4个交点，故D正确；故选：BCD．【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.三、填空题：13. 展开式中的常数项是         .【答案】【解析】【详解】试题分析：通项为，令，得，所以常数项为.考点：二项展开式系数【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14. 已知向量，，且，则=________.【答案】【解析】【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解，然后利用二倍角公式求解即可．【详解】解：向量，，且，可得，，．故答案为：．【点睛】本题考查向量共线的充要条件，二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．15. 已知椭圆的焦点分别为，，两条平行线：，：交椭圆于，，，四点，若以，，，为顶点的四边形面积为，则椭圆的离心率为________.【答案】【解析】【分析】直线的方程与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长，再求两条平行线间的距离，进而求出平行四边形的面积，再由题意可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】解：设，，，，联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，，，所以，直线，间的距离，所以平行四边形的面积，整理可得：，即，解得：，由椭圆的性质可得，离心率，故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，属于中档题．16. 已知是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，将沿折起，使平面平面，则四棱锥外接球的表面积为________，若为四棱锥外接球表面上一点，则点到平面的最大距离为________.【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】由题意画出图形，找出四棱锥外接球的球心，利用勾股定理求半径，代入球的表面积公式求球的表面积，再由球的对称性可知，球表面上的点到平面距离的最大值为半径加球心到面的距离.【详解】解：如图，取的中点，连接，交于，可知，则为等腰梯形的外接圆的圆心，过作平面的垂线，再过折起后的的外心作平面的垂线，设两垂线的交点为，则为四棱锥外接球的球心，因为的边长为2，所以，所以四棱锥外接球的半径,所以四棱锥外接球的表面积为，由对称性可知，四棱锥外接球的表面上一点到平面的最大距离为：故答案为：；【点睛】此题考查空间中点、线在、面间的距离计算，考查空间想象能力，属于中档题.