专题04 利用导数证明函数不等式（一）-2020高考数学尖子生辅导专题

专题四  利用导数证明函数不等式（一）函数不等式的证明由于其形式多变，方法灵活，成为了近几年高考的一个热点与难点，它一般出现在压轴题的位置，解决起来比较困难．利用导数作为工具进行证明是证明函数不等式的一种常见方法，本专题总结了利用导数证明一个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力．模块1  整理方法  提升能力对于一个未知数的函数不等式问题，其关键在于将所给的不等式进行“改造”，得到一平一曲、两曲两种模式中的一种．当出现一平一曲时，只需运用导数求出“曲”的最值，将其与“平”进行比较即可．当出现两曲时，如果两个函数的凸性相同，则可以考虑通过曲线进行隔离．由于隔离曲线的寻找难度较大，所以我们一般希望两个函数的凸性相反．当两个函数的凸性相反时，则可以寻找直线（常选择公切线或切线）实现隔离放缩，当然最理想的直线状态是该直线与轴平行或重合．当改造的过程中出现一斜一曲时，一般要将其继续改造，要么将其化归到一边，转化为一平一曲，要么将其转化为两曲．常用不等式的生成在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成．生成一：利用曲线的切线进行放缩设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数． 生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩                  由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）．综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式：与有关的常用不等式：（1）（）；（2）（）．与有关的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．例1设函数，曲线在点处的切线为．（1）求、；（2）证明：．【解析】（1）因为，，而，所以，解得，．【证明】（2）法1：（寻找公切曲线隔离）由（1）知，，于是．由于混合了指数函数、对数函数和幂函数，比较复杂，所以可以考虑将指数函数、对数函数进行分离，改造为．令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增．而递减，所以两个函数的凸性相同（都是下凸函数）．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的曲线，将两个函数进行隔离，从而实现证明．，令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以，于是．，令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以，于是．由于等号不能同时成立，所以．法2：（寻找公切线隔离）由（1）知，，于是，将不等式改造为．令，则．由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以．令，则．由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，所以．两个函数的凸性相反．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的公切线，将两个函数进行隔离，又因为等号不能同时成立，所以．【点评】法1中的两个函数凸性相同，因此需要寻找公切曲线进行隔离，公切曲线的寻找需要有一定的函数不等式放缩经验．该放缩与常用不等式以及有关，因此熟练掌握与、有关的常用不等式，能有效打开某些不等式的证明思路，使题目的难度降低．法2中的两个函数凸性相反，且两个函数的最值相同，此时可寻找到与轴平行的公切线，实现隔离放缩．如何恰当地“改造”函数是解题的关键，这需要我们熟悉与、、四则运算组合后的函数，如：（1）、、、…过原点，先减后增；（2）、、、…过原点，先增后减；（3）、、、…在上递减，在上先减后增；（4）、、、…在上先减后增；（5）、、、…在上先增后减；（6）、、、…在上递减，在上先减后增．例2已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，．【解析】（1），因为在曲线上，且，所以切线方程为，即．【证明】（2）法1：．当时，，令，则，，于是在上递增．又因为，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以．法2：．当时，，由常见不等式（），可得，所以．法3：令，则，由可得，由可得或，所以在上递减，在上递增，在上递减．的极小值为，由洛必达法则，可得，所以，即．法4：．令，则，，所以在上递增，又因为，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以．法5：．当时，不等式成立，当时，．，由可得或，由可得或，所以在上递增，在上递减，在上递增，在上递减．因为，，所以，而，所以，即．法6：．令，则是以为对称轴，开口方向向上的抛物线．令，则递减．由于两个函数的凸性相反，因此我们可以通过寻找两个曲线的公切线将两个函数进行隔离，但由于公切线不容易寻找，又因为两个函数处于相离的状态，因此我们可以选择在上找切线，通过该切线将两个函数隔离，从而实现证明．由常见不等式可得，容易想到隔离切线，下面进行证明．，而，命题获证．【点评】对于含有参数的一个未知数的函数不等式，其证明方法与不含参数的一个未知数的函数不等式证明大体一致．法3是直接证明，法4是将不等式等价转化为，法5是通过分离参数进而证明，3种方法本质都是一平一曲状态．法6将不等式转化为，由于两个函数的凸性相反，因此我们可以寻找切线实现隔离放缩．对于含有参数的一个未知数的函数不等式，我们还可以通过放缩，消去参数，转化为研究一个特例函数的问题，从而使题目的难度大大降低．例3已知函数．（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．【解析】（1）的定义域为．法1：（分离参数法）①当时，有，成立．②当时，，令，则，令，则，所以在上递增，于是，所以，所以在上递增．由洛必达法则可得，所以．③当时，，令，仿照②可得在上递增．由洛必达法则可得，所以．综上所述，．法2：（不猜想直接用最值法）．①当时，在上递增，而，于是不成立．②当时，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，而，所以．法3：（通过猜想减少分类讨论）由可得．，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，而，所以．（2）当时，即，则有，当且仅当时等号成立，所以，，于是，所以．当时，，于是的最小值为3．【点评】不等式左边是一个项乘积的形式，处理起来比较麻烦．考虑取对数，将不等式等价转化为，则容易联想到与有关的常用不等式．模块2  练习巩固  整合提升练习1：已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求、的值；（2）证明：当，且时，．【解析】（1）． 由于直线的斜率为，且过点，所以，即，解得，．【证明】（2）由（1）知，所以．构造函数（），则，于是在上递减．当时，递减，所以，于是；当时，递减，所以，于是．综上所述，当，且时，．练习2：已知函数（、）．（1）若，求函数的单调区间；（2）若，，求证：．【解析】（1）当，，．由可得，由可得，所以的递增区间为，递减区间为．【证明】（2）若，，．令，则，．设，则，所以在上递增，所以，所以，所以在上递增．又因为，，所以恰有一个零点，即，且当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以．设，，则，所以在上递增，所以．命题获证．练习3：已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求证：．【解析】（1），所以，又，所以在处的切线方程为，即．【证明】（2）法1：，构造函数，则，，．因为在上递增，且，所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，于是在上递增，又因为，所以当时，，递减，当时，，递增，所以，命题获证．法2：，构造函数，则．令，则，由可得，由可得，于是在上递减，在上递增，于是．于是当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，于是，命题获证．【点评】对于不等式，从指对分离的角度来看，可构造出、、、…、等一系列式子，由于构造的不等式两端的函数凸性一致，且寻找隔离曲线的难度大，不容易证明．考虑到函数的形式不算太复杂，可通过多次求导证明其在轴的上方（有且仅有一个交点）．也可以如法2那样将函数进一步改造为，法2比法1简单的原因在于当中的比较“单纯”，求导一次就能消去．练习4：设函数，，，其中是的导函数．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）设，比较与的大小，并加以证明．【解析】（1），所以．法1：（分离参数法）当时，恒成立．当时，在上恒成立在上恒成立．，令，则，所以在上递增，于是，即，所以在上递增．由洛必达法则，可得，所以，于是实数的取值范围为．法2：（不猜想直接用最值法）令，则，令，得．①当，即时，在上恒成立，所以在上递增，所以，所以当时，在上恒成立．②当，即时，在上递减，在上递增，所以当时取到最小值，于是．设，，则，所以函数在上递减，所以，即，所以不恒成立．综上所述，实数的取值范围为．（2）设，比较与的大小，并加以证明．（2），，比较结果为：．证明如下．上述不等式等价于．为证明该式子，我们首先证明．法1：在（1）中取，可得，令，可得．令可得，，…，，相加可得，命题获证．法2：令，则，构造函数，，则，于是在上递增，所以，于是．下同法1．练习5：已知函数（其中）．（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）若（是自然对数的底数），求证：．【解析】（1），依题意，有，解得或，所以．（2）法1：令，则，因为，所以，即在上递增．因为，，所以在上有唯一零点．当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取到最小值．因为，所以，所以，因为，所以，所以当时，．法2：当时，．当时，．令，则，由可得或，由可得或，所以在上递增，在上递减，在上递减，在上递增．因为，，所以当时，，所以，当时，，所以．