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精品解析：黑龙江省牡丹江市2020年中考数学试题（解析版）
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2020年牡丹江市初中毕业学业书试
数学试卷
考生注意：
1．考试时间120分钟；
2．全卷共三道大题，总分120分；
3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
一、填空题（将正确答案写在答题卡相应的横线上，每小题3分，满分24分）
1.新冠肺炎疫情期间，全国各地约42000名医护人员驰援湖北．请将数42000用科学记数法表示为________．
【答案】4.2×104
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：42000=4.2×104，
故答案为：4.2×104.
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件______________，使．（填一种情况即可）
【答案】AD=BC（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定和性质添加条件证明AB=CD.
【详解】解：添加的条件：AD=BC，理由是：
∵∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握定理内容是解题的关键.
3.若一组数据21，14，x，y，9的众数和中位数分别是21和15，则这组数据的平均数为___________．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据已知条件分析，得出x和y中有一个数为21，再根据中位数得出另一个数，从而求出平均数.
【详解】解：∵一组数据21，14，x，y，9的众数和中位数分别是21和15，
若x=y=21，则该组数据的中位数为：21，不符合题意，
则x和y中有一个数为21，另一个数为15，
∴这组数据的平均数为：（9+14+15+21+21）÷5=16，
故答案为：16.
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数的概念，解题的关键是掌握相应的求法.
4.某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．
【答案】八
【解析】
【分析】
打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可.
【详解】解：设应打x折，
则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，
解得：x=8．
故商店应打八折．
故答案为：八．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．
5.是的弦，，垂足为M，连接．若中有一个角是30°，，则弦的长为_________．
【答案】12或4
【解析】
【分析】
分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可.
【详解】解：∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
若∠OAM=30°，
则tan∠OAM=，
∴AM=6，
∴AB=2AM=12；
若∠AOM=30°，
则tan∠AOM=，
∴AM=2，
∴AB=2AM=4.
故答案为：12或4.
【点睛】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论.
6.将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是________．
【答案】-5
【解析】
【分析】
根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后将变形求值即可.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度后，
表达式为：，
∵经过点，代入，
得：，
则==2×3-11=-5.
故答案为：-5.
【点睛】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式.
7.如图，在中，，点E在边上．将沿直线翻折，点A落在点处，连接，交于点F．若，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设AC=4x，AB=5x，则BC=3x，再证明△BCE为等腰直角三角形，得到EC=3x，根据△A′EF∽△BCF，得到.
【详解】解：∵，，
∴，设AC=4x，AB=5x，则BC=3x，
∵，
∴∠AEA′=90°，A′E∥BC，
由于折叠，
∴∠A′EB=∠AEB=（360-90）÷2=135°，且△A′EF∽△BCF，
∴∠BEC=45°，即△BCE为等腰直角三角形，
∴EC=3x，
∴AE=AC-EC=x=A′E，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是根据折叠得出△BCE为等腰直角三角形.
8.如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有___________．（只填序号）
【答案】①②③④⑤⑥
【解析】
【分析】
证明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF=EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN=DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE=EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，则有，从而判断⑤；最后证明△CDM∽ADE，得到，结合BM=CM，AE=CF，可判断⑥.
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF=CE，故①正确；
由全等可得：AE=CF，BF=CE，
∴AE-CE=CF=CE=EF，连接FM，CM，
∵点M是AB中点，
∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，
∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，
∴△BFM≌△CEM，
∴FM=EM，∠BMF=∠CME，
∵∠BMC=90°，
∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴EF=EM=，故③正确，
∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，
∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确，
设AE与CM交于点N，连接DN，
∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，
∴△DFM≌△NEM，
∴DF=EN，DM=MN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN=DM，而∠DEA=90°，
∴，故④正确；
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，
∵∠DEM=45°，
∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，
∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，
∴△ADE≌△ACE，
∴DE=CE，
∵△MEF为等腰直角三角形，
∴EF=，
∴，故⑤正确；
∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，
∴△CDM∽ADE，
∴，
∵BM=CM，AE=CF，
∴，
∴，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，找到全等三角形说明角相等和线段相等.
二、选择题（将正确选项涂在答题卡中相应的位置上，每小题3分，满分36分）
9.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，幂的乘方计算即可.
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选D.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，完全平方公式，幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则.
10.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
11.函数y中自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞3 B. x≠3 C. x≥3 D. x≥0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故选C.
【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，2列，先看第一层正方体可能的最少个数，再看第二层正方体的可能的最少个数，相加即可．
【详解】解：仔细观察物体的主视图和左视图可知：该几何体的下面最少要有2个小正方体，上面最少要有1个小正方体，
故该几何体最少有3个小正方体组成．
故选D．
【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
13.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：.
故选C.
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果.
【详解】解：连接OA，OB，OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴∠ABC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故选B
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角.
15.一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（ ）
A. 37 B. 41 C. 55 D. 71
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得出已知数组的规律，得到第n个数的表示方法，从而得出结果.
【详解】解：1=1×2-1，
5=2×3-1，
11=3×4-1，
19=4×5-1，
...
第n个数为n（n+1）-1，
则第7个数是：55
故选C.
【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是总结出第n个数为n（n+1）-1.
16.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ）
A. 5 B. 6 C. 11 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果.
【详解】解：连接OA和OC，
∵点P在y轴上，则△AOC和△APC面积相等，
∵A在上，C在上，AB⊥x轴，
∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=6，
∴△APC的面积为6，
故选B.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键.
17.若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】
先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解.
【详解】解：∵解方程，
去分母得：，
整理得：，
∵方程有解，
∴，
∵分式方程的解为正数，
∴，解得：m＞2，
而x≠-1且x≠0，
则≠-1，≠0，
解得：m≠0，
综上：m的取值范围是：m＞2.
故选C.
【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
18.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形性质求解.
【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD=60°，AD=4，
∴∠OAD=30°，
∴OD=2，
∴AO==OC，
∴点C的坐标为（0，），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，），
∴点C的坐标为（0，）或（0，），
故选D.
【点睛】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情况讨论.
19.如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF=6，
∴AF=，
∴，
∴AE=5，
∴EF=AF-AE=8-5=3.
故选B.
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.
20.如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.
【详解】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，又a＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，
∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则
=
=
=≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，
当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a=，
则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，
-2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确有4个.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.
三、解答题（将解题过程写在答题卡相应的位置上，满分60分）
21.先化简，再求值：，其中．
【答案】，-1
【解析】
【分析】
先将分式化简，再将x的值代入求解.
【详解】解：
=
=
=
=
∵=-1，代入，
原式=-1
【点睛】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则.
22.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P．已知．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接，的垂直平分线交直线于点M，则线段的长为__________．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【答案】（1），（-1，-4）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意证明△PMN∽△PAE，根据比例的性质求出PM，结合PE即可求出EM.
【详解】解：（1）∵抛物线经过，代入，
，解得：，
∴抛物线表达式为：=，
顶点P的坐标为（-1，-4）；
（2）∵直线PE为抛物线对称轴，
∴E（-1，0），
∵B（1，0），
∴A（-3，0），
∴AP=，
∵MN垂直平分AP，
∴AN=NP=，∠PNM=90°，
∵∠APE=∠MPN，
∴△PMN∽△PAE，
∴，即，
解得：PM=，
∴EM=PE-PM=4-=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是根据题意找出相似三角形.
23.在中，，，．以为边作周长为18的矩形，M，N分别为，的中点，连接．请你画出图形，并直接写出线段的长．
【答案】或
【解析】
【分析】
分矩形BCDE和△ABC在BC同侧时，矩形BCDE和△ABC在BC异侧时，结合矩形的性质和中位线定理求解.
【详解】解：∵，，
∴△ABC中BC边上的高为6×2÷6=2，
而矩形的周长为18，BC=6，
∴BE=CD=18÷2-6=3，
当矩形BCDE和△ABC在BC同侧时，
过A作AF⊥BC，垂足为F，与ED交于G，连接AD，
可知AF=2，DG=BC=3，
∴AG=GF-AF=3-2=1，
∴AD=，
∵M，N分别为AC和CD中点，
∴MN=AD=；
当矩形BCDE和△ABC在BC异侧时，
过A作AF⊥ED，垂足为F，与BC交于G，连接AD，
可知BG=CG，AG=2，GF=3，F为ED中点，
∴AF=5，DF=3，
∴AD=，
∵M，N分别为AC和CD中点，
∴MN=AD=，
综上：MN的长为或.
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是根据题意画出图形，分情况讨论.
24.某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如下不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题：
抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表
项目
人数
A排球
6
B篮球
m
C毽球
10
D羽毛球
4
E跳绳
18
（1）本次抽样调查的学生有_________人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数；
（3）全校有学生1800人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数是多少？
【答案】（1）50人，补全统计图见解析；（2）72°；（3）648人
【解析】
【分析】
（1）利用喜欢排球的人数除以所占百分比可得结果，再求出m值，最后补全统计图；
（2）用喜欢毽球活动的学生人数除以总人数，乘以360°即可；
（3）用样本中喜欢跳绳的人数除以50，再乘以1800即可.
【详解】解：（1）∵喜欢A排球的人数为6人，所占百分比为12%,
∴6÷12%=50人，
m=50-6-10-4-18=12，
补全统计图如下：
（2）∵喜欢毽球的有10人，
∴对应圆心角度数为：=72°；
（3）1800×=648人，
全校喜欢跳绳活动的学生人数是648人.
【点睛】本题考查了统计表与扇形统计图，样本估计总体，解题时要理解题意，读懂图表.
25.在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是___________千米1时，B，C两地的路程为___________千米；
（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
【答案】（1）60；360；（2）；（3）小时或小时或5小时或6小时或小时.
【解析】
【分析】
（1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据M纵坐标可得B，C两地之间距离；
（2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过15km时，⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地15千米时.
【详解】解：（1）由题意可得：
F（10，600），
∴甲车的行驶速度是：600÷10=60千米/时，
M的纵坐标为360，
∴B，C两地之间的距离为360千米，
故答案为：60；360；
（2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地，
∴点E（8.5，0），
乙的速度为360×2÷（10-0.5-1.5）=90千米/小时，
则360÷90=4，
∴M（4，360），N（4.5，360），
设NE表达式为y=kx+b，将N和E代入，
，解得：，
∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：；
（3）设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，
①在乙车到B地之前时，
600-S甲-S乙=15，即600-60x-90x=15，
解得：x=；
②∵（600-360）÷60=4小时，360÷90=4小时，
∴甲乙同时到达B地，
当乙在B地停留时，
15÷60+4=小时；
③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，
15÷（90-60）+4.5=5小时；
④当乙车追上甲车并超过15km时，
（30+15）÷（90-60）+4.5=6小时；
⑤当乙车已经回到C地时，甲车距离C地15千米时，
（600-15）÷60=小时.
综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时.
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的实际意义.
26.在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点M．）
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，则___________．
【答案】（1）见解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6．
【解析】
【分析】
（1）延长，交于点M．利用AAS证明，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC；
（3）先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
【详解】（1）如图①，延长，交于点M．
∵，
∴∠A=∠BCA=∠EFA，
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF；
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长，EF交于点M．
由①同理可证，
∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长交EF于点M，
由上述证明过程易得，BC=EM，
CF=FM，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵
∴∠F=∠FCB，
∴EF=AE，
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
（3）CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，
∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，
∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．
27.某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？
【答案】（1）A，B两种书包每个进价各是70元和90元；（2）共有3种方案，详见解析；（3）赠送的书包中，A种书包有1个，B种书包有3个，样品中A种书包有2个，B种书包有2个.
【解析】
【分析】
（1）设A种书包每个进价是x元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设购进A种书包m个，根据题意得出不等式70m+90（2m+5）≤5450，求出m，再结合A种书包不少于18个，得出m的取值范围，从而可得方案；
（3）根据获利最大得到购进A种书包20个，则B种书包45个，设赠送的书包中，A种书包s个，样品中有t个A种书包，则B种书包5-s个，样品中有4-t个B种书包，根据获利1370元得到方程，再求出符合题意的整数解即可.
【详解】解：（1）设A种书包每个进价是x元，则B种书包每个进价是x+20元，
由题意可得：，
解得：x=70，
经检验：x=70是原方程的解，
70+20=90元，
∴A，B两种书包每个进价各是70元和90元；
（2）设购进A种书包m个，则B种书包2m+5个，m≥18，
根据题意得：70m+90（2m+5）≤5450，
解得：m≤20，
则18≤m≤20，
∴共有3种方案：
购进A种书包18个，则B种书包41个；
购进A种书包19个，则B种书包43个；
购进A种书包20个，则B种书包45个；
（3）设获利W元，
则W=（90-70）m+（130-90）（2m+5）=100m+200，
∵100＞0，
∴W随m的增大而增大，
则当m=20时，W最大，
则购进A种书包20个，则B种书包45个，
设赠送的书包中，A种书包s个，样品中有t个A种书包，
则B种书包5-s个，样品中有4-t个B种书包，
则此时W=（20-s-t）×（90-70）+t（90×0.5-70）+（45-5+s-4+t）×（130-90）+（4-t）（130×0.5-90）-70s-（5-s）×90=1370，
整理得：2s+t=4，即，
根据题意可得两种书包都需要有样品，则t≠0且t≠4，
∴t=2，s=1，
∴赠送的书包中，A种书包有1个，B种书包有3个，
样品中A种书包有2个，B种书包有2个.
【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式，二元一次方程的实际应用，难度较大，解题时务必理解题意，得到相应的等量关系和不等关系.
28.如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.
【解析】
【分析】
（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图像上求出k值；
（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可.
【详解】解：（1）∵线段的长是方程的一个根，
解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴，
∴A（9，0），
∵，
∴B（0，）；
（2）∵，
∴E（-6，0），
设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入，
得：，解得：，
∴AB的表达式为：，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6，
则C（-3，6），
∵反比例函数经过点C，
则k=-3×6=-18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，
可知M在直线y=x+3上，
联立：，
解得：，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.
数学试卷
考生注意：
1．考试时间120分钟；
2．全卷共三道大题，总分120分；
3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
一、填空题（将正确答案写在答题卡相应的横线上，每小题3分，满分24分）
1.新冠肺炎疫情期间，全国各地约42000名医护人员驰援湖北．请将数42000用科学记数法表示为________．
【答案】4.2×104
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：42000=4.2×104，
故答案为：4.2×104.
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件______________，使．（填一种情况即可）
【答案】AD=BC（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定和性质添加条件证明AB=CD.
【详解】解：添加的条件：AD=BC，理由是：
∵∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握定理内容是解题的关键.
3.若一组数据21，14，x，y，9的众数和中位数分别是21和15，则这组数据的平均数为___________．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据已知条件分析，得出x和y中有一个数为21，再根据中位数得出另一个数，从而求出平均数.
【详解】解：∵一组数据21，14，x，y，9的众数和中位数分别是21和15，
若x=y=21，则该组数据的中位数为：21，不符合题意，
则x和y中有一个数为21，另一个数为15，
∴这组数据的平均数为：（9+14+15+21+21）÷5=16，
故答案为：16.
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数的概念，解题的关键是掌握相应的求法.
4.某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．
【答案】八
【解析】
【分析】
打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可.
【详解】解：设应打x折，
则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，
解得：x=8．
故商店应打八折．
故答案为：八．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．
5.是的弦，，垂足为M，连接．若中有一个角是30°，，则弦的长为_________．
【答案】12或4
【解析】
【分析】
分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可.
【详解】解：∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
若∠OAM=30°，
则tan∠OAM=，
∴AM=6，
∴AB=2AM=12；
若∠AOM=30°，
则tan∠AOM=，
∴AM=2，
∴AB=2AM=4.
故答案为：12或4.
【点睛】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论.
6.将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是________．
【答案】-5
【解析】
【分析】
根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后将变形求值即可.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度后，
表达式为：，
∵经过点，代入，
得：，
则==2×3-11=-5.
故答案为：-5.
【点睛】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式.
7.如图，在中，，点E在边上．将沿直线翻折，点A落在点处，连接，交于点F．若，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设AC=4x，AB=5x，则BC=3x，再证明△BCE为等腰直角三角形，得到EC=3x，根据△A′EF∽△BCF，得到.
【详解】解：∵，，
∴，设AC=4x，AB=5x，则BC=3x，
∵，
∴∠AEA′=90°，A′E∥BC，
由于折叠，
∴∠A′EB=∠AEB=（360-90）÷2=135°，且△A′EF∽△BCF，
∴∠BEC=45°，即△BCE为等腰直角三角形，
∴EC=3x，
∴AE=AC-EC=x=A′E，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是根据折叠得出△BCE为等腰直角三角形.
8.如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有___________．（只填序号）
【答案】①②③④⑤⑥
【解析】
【分析】
证明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF=EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN=DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE=EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，则有，从而判断⑤；最后证明△CDM∽ADE，得到，结合BM=CM，AE=CF，可判断⑥.
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF=CE，故①正确；
由全等可得：AE=CF，BF=CE，
∴AE-CE=CF=CE=EF，连接FM，CM，
∵点M是AB中点，
∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，
∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，
∴△BFM≌△CEM，
∴FM=EM，∠BMF=∠CME，
∵∠BMC=90°，
∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴EF=EM=，故③正确，
∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，
∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确，
设AE与CM交于点N，连接DN，
∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，
∴△DFM≌△NEM，
∴DF=EN，DM=MN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN=DM，而∠DEA=90°，
∴，故④正确；
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，
∵∠DEM=45°，
∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，
∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，
∴△ADE≌△ACE，
∴DE=CE，
∵△MEF为等腰直角三角形，
∴EF=，
∴，故⑤正确；
∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，
∴△CDM∽ADE，
∴，
∵BM=CM，AE=CF，
∴，
∴，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，找到全等三角形说明角相等和线段相等.
二、选择题（将正确选项涂在答题卡中相应的位置上，每小题3分，满分36分）
9.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，幂的乘方计算即可.
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选D.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，完全平方公式，幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则.
10.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
11.函数y中自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞3 B. x≠3 C. x≥3 D. x≥0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故选C.
【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，2列，先看第一层正方体可能的最少个数，再看第二层正方体的可能的最少个数，相加即可．
【详解】解：仔细观察物体的主视图和左视图可知：该几何体的下面最少要有2个小正方体，上面最少要有1个小正方体，
故该几何体最少有3个小正方体组成．
故选D．
【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
13.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：.
故选C.
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果.
【详解】解：连接OA，OB，OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴∠ABC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故选B
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角.
15.一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（ ）
A. 37 B. 41 C. 55 D. 71
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得出已知数组的规律，得到第n个数的表示方法，从而得出结果.
【详解】解：1=1×2-1，
5=2×3-1，
11=3×4-1，
19=4×5-1，
...
第n个数为n（n+1）-1，
则第7个数是：55
故选C.
【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是总结出第n个数为n（n+1）-1.
16.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ）
A. 5 B. 6 C. 11 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果.
【详解】解：连接OA和OC，
∵点P在y轴上，则△AOC和△APC面积相等，
∵A在上，C在上，AB⊥x轴，
∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=6，
∴△APC的面积为6，
故选B.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键.
17.若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】
先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解.
【详解】解：∵解方程，
去分母得：，
整理得：，
∵方程有解，
∴，
∵分式方程的解为正数，
∴，解得：m＞2，
而x≠-1且x≠0，
则≠-1，≠0，
解得：m≠0，
综上：m的取值范围是：m＞2.
故选C.
【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
18.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形性质求解.
【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD=60°，AD=4，
∴∠OAD=30°，
∴OD=2，
∴AO==OC，
∴点C的坐标为（0，），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，），
∴点C的坐标为（0，）或（0，），
故选D.
【点睛】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情况讨论.
19.如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF=6，
∴AF=，
∴，
∴AE=5，
∴EF=AF-AE=8-5=3.
故选B.
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.
20.如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.
【详解】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，又a＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，
∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则
=
=
=≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，
当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a=，
则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，
-2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确有4个.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.
三、解答题（将解题过程写在答题卡相应的位置上，满分60分）
21.先化简，再求值：，其中．
【答案】，-1
【解析】
【分析】
先将分式化简，再将x的值代入求解.
【详解】解：
=
=
=
=
∵=-1，代入，
原式=-1
【点睛】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则.
22.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P．已知．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接，的垂直平分线交直线于点M，则线段的长为__________．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【答案】（1），（-1，-4）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意证明△PMN∽△PAE，根据比例的性质求出PM，结合PE即可求出EM.
【详解】解：（1）∵抛物线经过，代入，
，解得：，
∴抛物线表达式为：=，
顶点P的坐标为（-1，-4）；
（2）∵直线PE为抛物线对称轴，
∴E（-1，0），
∵B（1，0），
∴A（-3，0），
∴AP=，
∵MN垂直平分AP，
∴AN=NP=，∠PNM=90°，
∵∠APE=∠MPN，
∴△PMN∽△PAE，
∴，即，
解得：PM=，
∴EM=PE-PM=4-=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是根据题意找出相似三角形.
23.在中，，，．以为边作周长为18的矩形，M，N分别为，的中点，连接．请你画出图形，并直接写出线段的长．
【答案】或
【解析】
【分析】
分矩形BCDE和△ABC在BC同侧时，矩形BCDE和△ABC在BC异侧时，结合矩形的性质和中位线定理求解.
【详解】解：∵，，
∴△ABC中BC边上的高为6×2÷6=2，
而矩形的周长为18，BC=6，
∴BE=CD=18÷2-6=3，
当矩形BCDE和△ABC在BC同侧时，
过A作AF⊥BC，垂足为F，与ED交于G，连接AD，
可知AF=2，DG=BC=3，
∴AG=GF-AF=3-2=1，
∴AD=，
∵M，N分别为AC和CD中点，
∴MN=AD=；
当矩形BCDE和△ABC在BC异侧时，
过A作AF⊥ED，垂足为F，与BC交于G，连接AD，
可知BG=CG，AG=2，GF=3，F为ED中点，
∴AF=5，DF=3，
∴AD=，
∵M，N分别为AC和CD中点，
∴MN=AD=，
综上：MN的长为或.
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是根据题意画出图形，分情况讨论.
24.某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如下不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题：
抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表
项目
人数
A排球
6
B篮球
m
C毽球
10
D羽毛球
4
E跳绳
18
（1）本次抽样调查的学生有_________人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数；
（3）全校有学生1800人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数是多少？
【答案】（1）50人，补全统计图见解析；（2）72°；（3）648人
【解析】
【分析】
（1）利用喜欢排球的人数除以所占百分比可得结果，再求出m值，最后补全统计图；
（2）用喜欢毽球活动的学生人数除以总人数，乘以360°即可；
（3）用样本中喜欢跳绳的人数除以50，再乘以1800即可.
【详解】解：（1）∵喜欢A排球的人数为6人，所占百分比为12%,
∴6÷12%=50人，
m=50-6-10-4-18=12，
补全统计图如下：
（2）∵喜欢毽球的有10人，
∴对应圆心角度数为：=72°；
（3）1800×=648人，
全校喜欢跳绳活动的学生人数是648人.
【点睛】本题考查了统计表与扇形统计图，样本估计总体，解题时要理解题意，读懂图表.
25.在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是___________千米1时，B，C两地的路程为___________千米；
（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
【答案】（1）60；360；（2）；（3）小时或小时或5小时或6小时或小时.
【解析】
【分析】
（1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据M纵坐标可得B，C两地之间距离；
（2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过15km时，⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地15千米时.
【详解】解：（1）由题意可得：
F（10，600），
∴甲车的行驶速度是：600÷10=60千米/时，
M的纵坐标为360，
∴B，C两地之间的距离为360千米，
故答案为：60；360；
（2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地，
∴点E（8.5，0），
乙的速度为360×2÷（10-0.5-1.5）=90千米/小时，
则360÷90=4，
∴M（4，360），N（4.5，360），
设NE表达式为y=kx+b，将N和E代入，
，解得：，
∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：；
（3）设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，
①在乙车到B地之前时，
600-S甲-S乙=15，即600-60x-90x=15，
解得：x=；
②∵（600-360）÷60=4小时，360÷90=4小时，
∴甲乙同时到达B地，
当乙在B地停留时，
15÷60+4=小时；
③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，
15÷（90-60）+4.5=5小时；
④当乙车追上甲车并超过15km时，
（30+15）÷（90-60）+4.5=6小时；
⑤当乙车已经回到C地时，甲车距离C地15千米时，
（600-15）÷60=小时.
综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时.
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的实际意义.
26.在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点M．）
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，则___________．
【答案】（1）见解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6．
【解析】
【分析】
（1）延长，交于点M．利用AAS证明，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC；
（3）先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
【详解】（1）如图①，延长，交于点M．
∵，
∴∠A=∠BCA=∠EFA，
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF；
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长，EF交于点M．
由①同理可证，
∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长交EF于点M，
由上述证明过程易得，BC=EM，
CF=FM，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵
∴∠F=∠FCB，
∴EF=AE，
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
（3）CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，
∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，
∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．
27.某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？
【答案】（1）A，B两种书包每个进价各是70元和90元；（2）共有3种方案，详见解析；（3）赠送的书包中，A种书包有1个，B种书包有3个，样品中A种书包有2个，B种书包有2个.
【解析】
【分析】
（1）设A种书包每个进价是x元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设购进A种书包m个，根据题意得出不等式70m+90（2m+5）≤5450，求出m，再结合A种书包不少于18个，得出m的取值范围，从而可得方案；
（3）根据获利最大得到购进A种书包20个，则B种书包45个，设赠送的书包中，A种书包s个，样品中有t个A种书包，则B种书包5-s个，样品中有4-t个B种书包，根据获利1370元得到方程，再求出符合题意的整数解即可.
【详解】解：（1）设A种书包每个进价是x元，则B种书包每个进价是x+20元，
由题意可得：，
解得：x=70，
经检验：x=70是原方程的解，
70+20=90元，
∴A，B两种书包每个进价各是70元和90元；
（2）设购进A种书包m个，则B种书包2m+5个，m≥18，
根据题意得：70m+90（2m+5）≤5450，
解得：m≤20，
则18≤m≤20，
∴共有3种方案：
购进A种书包18个，则B种书包41个；
购进A种书包19个，则B种书包43个；
购进A种书包20个，则B种书包45个；
（3）设获利W元，
则W=（90-70）m+（130-90）（2m+5）=100m+200，
∵100＞0，
∴W随m的增大而增大，
则当m=20时，W最大，
则购进A种书包20个，则B种书包45个，
设赠送的书包中，A种书包s个，样品中有t个A种书包，
则B种书包5-s个，样品中有4-t个B种书包，
则此时W=（20-s-t）×（90-70）+t（90×0.5-70）+（45-5+s-4+t）×（130-90）+（4-t）（130×0.5-90）-70s-（5-s）×90=1370，
整理得：2s+t=4，即，
根据题意可得两种书包都需要有样品，则t≠0且t≠4，
∴t=2，s=1，
∴赠送的书包中，A种书包有1个，B种书包有3个，
样品中A种书包有2个，B种书包有2个.
【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式，二元一次方程的实际应用，难度较大，解题时务必理解题意，得到相应的等量关系和不等关系.
28.如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.
【解析】
【分析】
（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图像上求出k值；
（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可.
【详解】解：（1）∵线段的长是方程的一个根，
解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴，
∴A（9，0），
∵，
∴B（0，）；
（2）∵，
∴E（-6，0），
设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入，
得：，解得：，
∴AB的表达式为：，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6，
则C（-3，6），
∵反比例函数经过点C，
则k=-3×6=-18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，
可知M在直线y=x+3上，
联立：，
解得：，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.
