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初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试精品达标测试
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这是一份初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试精品达标测试，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 2019年5月19日—26日在广西南宁举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛，决赛时，中国队以3比0战胜日本队第11次获得苏迪曼杯冠军，在比赛中某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A。
【分析】由已知知，点A和B的坐标分别为（4，0），（0，1）。
根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系将它们分别代入抛物线
可求出b＝，c＝1。因此这条抛物线的解析式是，故选A。
【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。
2.在平直角坐标系中，如果抛物线y＝4x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A. y＝4（x﹣2）2+2B. y＝4（x+2）2﹣2
C. y＝4（x﹣2）2﹣2D. y＝4（x+2）2+2
【答案】B
【分析】将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，据此根据平面直角坐标系中函数图象的平移规律求解可得．
【解析】将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，
将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，根据平移法则：左加右减，上加下减，
∴在新坐标系下抛物线的解析式为y＝4（x+2）2﹣2，故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
3、在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C．
【解析】由方程组得ax2＝﹣a，
∵a≠0 ∴x2＝﹣1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选：C．
【考点】二次函数与一次函数的图形问题．
4、如果函数的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（Ⅰ）函数是二次函数．因此，即①
（Ⅱ）二次函数与x轴有两个交点．因此△=，解得②
（Ⅲ）两个交点必须要在y轴的两侧．因此，解得③
综合①②③式，可得：．故答案为：D.
5、已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞﹣1C．﹣1＜a≤2D．﹣1≤a＜2
【答案】D．
【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，
而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故选：D．
【考点】二次函数对称轴综合问题．
6．如图，将函数＝的图像沿轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A（1，）、B（4，）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【答案】D，
【解析】连接AB、A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′．由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，
所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A、B′B交轴于点M、N．
因为A（1，）、B（4，），所以MN＝4－1＝3．
因为＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，
即沿轴向上平移了3个单位，所以新图像的函数表达式＝．故答案选D
【考点】二次函数与几何综合问题．
7．如图，已知点A1，A2，…，A2011在函数位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011在y轴的正半轴上，若四边形、，…，都是正方形，则正方形的边长为（ ）
A. 2010B. 2011 C. 2010D. 2011
【答案】D.
【解析】∵OA1C1B1是正方形，∴OB1与y轴的夹角为45°，∴OB1的解析式为y=x
联立，解得或，∴点B1（1，1），OB1=，
∵OA1C1B1是正方形，∴OC1=OB1=×=2，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1B2的解析式为y=x+2，联立，解得或，∴点B2（2，4），C1B2=，
∵C1A2C2B2是正方形，∴C1C2=C1B2=×2=4，∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
联立，解得，或，∴点B3（3，9），C2B3=，
…，依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=．故选D.
【考点】二次函数综合题．
8．小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y轴的叙述，下列何者正确？（ ）
A．L1为x轴，L3为y轴B．L1为x轴，L4为y轴
C．L2为x轴，L3为y轴D．L2为x轴，L4为y轴
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式y=ax2+2ax+1，得到与y轴交点坐标为（0，1），确定L2为x轴；根据抛物线的对称轴为直线x=﹣1，确定L4为y轴．
【解答】解：∵y=ax2+2ax+1，∴x=0时，y=1，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，1），即抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴L2为x轴；
∵对称轴为直线x=﹣=﹣1，即对称轴在y轴的左侧，∴L4为y轴．故选D
【考点】二次函数的性质．
【点评】本题考查了二次函数的性质，难度适中．根据二次函数的解析式求出与y轴交点坐标及对称轴是解题的关键．
9．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A． 3或6 B． 1或6 C． 1或3 D． 4或6
【答案】B
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【解析】如图，当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6，
综上所述：h的值为1或6，故选B．
【考点】二次函数的最值问题．
10.如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤0C．0≤m≤1D．m≥1或m≤0
【答案】C
【解析】如图1所示，当t等于0时，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），
∴当m＝0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，
故选：C．
【考点】二次函数的综合问题．
11.如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
【解析】∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，
∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，
∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．
故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；
故选D．
【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
12.抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【解析】①∵顶点坐标为（，m），n＜，
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1），
∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，
∵（1﹣n）﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，∴1﹣n＜﹣2n，
∵a＞0，∴当x＞时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把（，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，
△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故此小题正确；故选：A．
【考点】二次函数的综合问题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.如图，抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线，则时x的范围是
【答案】
【解析】因为抛物线与x轴的一个交点为（−2，0），对称轴为直线x=1，
所以抛物线另一个与x轴的交点为（4，0），∴y＜0时，−2＜x＜4.故选B．
【考点】二次函数的性质．
14．把二次函数y=x2﹣2x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数解析式为 ．
【答案】y=﹣x2﹣2x﹣3．
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴所得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2，即y=﹣x2﹣2x﹣3．
故答案为y=﹣x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
15．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 m．
【答案】4．
【解析】如图，把C点纵坐标y=3.05代入中得: x=±1.5 (舍去负值),
即0B=1.5，所以l=AB=2.5+1. 5=4.
令把y=3.05代入中得:x1=1.5,x2=-1. 5(舍去)，
L=2.5+1.5=4米.故答案为: 4.
【考点】二次函数的应用．
16.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．
【答案】 (1). 3 (2). 18
【解析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4×t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
【考点】二次函数的最值；正方形的性质．
17．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，且满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，则k的取值范围是 ．
【答案】 ＜k＜2
【分析】把已知条件转化为抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，如图，利用函数图象得到当x＝0时，y＞0，即﹣k+2＞0；当x＝1时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜0；当x＝2时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0；然后分别解不等式，最后确定它们的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，
∴抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，如图，
当x＝0时，y＞0，即﹣k+2＞0，解得k＜2；
当x＝1时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜0，解得k＞；
当x＝2时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0，解得k＜；
∴k的范围为＜k＜2．故答案为＜k＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
18、如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2-y1=6；④AB+AC=10；⑤，其中正确结论的序号是：_____．
【答案】①②④⑤．
【解析】∵，∴，∴无论x取何值，的值总是正数，①正确；
∵抛物线与交于点A（1，3），∴，∴，②正确；
当x=0时，，，当x=0时，，③错误；
当y=3时，，解得x=﹣5或1，，解得x=1或5，即AB+AC=10，④正确；
最小值为﹣3，最小值为1，，⑤正确，
综上正确的有①②④⑤，故答案为①②④⑤．
【考点】二次函数的性质．
三、解答题（共46分）
19.（6分）某商店经销《超级飞侠》 “乐迪”玩具，“乐迪”玩具每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．销售“乐迪”玩具的单价 (元/个)与销售数量 (个)之间的函数关系如图所示．
（1）试解释线段AB所表示的实际优惠销售政策；
（2）写出该店当一次销售 ( ＞10)个时，所获利润 （元）与 （个）之间的函数关系式；
（3）店长经过一段时间的销售发现：卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少元？
【分析】（1）利用待定系数法求线段AB的函数的解析式，设m=kx+b，把A（10，100）和B（30，80）代入上式得到关于k、b的方程组，解方程组求出解析式；然后根据解析式解释线段AB所表示的实际优惠销售政策即可。
（2）分类讨论：当10
（3）先将W=-n2+50n化成顶点式，根据二次函数的性质讨论增减性，可得出答案。
【解析】（1）解：(1)设m=kx+b，
把A(10,100)和B(30,80)代入上式，得
解之：
∴线段AB的函数的解析式为m=−n+110(10≤n≤30)；
由解析式可知线段AB所表示的实际优惠销售政策：一次性销售10到30个时，每多销售1个，玩具的单价下降1元.
（2）解：(2)当10
当n≤30时,W=(80−60)n=20n.
（3）解：(3)W=−n2+50n=−(n−25)2+625，
①当10
②当25
∴卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多。∴当n=25时，m=−n+110=85，
∴当每个玩具不得低于85元时，n的位置范围为10
20、（8分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
（1）当为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，与满足
①用含的代数式表示；②球网高度为0．14米，球桌长（1．4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求的值．
【答案】（1）t为0．4秒；（2）米；（3），．
【解析】以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方形，建立直角坐标系。
（1）由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；
答:当t为0.4秒时，乒乓球达到最大高度.
（2）由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设y=a（x-1）2+0.45，
将（0，0.25）代入，可得：a=-，则y=-（x-1）2+0.45，
当y=0时，0=-（x-1）2+0.45，解得：x1=，x2=-（舍去），
即乒乓球与端点A的水平距离是m；
（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（，0），
代入y=a（x-3）2+k，得（-3）2a+k=0，化简得：k=-a；
②∵球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，
∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点，
由题意可得，扣杀路线在直线y=x上，由①得，y=a（x-3）2-a，
令a（x-3）2-a=x，整理得：20ax2-（120a+2）x+175a=0，
当△=（120a+2）2-4×20a×175a=0时符合题意，解方程得：，，
当时，求得，不符合题意，舍去．
当时，求得，符合题意．
答：当时，能恰好将球扣杀到点A．
【考点】平面直角坐标系、二次函数的实际应用．
【点评】 此题主要考查了二次函数对应用以及根的判别式和一元二次方程的解法等知识，利用图表中数据得出函数解析式是解题关键．
21、（8分）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售、两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知型，型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
根据市场行情，该销售商对型手写板降价销售，同时对型手写板提高售价，此时发现型手写板每降低元就可多卖个，型手写板每提高元就少卖个，要保持每天销售总量不变，设其中型手写板每天多销售个，每天总获利的利润为元
（1）求与之间的函数关系式并写出的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于元，直接写出的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个型手写板，就捐元给因“新冠疫情”影响的困难家庭，当时，每天的最大利润为元，求的值．
【答案】（1）（），且x为整数；（2），且x为整数；（3）
【分析】（1）设型手写板每天多销售个，则B型手写板每天少销售个，根据总获利的利润等于销售A型手写板所获利润加上销售B型手写板所获利润，根据每件销售的利润，每日的销量都为非负数且为非负整数求出x的取值范围；
（2）结合（1）将总利润函数进行配方，求出当时的x值，结合图象得到每天的利润不低于元时的x的取值范围，进而求解；
（3）设捐款后每天的利润为元，则，然后利用二次函数的性质进行求解．
【解析】（1） ，
化简得，，由题意知，，解得，，
故的取值范围为且为整数；
（2）的取值范围为，
理由如下：，
当时，，
∴，，∴或，
要使，由图象知，；
，，且为整数；
（3）设捐款后每天的利润为元，
则，
对称轴为，
，，
抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
当时，最大，，
解得，．
【点睛】本题考查二次函数的应用，正确理解题意，列出二次函数的表达式是解题的关键，第（2）（3）题可结合二次函数的图象进行求解．
22、（8分）如图，抛物线顶点，与轴交于点，与轴交于点，.（1）求抛物线的解析式.（2）是物线上除点外一点，与的面积相等，求点的坐标.（3）若，为抛物线上两个动点，分别过点，作直线的垂线段，垂足分别为，.是否存在点，使四边形为正方形？如果存在，求正方形的边长；如果不存在，请说明理由.
解：（1）设抛物线解析式为：.
∵过，∴，∴.∴.
（2），.直线为.∵，∴.
①过作交抛物线于，又∵，∴直线为.
.解得；.∴.
②设抛物线的对称轴交于点，交轴于点.，∴.
过点作交抛物线于，.直线为.∴.
解得；.∴，.
满足条件的点为，，.
（3）存在满足条件的点，.如图，过作轴，过作轴交于，过作轴交于.则与都是等腰直角三角形.
设，，直线为.∵，∴.
∴.等腰，∴.
又∵，∴.如果四边形为正方形，
∴，∴.∴，∴，.
正方形边长为，∴或.
23．（8分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．
【分析】：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【解析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，解得，这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，
解这个方程组，得 ，直线BC的解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，∵-＜0，∴当t=时，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3） MN=m2-3m，BM=|m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，
②m2-3m=-（m-3），解得m=-
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．
【考点】二次函数综合题．
24.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．
（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；
（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；
（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）m＝4或m＝﹣16；（3）a≥时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．
【分析】（1）根据原抛物线经过点（﹣2，5），A（﹣1，0），B（3，0），即可求出原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，证明四边形BCB'C′是平行四边形，面积为40，即可求m的值；（3）过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，得MO•MD＝BO•CD．由二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），可得CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，进而列出一元二次方程，根据判别式即可求出a满足的条件．
【解析】（1）由题意得：，解得，
∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），∴C（1，﹣4），
∵B（3，0），∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6．∴E（0，﹣6），
∵抛物线绕点M旋转180°，∴MB＝MB′，MC＝MC′，
∴四边形BCB′C′是平行四边形，∴S△BCM＝×40＝10，
∵S△BCM＝S△MBE﹣S△MCE＝×（3﹣1）×ME＝ME，∴ME＝10，∴m＝4或m＝﹣16；
（3）如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，
当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，∴＝，即MO•MD＝BO•CD．
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），
∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，∴﹣m（m+4a）＝3，∴m2+4am+3＝0，
∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0，∴a≥．
所以a≥时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．
【点睛】本题考查二次函数综合题，中心对称变换，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于压轴题．
（秒）
0
0．16
0．2
0．4
0．6
0．64
0． 8
…
（米）
0
0．4
0．5
1
1．5
1．6
2
…
（米）
0．25
0．378
0．4
0．45
0．4
0．378
0．25
…
进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
型
型
考试时间：120分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 2019年5月19日—26日在广西南宁举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛，决赛时，中国队以3比0战胜日本队第11次获得苏迪曼杯冠军，在比赛中某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A。
【分析】由已知知，点A和B的坐标分别为（4，0），（0，1）。
根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系将它们分别代入抛物线
可求出b＝，c＝1。因此这条抛物线的解析式是，故选A。
【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。
2.在平直角坐标系中，如果抛物线y＝4x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A. y＝4（x﹣2）2+2B. y＝4（x+2）2﹣2
C. y＝4（x﹣2）2﹣2D. y＝4（x+2）2+2
【答案】B
【分析】将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，据此根据平面直角坐标系中函数图象的平移规律求解可得．
【解析】将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，
将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，根据平移法则：左加右减，上加下减，
∴在新坐标系下抛物线的解析式为y＝4（x+2）2﹣2，故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
3、在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C．
【解析】由方程组得ax2＝﹣a，
∵a≠0 ∴x2＝﹣1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选：C．
【考点】二次函数与一次函数的图形问题．
4、如果函数的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（Ⅰ）函数是二次函数．因此，即①
（Ⅱ）二次函数与x轴有两个交点．因此△=，解得②
（Ⅲ）两个交点必须要在y轴的两侧．因此，解得③
综合①②③式，可得：．故答案为：D.
5、已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞﹣1C．﹣1＜a≤2D．﹣1≤a＜2
【答案】D．
【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，
而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故选：D．
【考点】二次函数对称轴综合问题．
6．如图，将函数＝的图像沿轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A（1，）、B（4，）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【答案】D，
【解析】连接AB、A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′．由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，
所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A、B′B交轴于点M、N．
因为A（1，）、B（4，），所以MN＝4－1＝3．
因为＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，
即沿轴向上平移了3个单位，所以新图像的函数表达式＝．故答案选D
【考点】二次函数与几何综合问题．
7．如图，已知点A1，A2，…，A2011在函数位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011在y轴的正半轴上，若四边形、，…，都是正方形，则正方形的边长为（ ）
A. 2010B. 2011 C. 2010D. 2011
【答案】D.
【解析】∵OA1C1B1是正方形，∴OB1与y轴的夹角为45°，∴OB1的解析式为y=x
联立，解得或，∴点B1（1，1），OB1=，
∵OA1C1B1是正方形，∴OC1=OB1=×=2，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1B2的解析式为y=x+2，联立，解得或，∴点B2（2，4），C1B2=，
∵C1A2C2B2是正方形，∴C1C2=C1B2=×2=4，∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
联立，解得，或，∴点B3（3，9），C2B3=，
…，依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=．故选D.
【考点】二次函数综合题．
8．小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y轴的叙述，下列何者正确？（ ）
A．L1为x轴，L3为y轴B．L1为x轴，L4为y轴
C．L2为x轴，L3为y轴D．L2为x轴，L4为y轴
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式y=ax2+2ax+1，得到与y轴交点坐标为（0，1），确定L2为x轴；根据抛物线的对称轴为直线x=﹣1，确定L4为y轴．
【解答】解：∵y=ax2+2ax+1，∴x=0时，y=1，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，1），即抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴L2为x轴；
∵对称轴为直线x=﹣=﹣1，即对称轴在y轴的左侧，∴L4为y轴．故选D
【考点】二次函数的性质．
【点评】本题考查了二次函数的性质，难度适中．根据二次函数的解析式求出与y轴交点坐标及对称轴是解题的关键．
9．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A． 3或6 B． 1或6 C． 1或3 D． 4或6
【答案】B
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【解析】如图，当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6，
综上所述：h的值为1或6，故选B．
【考点】二次函数的最值问题．
10.如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤0C．0≤m≤1D．m≥1或m≤0
【答案】C
【解析】如图1所示，当t等于0时，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），
∴当m＝0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，
故选：C．
【考点】二次函数的综合问题．
11.如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
【解析】∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，
∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，
∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．
故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；
故选D．
【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
12.抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【解析】①∵顶点坐标为（，m），n＜，
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1），
∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，
∵（1﹣n）﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，∴1﹣n＜﹣2n，
∵a＞0，∴当x＞时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把（，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，
△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故此小题正确；故选：A．
【考点】二次函数的综合问题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.如图，抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线，则时x的范围是
【答案】
【解析】因为抛物线与x轴的一个交点为（−2，0），对称轴为直线x=1，
所以抛物线另一个与x轴的交点为（4，0），∴y＜0时，−2＜x＜4.故选B．
【考点】二次函数的性质．
14．把二次函数y=x2﹣2x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数解析式为 ．
【答案】y=﹣x2﹣2x﹣3．
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴所得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2，即y=﹣x2﹣2x﹣3．
故答案为y=﹣x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
15．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 m．
【答案】4．
【解析】如图，把C点纵坐标y=3.05代入中得: x=±1.5 (舍去负值),
即0B=1.5，所以l=AB=2.5+1. 5=4.
令把y=3.05代入中得:x1=1.5,x2=-1. 5(舍去)，
L=2.5+1.5=4米.故答案为: 4.
【考点】二次函数的应用．
16.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．
【答案】 (1). 3 (2). 18
【解析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4×t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
【考点】二次函数的最值；正方形的性质．
17．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，且满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，则k的取值范围是 ．
【答案】 ＜k＜2
【分析】把已知条件转化为抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，如图，利用函数图象得到当x＝0时，y＞0，即﹣k+2＞0；当x＝1时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜0；当x＝2时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0；然后分别解不等式，最后确定它们的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，
∴抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，如图，
当x＝0时，y＞0，即﹣k+2＞0，解得k＜2；
当x＝1时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜0，解得k＞；
当x＝2时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0，解得k＜；
∴k的范围为＜k＜2．故答案为＜k＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
18、如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2-y1=6；④AB+AC=10；⑤，其中正确结论的序号是：_____．
【答案】①②④⑤．
【解析】∵，∴，∴无论x取何值，的值总是正数，①正确；
∵抛物线与交于点A（1，3），∴，∴，②正确；
当x=0时，，，当x=0时，，③错误；
当y=3时，，解得x=﹣5或1，，解得x=1或5，即AB+AC=10，④正确；
最小值为﹣3，最小值为1，，⑤正确，
综上正确的有①②④⑤，故答案为①②④⑤．
【考点】二次函数的性质．
三、解答题（共46分）
19.（6分）某商店经销《超级飞侠》 “乐迪”玩具，“乐迪”玩具每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．销售“乐迪”玩具的单价 (元/个)与销售数量 (个)之间的函数关系如图所示．
（1）试解释线段AB所表示的实际优惠销售政策；
（2）写出该店当一次销售 ( ＞10)个时，所获利润 （元）与 （个）之间的函数关系式；
（3）店长经过一段时间的销售发现：卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少元？
【分析】（1）利用待定系数法求线段AB的函数的解析式，设m=kx+b，把A（10，100）和B（30，80）代入上式得到关于k、b的方程组，解方程组求出解析式；然后根据解析式解释线段AB所表示的实际优惠销售政策即可。
（2）分类讨论：当10
（3）先将W=-n2+50n化成顶点式，根据二次函数的性质讨论增减性，可得出答案。
【解析】（1）解：(1)设m=kx+b，
把A(10,100)和B(30,80)代入上式，得
解之：
∴线段AB的函数的解析式为m=−n+110(10≤n≤30)；
由解析式可知线段AB所表示的实际优惠销售政策：一次性销售10到30个时，每多销售1个，玩具的单价下降1元.
（2）解：(2)当10
当n≤30时,W=(80−60)n=20n.
（3）解：(3)W=−n2+50n=−(n−25)2+625，
①当10
②当25
∴卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多。∴当n=25时，m=−n+110=85，
∴当每个玩具不得低于85元时，n的位置范围为10
20、（8分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
（1）当为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，与满足
①用含的代数式表示；②球网高度为0．14米，球桌长（1．4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求的值．
【答案】（1）t为0．4秒；（2）米；（3），．
【解析】以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方形，建立直角坐标系。
（1）由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；
答:当t为0.4秒时，乒乓球达到最大高度.
（2）由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设y=a（x-1）2+0.45，
将（0，0.25）代入，可得：a=-，则y=-（x-1）2+0.45，
当y=0时，0=-（x-1）2+0.45，解得：x1=，x2=-（舍去），
即乒乓球与端点A的水平距离是m；
（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（，0），
代入y=a（x-3）2+k，得（-3）2a+k=0，化简得：k=-a；
②∵球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，
∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点，
由题意可得，扣杀路线在直线y=x上，由①得，y=a（x-3）2-a，
令a（x-3）2-a=x，整理得：20ax2-（120a+2）x+175a=0，
当△=（120a+2）2-4×20a×175a=0时符合题意，解方程得：，，
当时，求得，不符合题意，舍去．
当时，求得，符合题意．
答：当时，能恰好将球扣杀到点A．
【考点】平面直角坐标系、二次函数的实际应用．
【点评】 此题主要考查了二次函数对应用以及根的判别式和一元二次方程的解法等知识，利用图表中数据得出函数解析式是解题关键．
21、（8分）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售、两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知型，型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
根据市场行情，该销售商对型手写板降价销售，同时对型手写板提高售价，此时发现型手写板每降低元就可多卖个，型手写板每提高元就少卖个，要保持每天销售总量不变，设其中型手写板每天多销售个，每天总获利的利润为元
（1）求与之间的函数关系式并写出的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于元，直接写出的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个型手写板，就捐元给因“新冠疫情”影响的困难家庭，当时，每天的最大利润为元，求的值．
【答案】（1）（），且x为整数；（2），且x为整数；（3）
【分析】（1）设型手写板每天多销售个，则B型手写板每天少销售个，根据总获利的利润等于销售A型手写板所获利润加上销售B型手写板所获利润，根据每件销售的利润，每日的销量都为非负数且为非负整数求出x的取值范围；
（2）结合（1）将总利润函数进行配方，求出当时的x值，结合图象得到每天的利润不低于元时的x的取值范围，进而求解；
（3）设捐款后每天的利润为元，则，然后利用二次函数的性质进行求解．
【解析】（1） ，
化简得，，由题意知，，解得，，
故的取值范围为且为整数；
（2）的取值范围为，
理由如下：，
当时，，
∴，，∴或，
要使，由图象知，；
，，且为整数；
（3）设捐款后每天的利润为元，
则，
对称轴为，
，，
抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
当时，最大，，
解得，．
【点睛】本题考查二次函数的应用，正确理解题意，列出二次函数的表达式是解题的关键，第（2）（3）题可结合二次函数的图象进行求解．
22、（8分）如图，抛物线顶点，与轴交于点，与轴交于点，.（1）求抛物线的解析式.（2）是物线上除点外一点，与的面积相等，求点的坐标.（3）若，为抛物线上两个动点，分别过点，作直线的垂线段，垂足分别为，.是否存在点，使四边形为正方形？如果存在，求正方形的边长；如果不存在，请说明理由.
解：（1）设抛物线解析式为：.
∵过，∴，∴.∴.
（2），.直线为.∵，∴.
①过作交抛物线于，又∵，∴直线为.
.解得；.∴.
②设抛物线的对称轴交于点，交轴于点.，∴.
过点作交抛物线于，.直线为.∴.
解得；.∴，.
满足条件的点为，，.
（3）存在满足条件的点，.如图，过作轴，过作轴交于，过作轴交于.则与都是等腰直角三角形.
设，，直线为.∵，∴.
∴.等腰，∴.
又∵，∴.如果四边形为正方形，
∴，∴.∴，∴，.
正方形边长为，∴或.
23．（8分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．
【分析】：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【解析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，解得，这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，
解这个方程组，得 ，直线BC的解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，∵-＜0，∴当t=时，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3） MN=m2-3m，BM=|m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，
②m2-3m=-（m-3），解得m=-
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．
【考点】二次函数综合题．
24.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．
（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；
（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；
（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）m＝4或m＝﹣16；（3）a≥时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．
【分析】（1）根据原抛物线经过点（﹣2，5），A（﹣1，0），B（3，0），即可求出原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，证明四边形BCB'C′是平行四边形，面积为40，即可求m的值；（3）过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，得MO•MD＝BO•CD．由二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），可得CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，进而列出一元二次方程，根据判别式即可求出a满足的条件．
【解析】（1）由题意得：，解得，
∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），∴C（1，﹣4），
∵B（3，0），∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6．∴E（0，﹣6），
∵抛物线绕点M旋转180°，∴MB＝MB′，MC＝MC′，
∴四边形BCB′C′是平行四边形，∴S△BCM＝×40＝10，
∵S△BCM＝S△MBE﹣S△MCE＝×（3﹣1）×ME＝ME，∴ME＝10，∴m＝4或m＝﹣16；
（3）如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，
当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，∴＝，即MO•MD＝BO•CD．
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），
∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，∴﹣m（m+4a）＝3，∴m2+4am+3＝0，
∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0，∴a≥．
所以a≥时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．
【点睛】本题考查二次函数综合题，中心对称变换，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于压轴题．
（秒）
0
0．16
0．2
0．4
0．6
0．64
0． 8
…
（米）
0
0．4
0．5
1
1．5
1．6
2
…
（米）
0．25
0．378
0．4
0．45
0．4
0．378
0．25
…
进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
型
型
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