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人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试精品一课一练
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这是一份人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试精品一课一练，共11页。试卷主要包含了至少有两边相等的三角形是， 如图，在△BCD中，BC＝1等内容，欢迎下载使用。
能力提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：60分钟 试卷满分：120分）
一．选择题(每题3分,共计30分)
1.至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．锐角三角形
【答案】B
【解析】本题中三角形的分类是：等腰三角形两边相等：等腰三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形三边相等：等边三角形．
故选：B．
2．（2020 •宜兴市期中）在如图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，
纵观各图形，A、B、D都不符合高线的定义，C符合高线的定义．故选：C．
3．（2019•浉河区月考）如图已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为（ ）
A．40B．46C．50D．56
【答案】A
【解析】∵△ABC的周长为24，∴AE+EC+AC＝24，∵EB＝EC，∴AE+EB+AC＝AB+AC＝24，∵BD＝CD＝8，∴BC＝16，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝24+16＝40，故选：A．
4．（2020•洛龙区月考）已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A．2b﹣2cB．﹣2bC．2a+2bD．2a
【答案】A
【解析】∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）；故选：A．
5．（2020•郑州二模）将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A＝60°，∠F＝45°），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠AEF的度数为（ ）
A．145°B．155°C．165°D．170°
【答案】C
【解析】∵∠A＝60°，∠F＝45°，∴∠1＝90°﹣60°＝30°，∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∵ED∥BC，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．
∴∠AEF＝180°﹣∠CEF＝165°，故选：C．
6．（2019 •内乡县期末）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【答案】B
【解析】∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠EDC＝∠DBC+∠C，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠A+∠C+∠ABC，∴120°＝40°+20°+∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC＝30°，故选：B．
7．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140°B．160°C．170°D．150°
【答案】B
【解析】∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°，∴∠COA＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOC＝90°+70°＝160°．故选：B．
8．（2020•广饶县一模）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．90°B．135°C．270°D．315°
【答案】C
【解析】∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．
9．（2019 •淅川县期末）△ABC的两边是方程组x+2y=104x+3y=20的解，第三边长为奇数．符合条件的三角形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】方程组x+2y=104x+3y=20的解为：x=2y=4，∵△ABC的两边是方程组x+2y=104x+3y=20的解，第三边长为奇数，∴2＜第三边长＜6，1∴第三边长可以为：3，5．∴这样的三角形有2个．故选：B．
10.（2020•新密市期末）已知，如图，在△ABC中，∠C＝150°，点E是边AB上点，∠DEF＝65°，则∠ADE+∠BFE＝（ ）
A．180°B．215°C．205°D．185°
【答案】B
【解析】在四边形CDEF中，∵∠C+∠CDE+∠CFE+∠DEF＝360°，又∵∠C＝150°，∠DEF＝65°，∴∠CDE+∠CFE＝360°°﹣65°﹣150°＝145°，∴∠ADE+∠EFB＝360°﹣（∠CDE+∠CFE）＝215°，故选：B．
二．填空题(每题3分,共计15分)
11．（2019•双柏县一模）已知三角形两边的长分别为5、2，第三边长为奇数，则第三边的长为 ．
【答案】5
【解析】第三边x的范围是：3＜x＜7．∵第三边长是奇数，∴第三边是5cm．
故答案为：5．
12．（2020•广东二模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝ ．
【答案】105°
【解析】给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，
∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴∠1＝∠3＝105°．故答案为：105°．
13．（2020•老城区月考）如图中，若BD、CD为角平分线，且∠A＝50°，∠E＝130°，∠则∠D＝ 度．
【答案】90
【解析】连接BC，
∵∠E＝130°，∠A＝50°，∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣130°＝50°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∴∠ABE+∠ACE＝130°﹣50°＝80°，∵BD、CD为角平分线，∴∠DBE=12∠DCE=12∠ACE，∴∠DBE+∠DCE=12（∠ABE+∠ACE）＝40°，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠DBE+∠DCE）﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（40°+50°）＝90°，故答案为：90．
14．（2019 •宛城区期末）如图所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
【答案】260°
【解析】如图：∠1＝∠B+∠C，∠DME＝∠A+∠E，∠ANF＝∠F+∠D，
∵∠1＝∠DME+∠ANF＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2×130°＝260°．
故答案为：260°．
15．（2019 •宛城区期末）如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为 ．
【答案】55°或85°
【解析】∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，当∠CB′M＝90°，∴∠CMB′＝90°﹣60°＝30°，由折叠的性质可知：∠NMB′=12∠BMB′＝75°，∴∠MNB′＝180°﹣75°﹣50°＝55°，当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°，∠MNB′＝180°﹣50°﹣45°＝85°，故答案为55°或85°．
三．解答题（共75分）
16．(8分)（2020•殷都区期中）如果一个多边形的每个外角都相等，且比内角小36°，求这个多边形的边数和内角和．
【解析】设多边形的一个外角为x度，则一个内角为（x+36）度，依题意得
x+x+36＝180，解得x＝72．360°÷72°＝5．（5﹣2）×180°＝540°
故这个多边形的边数为5，内角和是540°．
17. (9分)（2019 •内乡县期末）如图，在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是 ．
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【解析】（1）∵在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，∴1＜CD＜4，∵CD的长为偶数，∴CD的取值是2．故答案为2；
（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°，又∵∠A＝55°，∴∠C＝70°．
18．(9分)已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
【解析】（1）∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3…90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2＝2+2＝4．
答：甲同学说的边数n是4；
（2）依题意有
（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝360°，解得x＝2．故x的值是2．
19．(9分)（2019 •内乡县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
（1）求证：BE∥DF；
（2）若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小．
【解析】（1）证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠1＝∠2=12∠ABC，∠3＝∠4=12∠ADC，
∴∠1+∠3=12（∠ABC+∠ADC）=12×180°＝90°，又∠1+∠AEB＝90°，
∴∠3＝∠AEB，∴BE∥DF；
（2）解：∵∠ABC＝56°，∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝124°，
∵DF平分∠CDA，∴∠ADF=12∠ADC＝62°．
20．(9分)（2019 •东阿县期末）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F，且交AC于E，∠A＝30°，∠D＝55°
（1）求∠ACD的度数；
（2）求∠FEC的度数．
【解析】（1）∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°，∴∠B＝90°﹣∠D＝35°，
∵∠ACD＝∠B+∠A，∠A＝30°，∴∠ACD＝65°．
（2）∵∠FEC＝∠ECD+∠D，∠ECD＝65°，∠D＝55°，
∴∠FEC＝55°+65°＝120°．
21．(10分)（2019 •上蔡县期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【解析】∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
22．(10分)（2019 •卫辉市期末）如图，已知∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线交于点C．
（1）当OA＝OB时，∠ACB＝ 45° ．
（2）请你猜想：随着A、B两点的移动，∠ACB的度数大小是否变化？请说明理由．
【解析】（1）∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∴∠OBD＝135°，∵∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线交于点C，
∴∠OBC＝67.5°，∠CAB＝22.5°∴∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°﹣22.5°＝45°
故答案为45°．
（2）随着A、B两点的移动，∠ACB的度数大小不会变化．理由如下：∵AC平分∠OAB
∴∠BAC＝∠OAC=12∠OAB，∵BC平分∠OBA的外角∠OBD∴∠CBD＝∠OBC=12∠OBD，
∵∠OBD是△AOB的一个外角∴∠OBD＝∠MON+∠OAB＝90°+∠OAB∴∠CBD=12∠OBD=12（90°+∠OAB）＝45°+12∠OAB∵∠CBD是△ABC的一个外角
∴∠CBD＝∠ACB+∠BAC∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°+12∠OAB-12∠OAB
＝45°．
23．(11分)问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 125 度，∠PBC+∠PCB＝ 90 度，∠ABP+∠ACP＝ 35 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
【解析】（1）由题意：∠ABC+∠ACB＝125度，∠PBC+∠PCB＝90度，∠ABP+∠ACP＝35度．
故答案为125，90，35．
（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC，∠ACB＝∠ACP+∠PCB，∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠A，∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A，又∵在Rt△PBC中，∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴（∠ABP+∠ACP）+90°＝180°﹣∠A，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．①如图3﹣1中，结论：∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
理由：设AB交PN于O．
∵∠AOC＝∠BOP，∴∠A+∠ACP＝90°+∠ABP，∴∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
②如图3﹣2中，结论：∠A+∠ABP﹣∠ACP＝90°．证明方法类似①
③如图3﹣3中，结论：∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝∠P+∠ABP+∠ACP，∴∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
能力提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：60分钟 试卷满分：120分）
一．选择题(每题3分,共计30分)
1.至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．锐角三角形
【答案】B
【解析】本题中三角形的分类是：等腰三角形两边相等：等腰三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形三边相等：等边三角形．
故选：B．
2．（2020 •宜兴市期中）在如图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，
纵观各图形，A、B、D都不符合高线的定义，C符合高线的定义．故选：C．
3．（2019•浉河区月考）如图已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为（ ）
A．40B．46C．50D．56
【答案】A
【解析】∵△ABC的周长为24，∴AE+EC+AC＝24，∵EB＝EC，∴AE+EB+AC＝AB+AC＝24，∵BD＝CD＝8，∴BC＝16，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝24+16＝40，故选：A．
4．（2020•洛龙区月考）已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A．2b﹣2cB．﹣2bC．2a+2bD．2a
【答案】A
【解析】∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）；故选：A．
5．（2020•郑州二模）将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A＝60°，∠F＝45°），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠AEF的度数为（ ）
A．145°B．155°C．165°D．170°
【答案】C
【解析】∵∠A＝60°，∠F＝45°，∴∠1＝90°﹣60°＝30°，∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∵ED∥BC，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．
∴∠AEF＝180°﹣∠CEF＝165°，故选：C．
6．（2019 •内乡县期末）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【答案】B
【解析】∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠EDC＝∠DBC+∠C，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠A+∠C+∠ABC，∴120°＝40°+20°+∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC＝30°，故选：B．
7．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140°B．160°C．170°D．150°
【答案】B
【解析】∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°，∴∠COA＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOC＝90°+70°＝160°．故选：B．
8．（2020•广饶县一模）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．90°B．135°C．270°D．315°
【答案】C
【解析】∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．
9．（2019 •淅川县期末）△ABC的两边是方程组x+2y=104x+3y=20的解，第三边长为奇数．符合条件的三角形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】方程组x+2y=104x+3y=20的解为：x=2y=4，∵△ABC的两边是方程组x+2y=104x+3y=20的解，第三边长为奇数，∴2＜第三边长＜6，1∴第三边长可以为：3，5．∴这样的三角形有2个．故选：B．
10.（2020•新密市期末）已知，如图，在△ABC中，∠C＝150°，点E是边AB上点，∠DEF＝65°，则∠ADE+∠BFE＝（ ）
A．180°B．215°C．205°D．185°
【答案】B
【解析】在四边形CDEF中，∵∠C+∠CDE+∠CFE+∠DEF＝360°，又∵∠C＝150°，∠DEF＝65°，∴∠CDE+∠CFE＝360°°﹣65°﹣150°＝145°，∴∠ADE+∠EFB＝360°﹣（∠CDE+∠CFE）＝215°，故选：B．
二．填空题(每题3分,共计15分)
11．（2019•双柏县一模）已知三角形两边的长分别为5、2，第三边长为奇数，则第三边的长为 ．
【答案】5
【解析】第三边x的范围是：3＜x＜7．∵第三边长是奇数，∴第三边是5cm．
故答案为：5．
12．（2020•广东二模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝ ．
【答案】105°
【解析】给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，
∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴∠1＝∠3＝105°．故答案为：105°．
13．（2020•老城区月考）如图中，若BD、CD为角平分线，且∠A＝50°，∠E＝130°，∠则∠D＝ 度．
【答案】90
【解析】连接BC，
∵∠E＝130°，∠A＝50°，∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣130°＝50°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∴∠ABE+∠ACE＝130°﹣50°＝80°，∵BD、CD为角平分线，∴∠DBE=12∠DCE=12∠ACE，∴∠DBE+∠DCE=12（∠ABE+∠ACE）＝40°，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠DBE+∠DCE）﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（40°+50°）＝90°，故答案为：90．
14．（2019 •宛城区期末）如图所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
【答案】260°
【解析】如图：∠1＝∠B+∠C，∠DME＝∠A+∠E，∠ANF＝∠F+∠D，
∵∠1＝∠DME+∠ANF＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2×130°＝260°．
故答案为：260°．
15．（2019 •宛城区期末）如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为 ．
【答案】55°或85°
【解析】∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，当∠CB′M＝90°，∴∠CMB′＝90°﹣60°＝30°，由折叠的性质可知：∠NMB′=12∠BMB′＝75°，∴∠MNB′＝180°﹣75°﹣50°＝55°，当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°，∠MNB′＝180°﹣50°﹣45°＝85°，故答案为55°或85°．
三．解答题（共75分）
16．(8分)（2020•殷都区期中）如果一个多边形的每个外角都相等，且比内角小36°，求这个多边形的边数和内角和．
【解析】设多边形的一个外角为x度，则一个内角为（x+36）度，依题意得
x+x+36＝180，解得x＝72．360°÷72°＝5．（5﹣2）×180°＝540°
故这个多边形的边数为5，内角和是540°．
17. (9分)（2019 •内乡县期末）如图，在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是 ．
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【解析】（1）∵在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，∴1＜CD＜4，∵CD的长为偶数，∴CD的取值是2．故答案为2；
（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°，又∵∠A＝55°，∴∠C＝70°．
18．(9分)已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
【解析】（1）∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3…90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2＝2+2＝4．
答：甲同学说的边数n是4；
（2）依题意有
（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝360°，解得x＝2．故x的值是2．
19．(9分)（2019 •内乡县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
（1）求证：BE∥DF；
（2）若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小．
【解析】（1）证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠1＝∠2=12∠ABC，∠3＝∠4=12∠ADC，
∴∠1+∠3=12（∠ABC+∠ADC）=12×180°＝90°，又∠1+∠AEB＝90°，
∴∠3＝∠AEB，∴BE∥DF；
（2）解：∵∠ABC＝56°，∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝124°，
∵DF平分∠CDA，∴∠ADF=12∠ADC＝62°．
20．(9分)（2019 •东阿县期末）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F，且交AC于E，∠A＝30°，∠D＝55°
（1）求∠ACD的度数；
（2）求∠FEC的度数．
【解析】（1）∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°，∴∠B＝90°﹣∠D＝35°，
∵∠ACD＝∠B+∠A，∠A＝30°，∴∠ACD＝65°．
（2）∵∠FEC＝∠ECD+∠D，∠ECD＝65°，∠D＝55°，
∴∠FEC＝55°+65°＝120°．
21．(10分)（2019 •上蔡县期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【解析】∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
22．(10分)（2019 •卫辉市期末）如图，已知∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线交于点C．
（1）当OA＝OB时，∠ACB＝ 45° ．
（2）请你猜想：随着A、B两点的移动，∠ACB的度数大小是否变化？请说明理由．
【解析】（1）∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∴∠OBD＝135°，∵∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线交于点C，
∴∠OBC＝67.5°，∠CAB＝22.5°∴∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°﹣22.5°＝45°
故答案为45°．
（2）随着A、B两点的移动，∠ACB的度数大小不会变化．理由如下：∵AC平分∠OAB
∴∠BAC＝∠OAC=12∠OAB，∵BC平分∠OBA的外角∠OBD∴∠CBD＝∠OBC=12∠OBD，
∵∠OBD是△AOB的一个外角∴∠OBD＝∠MON+∠OAB＝90°+∠OAB∴∠CBD=12∠OBD=12（90°+∠OAB）＝45°+12∠OAB∵∠CBD是△ABC的一个外角
∴∠CBD＝∠ACB+∠BAC∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°+12∠OAB-12∠OAB
＝45°．
23．(11分)问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 125 度，∠PBC+∠PCB＝ 90 度，∠ABP+∠ACP＝ 35 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
【解析】（1）由题意：∠ABC+∠ACB＝125度，∠PBC+∠PCB＝90度，∠ABP+∠ACP＝35度．
故答案为125，90，35．
（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC，∠ACB＝∠ACP+∠PCB，∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠A，∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A，又∵在Rt△PBC中，∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴（∠ABP+∠ACP）+90°＝180°﹣∠A，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．①如图3﹣1中，结论：∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
理由：设AB交PN于O．
∵∠AOC＝∠BOP，∴∠A+∠ACP＝90°+∠ABP，∴∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
②如图3﹣2中，结论：∠A+∠ABP﹣∠ACP＝90°．证明方法类似①
③如图3﹣3中，结论：∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝∠P+∠ABP+∠ACP，∴∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
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