初中人教版16.2 二次根式的乘除教学设计

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这是一份初中人教版16.2 二次根式的乘除教学设计，共5页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，答案与解析，总结升华，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】

掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.

了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.

【要点梳理】

知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1。乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.

要点诠释：

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

;

≥0，≥0，…..≥0）;

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

2.积的算术平方根

（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

要点诠释：

(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；

(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根

1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..

要点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

2.商的算术平方根的性质

（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

要点诠释：

运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.

知识点三、最简二次根式

（1）被开方数不含有分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1) 被开方数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

【典型例题】

类型一、二次根式的乘除

1. 计算：（1）（2014秋•闵行区校级期中）×（﹣2）÷．

（2）（2014春·高安市期中）

【答案与解析】

解：（1）×（﹣2）÷

=×（﹣2）×

=﹣

=﹣

=﹣．

(2)原式=

【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.

举一反三：

【变式】

【答案】原式=

=

2.计算

(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；

(2)-3÷()× (a＞0).

【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算.

【答案与解析】

(1)原式=-÷=-==-；

(2)原式=-2=-2=-a.

【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.

举一反三：

【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．

【答案】由题意得，即

∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8

∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=

∴当x=8时，原式的值==6．

类型二、最简二次根式

3.已知0<<,化简.

【答案与解析】原式==

=

【总结升华】成立的条件是>0;若<0,则.

4. （2016•黄石）观察下列等式：

第1个等式：a1==﹣1，

第2个等式：a2==﹣，

第3个等式：a3==2﹣，

第4个等式：a4==﹣2，

按上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第n个等式：an= ；

（2）a1+a2+a3+…+an= ．

【思路点拨】（1）根据题意可知，a1==﹣1，a2==﹣，a3==2﹣，a4==﹣2，…由此得出第n个等式：an==﹣；

（2）将每一个等式化简即可求得答案．

【答案与解析】

解：（1）∵第1个等式：a1==﹣1，

第2个等式：a2==﹣，

第3个等式：a3==2﹣，

第4个等式：a4==﹣2，

∴第n个等式：an==﹣；

（2）a1+a2+a3+…+an

=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）

=﹣1．

故答案为=﹣；﹣1．

【总结升华】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．

举一反三：

【变式】若的整数部分是，小数部分是，求的值.

【答案】

又因为整数部分是，小数部分是

则=13，=

=

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