规范解答集训(二)　数列 试卷

规范解答集训(二)　数列(建议用时：40分钟)1．已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an＞0，数列的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn取得最小值？并求出最小值．[解]　(1)因为a1an＝S1＋Sn，①所以当n＝1时，a＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2，当n≥2时，a1an－1＝S1＋Sn－1，②由①－②得，a1(an－an－1)＝an.若a1＝0，则an＝0，此时数列{an}的通项公式为an＝0.若a1＝2，则2(an－an－1)＝an，化简得an＝2an－1(n≥2)，此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n.综上，数列{an}的通项公式为an＝0或an＝2n.(2)因为an＞0，故an＝2n.设bn＝log2，则bn＝n－5，显然{bn}是等差数列，由n－5≥0，解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，Tn取最小值，所以Tn的最小值为T4＝T5＝－10.2．(2019·潍坊模拟)已知数列{an}，{bn}满足：an＋1＋1＝2an＋n，bn－an＝n，b1＝2.(1)证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[解]　(1)∵bn－an＝n，b1＝2，∴a1＝1，∵an＋1＋1＝2an＋n，∴an＋1＋n＋1＝2(an＋n)，∴＝2，即＝2.∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，则bn＝2n.(2)由bn－an＝n，得an＝2n－n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝－＝2n＋1－2－.3．(2019·惠州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an－Sn－1＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{Sn＋(n＋2n)λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．[解]　(1)当n＝1时，由an－Sn－1＝0(n∈N*)，得：a1－S1－1＝0，解得：a1＝2.又由an－Sn－1＝0(n∈N*)，可得an＋1－Sn＋1－1＝0(n∈N*)，两式相减得an＋1－an＝0，即an＋1＝2an.故数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以an＝2n.(2)由(1)知q≠1，所以Sn＝＝2(2n－1)．令bn＝Sn＋(n＋2n)λ＝(λ＋2)2n＋λn－2，为使{bn}为等差数列，则bn是关于n的一次函数，所以λ＝－2，此时bn＝－2n－2，当n＝1时，b1＝－2×1－2＝－4.当n≥2时，bn－bn－1＝－2n－2－[－2(n－1)－2]＝－2，所以{Sn＋(n＋2n)λ}是以－4为首项，－2为公差的等差数列．4．(2019·张店模拟)已知递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1·a4＝16，S4＝20.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)n－1，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.[解]　(1)由且a1＜a4知公差d＝＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1.∴Tn＝－＋…＋(－1)n－1＝1＋(－1)n－1.