规范解答集训(四)　立体几何 试卷

规范解答集训(四)　立体几何(建议用时：40分钟)1．(2019·长沙模拟)已知三棱锥P­ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P­ABC中：(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)求三棱锥P­ABC的表面积和体积．图1　　  　图2[解]　(1)如图，设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得PA＝PB＝PC＝，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1.因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC.因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝，所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)三棱锥P­ABC的表面积S＝×＋2××()2＝2＋，由(1)知，PO⊥平面ABC，所以三棱锥P­ABC的体积V＝S△ABC×PO＝××××1＝.2．如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝AB，侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥S­BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．[解]　(1)证明：设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，则BD＝a，∠CBD＝45°，所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，在△ABD中，AD＝＝a，因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)由(1)可知AD＝SD＝a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin 60°＝a，作SH⊥AD，交AD的延长线于点H.则SH＝SDsin 60°＝a，由(1)知BD⊥平面SAD，因为SH⊂平面SAD，所以BD⊥SH，又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，所以SH为三棱锥S­BCD的高，所以VS­BCD＝×a××a2＝.解得a＝1，由BD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得BD⊥SD，则SB＝＝＝2，又AB＝2，SA＝，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为＝，则△SAB的面积为××＝.3．(2019·福州质量检测)如图，在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，以AD为折痕将△ADM折起，使点M到达点P的位置，且平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中点，AB＝2BC.(1)求证：CE∥平面PAD；(2)若AD＝2，AB＝4，求三棱锥A­PCD的高．[解]　(1)取AP的中点F，连接DF，EF，如图所示．因为点E是PB的中点，所以EF∥AB，且EF＝.因为四边形ABCM是平行四边形，D为CM的中点，所以AB∥CD，且CD＝.所以EF∥CD，且EF＝CD，所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，所以CE∥平面PAD.(2)取AD的中点O，连接PO，CO，如图所示．在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，AB＝2BC，AD＝2，AB＝4，所以MD＝MA＝AD＝CD＝2，所以∠ADC＝120°，PD＝PA＝AD＝2，所以S△ACD＝×AD×CD×sin∠ADC＝×2×2×＝，OC＝，△ADP为正三角形，所以PO⊥AD，且PO＝.因为平面ABCD⊥平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，所以PC＝＝.在等腰三角形PCD中，易得S△PCD＝.设三棱锥A­PCD的高为h，因为VA­PCD＝VP­ACD，所以S△PCD·h＝S△ACD·PO，所以h＝＝＝，所以三棱锥A­PCD的高为.4．如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D，E分别为AB和BB′上的点，且＝.(1)当D为AB的中点时，求证：A′B⊥CE；(2)当D在线段AB上运动时(不含端点)，求三棱锥A′­CDE体积的最小值．[解]　(1)证明：∵D为AB的中点，∴E为B′B的中点，∵三棱柱ABC­A′B′C′为直三棱柱，AA′＝AB＝6，∴四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B.∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.由题意得平面ABB′A′⊥平面ABC，且平面ABB′A′∩平面ABC＝AB，CD⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABB′A′.又A′B⊂平面ABB′A′，∴CD⊥A′B.又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE，∵CE⊂平面CDE，∴A′B⊥CE.(2)设AD＝x(0＜x＜6)，则BE＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x，由已知可得点C到平面A′DE的距离即为△ABC的边AB上的高h，且h＝＝4，∴三棱锥A′­CDE的体积VA′­CDE＝VC­A′DE＝(S四边形ABB′A′－S△AA′D－S△DBE－S△A′B′E)·h＝·h＝(x2－6x＋36)＝[(x－3)2＋27](0＜x＜6)，∴当x＝3，即D为AB的中点时，VA′­CDE取得最小值，最小值为18. 5．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，三棱锥P­ACD的体积为9.(1)求AD的值；(2)过点O的平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H，求截面EFGH的周长．[解]　(1)因为在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，所以V三棱锥P­ACD＝××AB×AD×AP＝AD＝9，解得AD＝6.(2)由题知平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD＝EF，点O在EF上，平面PAB∩平面ABCD＝AB，根据面面平行的性质定理，得EF∥AB，同理EH∥BP，FG∥AP.因为BC∥AD，所以△BOC∽△DOA，所以＝＝＝.因为EF∥AB，所以＝＝，又易知BE＝AF，AD＝2BC，所以FD＝2AF.因为FG∥AP，所以＝＝，FG＝AP＝2.因为EH∥BP，所以＝＝，所以EH＝PB＝.如图，作HN∥BC，GM∥AD，HN∩PB＝N，GM∩PA＝M，则HN∥GM，HN＝GM，所以四边形GMNH为平行四边形，所以GH＝MN，在△PMN中，MN＝＝，又EF＝AB＝3，MN＝GH，所以截面EFGH的周长为EF＋FG＋GH＋EH＝3＋2＋＋＝5＋＋.6．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD＝2EF＝2，ED＝，M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N.(1)求证：ED⊥CD；(2)求证：AD∥MN；(3)若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．[解]　(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD.又因为CD⊥EA，EA∩AD＝A，所以CD⊥平面EAD.因为ED⊂平面EAD，所以ED⊥CD.(2)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，又因为AD⊄平面FBC，BC⊂平面FBC，所以AD∥平面FBC.又因为平面ADMN∩平面FBC＝MN，所以AD∥MN.(3)平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：连接DF.因为AD⊥ED，AD⊥CD，ED∩CD＝D，所以AD⊥平面CDEF.所以AD⊥DM.因为AD∥MN，所以DM⊥MN.因为平面ADMN∩平面FBC＝MN，所以若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC.在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，CD＝2EF＝2，ED＝，所以DF＝DC＝2.所以若使DM⊥FC成立，则M为FC的中点．所以＝.